%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\ssecno=1\global\secno=3
%\pageno=23



%
%\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
%et applications.|
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|

\nssecp Dimension d'un espace vectoriel.|
\Thc Lemme|
Soit
$f : K^{(J)}\rightarrow K^{(I)}$
un morphisme surjectif entre des modules libres
sur des ensembles
$I, J$%
, alors~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)\leq%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$$
\finc
{\eightpoint
\Dem Dans le cas o{\`u} l'ensemble
$I$
est infini, cela est m{\^e}me vrai pour
les modules libres
sur un anneau
$\Lambda$
 quelconque et a {\'e}t{\'e} {\'e}tabli dans
la Proposition en fin de {\bf 2.3\/}.

Le r{\'e}sulat est aussi clair si
$I=\emptyset$%
, on suppose donc
$I=\{1,\ldots,m\}$
et\note{\eightpoint
Comme
$K^{(\emptyset)}=\{0\}$%
, si
$I \ne\emptyset,
K^{(\emptyset)}\rightarrow K^{(I)}\ne\{0\}$
ne peut {\^e}tre surjectif.
}
$ J=\{1,\ldots, n\}$
finis d'ordre
$n, m>0$
positifs et proc{\`e}de par r{\'e}currence 
(initialis{\'e}e par 
$I\!=\!\emptyset, m\!=\!0$
ci-dessus) sur
$m$%
~:

 Soit pour
$1\leq j\leq n, v_j=f(e_j)=%
(a_{1,\, j},\ldots, a_{m,\, j})$%
, les vecteurs images de la base
$e_1,\ldots, e_n$
canonique de
$K^{(J)}$%
. L'une des derni{\`e}res
coordonn{\'e}es
$a_{m,\, j}\!\ne\!0$
est (car
$f$
est  surjectif) non nulle. Quitte {\`a} renum{\'e}roter
les
$e_j$%
,
on peut supposer
$a_{m,\, n}\ne0$%
. 

Soit pour
$1\leq j<n, w_j=v_j-(a_{m,\, j}a_{m,\, n}^{-1})v_n=%
(b_{1,\,j},\ldots, b_{m-1,\, j}, 0);\
w_n=v_n$
et
$$g : K^n=K^{(J)}\rightarrow K^{(I)}=K^m,\ g(e_j)=w_j$$


 Pour tout
$(x_1,\ldots, x_n)\!\in\!K^n$%
, si pour
$1\!\leq\!j<\!n, y_j\!=\!x_j$
et
$\displaystyle y_n=%
\sum_{j=1}^nx_j a_{m,\, j}a_{m,\,n}^{-1}$
 on a~:
$\displaystyle\sum_{j=1}^nx_j v_j=\sum_{j=1}^ny_j w_j$%
. Ainsi le morphisme
$g$
est aussi surjectif, envoit
$K^{n-1}=K^{(J\setminus\{n\})}$
dans
$K^{m-1}=K^{(J\setminus\{m\})}$
et sa restriction
$h=g_| : K^{n-1}=K^{(J\setminus\{n\})}\rightarrow%
K^{(J\setminus\{m\})}=K^{m-1}$%
, puisque si
$\displaystyle\sum_{j=1}^ny_jw_j=%
(z_1\ldots, z_{m-1}, 0)\in K^{m-1}=K^{(J\setminus\{m\})}$
alors
$y_m=0$%
, est aussi surjective. D'o{\`u} par
l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence
$m-1\leq n-1$
et donc
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)=m-1+1\leq%
n-1+1={\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$%
.\hfill\findem
}
%{\eightpoint
\Thc Corollaire|
Soit
$V, W$
des espaces vectoriels munis de bases
\hfill\break
$(b_i)_{i\in I}, b_i\in V;\ %
(c_j)_{j\in J}, c_j\in W$
et 
$f : W\rightarrow V$
un morphisme alors~:




$\quad({\romannumeral1} 1)$ Si
$f$ 
est surjectif
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)\geq%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)$%
.

$\quad({\romannumeral1} 2)$ Si
$f$ 
est isomorphisme
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)=%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)$%
.

$\quad({\romannumeral1} 3)$ Si
$f$ 
est injectif
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)\leq%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)$%
.

$({\romannumeral2})$ Si
$(u_l)_{l\in L}, u_l\in V$
est une famille g{\'e}n{\'e}ratrice alors
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)\leq
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(L)$%

$({\romannumeral3})$ Si
$(v_k)_{k\in K}, v_k\in V$
est une famille libre alors
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(K)\leq
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)$%
.
\finc

\Defn Le cardinal  d'une base 
$(b_i)_{i\in I}, b_i\!\in\!V$
d'un espace vectoriel
$V$
sur le corps
$K$
ne d{\'e}pend pas du choix de la base,
c'est sa {\it dimension~:\/}
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)%
\build{=}_{}^{\hbox{\sevenrm Syn}}%
{\mathop{\rm dim\/}_K\nolimits}(V)%
\build{=}_{}^{\hbox{\sevenrm Syn}}%
[V:K]\build{=}_{}^{\hbox{\sevenrm D{\'e}f}}
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)$$



{\eightpoint\sl
Deux espaces vectoriels 
$V, W$
sont isomorphes
si et seulement si ils ont m{\^e}me dimension~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(W)$$
}
%
\vskip-5mm
\Thc co-Corollaire|
Soit
$U\subset V$
un sous-espace d'un espace vectoriel
$V$%
.
Alors
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(U)\leq 
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)$$


De plus si
$V$
est de dimension finie, il y a {\'e}galit{\'e} si et
seulement si
$U=V$%
.
\finc
%
\rmc Exemples|
$({\romannumeral1})$ Un espace vectoriel
$V=\{0\}$
est l'espace nul si et seulement si
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)=0$%
.

$({\romannumeral2})$ La dimension de
$K^n$
est
${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(K^n)=n$%
.

$({\romannumeral3})$ Si
$V^\ast$
est le dual d'un espace vectoriel 
$V$
de dimension finie\note{\eightpoint
voir {\bf 3.5.2 \uppercase\expandafter{\romannumeral3}}
pour le cas de dimension infinie.
}
alors\note{\eightpoint
d'apr{\`e}s l'exemple et la Proposition 1
de {\bf 1.5\/}.%
}~:
$${\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V^\ast)=%
{\mathop{\rm dim\/}\nolimits}(V)$$
\finc
%
%
%\nssecp Le th{\'e}or{\`e}me du rang.|

%\end
%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
