%\input JOSEPH
%\global\sssecno=0\ssecno=0\global\secno=3
%\pageno=21
%
%\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
%et applications.|
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|

\nssecp Combinaisons lin{\'e}aires.|
%\vskip-3mm
{\eightpoint
On rappelle (Cf. {\bf 1.4\/})
que
$K^{(I)}$
d{\'e}signe l'espace vectoriel des familles
$(\lambda_i)_{\in I}\!\in\!K^{(I)}$
d'{\'e}l{\'e}\-ments
$\lambda_i\!\in\!K$
du corps
$K$
qui sont presque tous nuls
{\eightpoint[%
{\it c. a d.\/} de {\it supports\/}
$\{i\in I | \lambda_i\ne 0\}$
 finis].
}%
}

\Defns Soit
$\underline{v}=(v_i)_{\in I}$
une famille indic{\'e}e par un ensemble
$I$
d'{\'e}l{\'e}ments
$v_i\in V$
d'un espace vectoriel
$V$%
. On consid{\`e}re l'application lin{\'e}aire~:
$${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits} :%
K^{(I)}\rightarrow V,\
\underline{\lambda}=(\lambda_i)_{i\in I}\mapsto%
{\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}%
(\underline{\lambda})=%
\sum_{i\in I}\lambda_i v_i$$
qui {\`a}
$\underline{\lambda}=(\lambda_i)_{\in I}\!\in\!K^{(I)}$
associe la
{\it combinaison lin{\'e}aire de\/}
$\underline{v}$
{\it {\`a} coefficients\/}
$\underline{\lambda}$%
.\hfill\break
La famille
$\underline{v}\!=\!(v_i)_{i\in I}$
est 
{\it g{\'e}n{\'e}ratrice 
{\eightpoint
(sur
$K$%
, dans
$V$%
)\/}
}
si le morphisme
${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}$
est surjectif~:\hfill\break
tout vecteur
$v\in V$
est
$\displaystyle v=\sum_{i\in I}\lambda_i v_i$%
, combinaison lin{\'e}aire de cette famille.



L'ensemble
des combinaison lin{\'e}aires de la famille
$\underline{v}$%
, image 
${\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(c_{\underline{v}})$
du morphisme 
${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}$%
, est le {\it sous-espace vectoriel engendr{\'e} par\/}
la famille
$\underline{v}$
et est not{\'e}
$<\underline{v}>=<v_i, i\in I>$
ou, si
$I=\{1,\ldots,n\}$
est fini,
$<v_1,\ldots, v_n>$%
.

\Defn Une {\it relation lin{\'e}aire\/} de la famille
$\underline{v}\!=\!(v_i)_{i\in I}, v_i\!\in\!V$
est une combinaison lin{\'e}aire nulle~:
$\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i v_i\!=\!0\!\in\!V$%
. 
Elle est dite
{\it non triviale\/}
si la famille de ses coefficients 
$(\lambda_i)_{\in I}\!\ne\!0\!\in\!K^{(I)}$
est non nulle {\eightpoint
({\it c. a d.\/} il y a un
$i\in I$
avec
$\lambda_i\ne0$%
)%
}%
.

\Defn La famille de vecteurs
$\underline{v}\!=\!(v_i)_{i\in I}, v_i\!\in\!V$
est
{\it libre\/}
[ou {\it lin{\'e}airement ind{\'e}pendante\/}]
{\eightpoint
({\it sur
$K$%
, dans
$V$%
)}
}
si le morphisme
${\mathop{cl_{\underline{v}}}\nolimits}$
est injectif, ce qui d'apr{\`e}s  la 
 Proposition 1
de {\bf 1.3\/} {\'e}quivaut {\`a}
{\sl sa seule relation lin{\'e}aire est la
relation triviale~: 
$\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i v_i\!=\!0$
si et seul pour tout
$i\!\in\!I$
on a 
$\lambda_i\!=\!0$%
.}%\hfill\break
Une famille non libre est dite {\it li{\'e}e.\/}
\rmc Remarques|
1) {\^E}tre g{\'e}n{\'e}ratrice pour une famille
$\underline{v}=(v_i)_{i\in I}, v_i\in V$
de vecteurs d'un espace vectoriel
$V$
 ne d{\'e}pend que de sa partie image
$\{v_i | i\in I\}\subset V$%
.


2) Une famille 
$\underline{v}$
non injective n'est\note{\eightpoint
 puisque si pour des
$i\ne j\in I$
on a
$v_i=v_j$
alors
$1 v_i+(-1) v_j=0$%
.
}
pas libre.
\finc
\vskip-3mm
\Defns Une partie
$X\subset V$
d'un e.v.
$V$
est {\it g{\'e}n{\'e}ratrice\/}, resp. {\it libre\/},
si la famille
$\underline{X}=(x)_{x\in X}$
de ses {\'e}l{\'e}ments indic{\'e}s par eux-m{\^e}me est
g{\'e}n{\'e}ratrice, resp. libre.
\Defns Une famille
$\underline{b}=(b_i)_{i\in I}, b_i\in V$%
, resp. partie
$B\subset V$
d'un espace vectoriel
$V$
est une {\it base de\/} 
$V$
si elle est libre et g{\'e}n{\'e}ratirice
{\it c. a d.\/} l'application combinaison
${\mathop{cl_{\underline{b}}}\nolimits} :%
 K^{(I)}\rightarrow V,
\underline{\lambda}\mapsto%
{\mathop{cl_{\underline{b}}}\nolimits}%
(\underline{\lambda})=%
\sum_{i\in I}\lambda_i b_i$
est un isomorphisme.

 L'isomorphisme inverse
${\mathop{co_{\underline{b}}}\nolimits}=%
{\mathop{cl_{\underline{b}}}\nolimits}^{-1} %
: V\rightarrow K^{(I)}$
est dite {\it application coordonn{\'e}es
de\/} l'espace vectoriel 
$V$
{\it dans la base
$\underline{b}$%
.\/}
\rmc Exemples|
$({\romannumeral1})$
La famille
$(e_i)_{i\in I}\!\in\!K^{(I)}\!=\!L_K$
canonique de base\note{\eightpoint
(C.f. {\bf 1.4\/})
$(e_i)_{i\in I}\in K^{(I)}=L_K,
e_i=(e_{i_j})_{j\in I}; e_{i_i}=1$
et si
$j\ne i, e_{i_j}=0$
} 
de  l'espace vectoriel
libre sur le corps
$K$ 
est g{\'e}n{\'e}ratrice et libre, la
{\it base canonique\/} de
$K^{(I)}$%
.

$({\romannumeral2})$ 
Si  tout {\'e}l{\'e}ment
$x_i\!\in\!X_i\!\subset\!V, i\!\in\!I$
d'une partie
$X_i$ 
d'un espace vectoriel
$V$
est combinaison lin{\'e}aire
$x_i\!=\!\sum_{j\in J}\lambda_{i,\, j} y_j$%
d'une partie
$Y\!=\!\{y_j | j\in J\}$
alors toute combinaison lin{\'e}aire
$c\!=\!\sum_{i\in I}\mu_i x_i$
des
$x_i, i\!\in\!I$
est
$c\!=\!\sum_{i\in I}\mu_i\sum_{j\in J}\lambda_{i,\, j}y_j\!=\!%
\sum_{j\in J}\bigl(%
\sum_{i\in I}\mu_i\lambda_{i,\, j}\bigr)y_j$%
,\hfill\break
combinaison lin{\'e}aire des
$y_j, j\!\in\!J$%
. En particulier~:

{\sl  Une partie engendrant une partie
g{\'e}n{\'e}ratrice est g{\'e}n{\'e}ratrice.
}

$({\romannumeral3})$ 
Une famille 
$\underline{v}=(v_i)_{i\in\emptyset}$
(ou partie
$X=\emptyset\subset V$%
) vide est libre.

$({\romannumeral4})$
Une famille
$\underline{v}=(v_i)_{i\in\{i_0\}}$
(ou partie
$X=\{v_{i_0}\}$%
)
{\`a} un seul {\'e}l{\'e}ment est libre si
et seulement si cet {\'e}l{\'e}ment
$v_{i_0}\ne0$
est non nul.

$({\romannumeral5})$
Une famille
$\underline{v}\!=\!(v_i)_{i\in\{i_0, i_1\}}$
(ou partie
$X\!=\!\{v_{i_0}, v_{i_1}\}$%
)
{\`a} deux {\'e}l{\'e}ments est li{\'e}e
si et seulement si soit
$v_{i_0}\!=\!0$
est nul, soit il y a
$\lambda\!\in\!K$
tel que
$v_{i_1}\!=\!\lambda v_{i_0}$%
.
\finc
\Thc Proposition| Soit
$X\!\subset\!V$
une partie g{\'e}n{\'e}ratrice d'un e.v.
$V$
alors une partie
$Y\subset X$
maximale, pour
$\subset$
 dans l'ensemble des parties libres de
$X$
est g{\'e}n{\'e}ratrice.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$x\in X$
alors soit
$x=y_x\in Y$%
,
soit la partie
$Z=\{x\}\cup Y$
est li{\'e}e. 

Ainsi\note{\eightpoint
 dans le premier cas~: 
$\lambda_x=1,\lambda_{y_x}=-1$
et si
$y\ne y_s, \lambda_y=0$%
, par d{\'e}finition dans le second.
}
$\lambda_x\in K$
et, pour
$y\in Y$
des
$\lambda_y\in K$
non tous nuls tels que
$0=\lambda_x x+\sum_{y\in Y}\lambda_y y\in V$%
. \hfill\break
Comme la partie
$Y$
est libre,
$\lambda_x\ne0$%
, et 
$\displaystyle x=\sum_{y\in Y}(-{\lambda_x}^{-1}\lambda_y)y$
est combinaison lin{\'e}aire des
$y\in Y$%
. L'espace
$V$
{\'e}tant engendr{\'e} par les
$x\in X$
l'est donc par les
$y\in Y$%
. Ainsi
$Y$
est g{\'e}n{\'e}ratrice.\hfill\findem 
}

\Thc Corollaire|
Tout espace vectoriel 
$V$
poss{\`e}de une base.
Plus pr{\'e}cis{\'e}ment~:
 
Soit
$Y, X\!\subset\!V$
deux parties resp.
libre et g{\'e}n{\'e}ratrice de l'espace
$V$%
,\hfill\break alors 
$V$ 
a une base
$B$
v{\'e}rifiant
$Y\subset B\subset Y\cup X$%
~:

{\eightpoint
\og De toute partie partie g{\'e}n{\'e}ratrice,
on compl{\`e}te en une base
toute partie libre\fgf.
}
\finc
{\eightpoint
\Dem L'inclusion {\'e}tant inductive sur
les parties libres
$Y',\ Y\!\subset\!Y'\!\subset\!Y\!\cup\!X$
il y en a, par le lemme de Zorn, une
$Y'=B$
qui est maximale, par la Proposition elle
est g{\'e}n{\'e}ratrice.
\hfill\findem

}
\Thc co-Corollaire|
Tout sous-espace
$U\subset V$
d'un espace vectoriel
$V$
poss{\`e}de un suppl{\'e}mentaire
$W\subset V=U\oplus W$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$(b_k)_{k\in I\amalg J}, b_k\in V$
une base compl{\'e}tant une base
$(b_i)_{i\in I}, b_i\in U$
du sous-espace
$U$
de 
$V$%
. Il suffit de prendre
$W=\oplus_{j\in J}K b_j$%
.\hfill\findem
}

\rmc Remarque|Les d{\'e}finition de partie
g{\'e}n{\'e}ratrice,
libre, base ont un sens pour les modules sur
un anneau quelconque,
mais les propri{\'e}t{\'e}s des exemples 
$({\romannumeral4}), ({\romannumeral5})$
et la proposition n'ont plus lieu~:

a) Dans le
${\bf Z\/}$%
-module
${\bf Z\/}/6{\bf Z\/}$
la partie
$\{\overline{2}\}$
est, car
$3\overline{2}=\overline{6}=0$%
, non libre {\`a} un {\'e}l{\'e}ment.



b) Dans le
${\bf Z\/}$%
-module
${\bf Z\/}$
la partie
$\{2\}$
est libre maximale, mais non g{\'e}n{\'e}ratrice.
\finc
%
%


%\end
%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}

%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc



%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
