%\input JOSEPH
%global\sssecno=0\ssecno=2\global\secno=2
%\pageno=19


%
%\nsssecc L''identit{\'e} remarquables de
%Cayley Hamilton|
%

%
\nssecp D{\'e}terminants sur un anneau commutatif 
et applications.|
\parc
On rappelle qu'un anneau de polyn{\^o}mes
{\`a} coefficients entiers
${\Bbb Z\/}[X_i]_{i\in I}$
est un {\it anneau commutatif libre\/}
{\it sur}
l'ensem\-ble
$I$
(ou {\it sur\/} ses variables
$X_i, {i\!\in\!I}$%
), {\it c. a d.\/} pour toute
application
$f : I\rightarrow A$
de l'ensemble 
$I$
vers un anneau commutatif
$A$
il y a un unique morphisme d'anneau
$F : {\Bbb Z}[X_i]_{i\in I}\rightarrow A$
tel que pour tout
$i\in I$
on ait
$F(X_i)=f(x_i)$%
.
\finc
On suppose dans cette sous-section  que l'anneau 
$\Lambda\/$ 
est commutatif.

{\eightpoint
Pour
toute 
$M=
(m_{i,\,j})_{1\leq i,\,j\leq n}\in%
{\rm M\/}_n\,(\Lambda)\/$
il y a un unique morphisme d'anneau,
$\rho_M : \widetilde{\Lambda}_n\rightarrow \Lambda\/$%
, dit 
{\it sp{\'e}cialisation en \/} 
$M\/$ 
et d{\'e}fini par
$\rho_M\,(a_{i,\,j})=m_{i,\,j}\/$ 
pour 
$i,\,j=1,\,\ldots,\,n\/$%
.
}
%
\Defn Le 
{\it d{\'e}terminant\/} 
de la matrice 
$M\in{\rm M\/}_n\,(\Lambda)\/$
est l'image 
$\rho_M\,({\rm det\/}\,(A))\/$ 
du d{\'e}terminant g{\'e}n{\'e}ral
par la sp{\'e}cialisation en 
$M\/$%
. On le note 
${\rm det\/}\,(M)\/$%
.

{\eightpoint
Les neuf relations 
$(0)\/$ 
{\`a} 
$(8)\/$ 
de {\bf 2.2.2\/} et le th{\'e}or{\`e}me de {\bf 2.2.3\/}
sont alors valables si les matrices 
$A, B, U, V, W\/$ 
qui y interviennent sont {\`a} coefficients
dans l'anneau commutatif 
$\Lambda\/$%
.
}
%
\Thc Th{\'e}or{\`e}me| Soit 
$X\/$ 
et 
$Y\/$ 
des modules libres sur l'anneau commutatif 
$\Lambda\/$ 
ayant des bases finies 
${\cal B\/}=(b_1,\,\ldots,\,b_n)\/$ 
et
${\cal C\/}=(c_1,\,\ldots,\,c_n)\/$ 
avec le m{\^e}me nombre 
$n\/$
d'{\'e}l{\'e}ments et
$f : X\rightarrow Y\/$ 
un morphisme de matrice 
$M\/$ 
dans les bases 
${\cal B\/}$ et ${\cal C\/}$% 
.

Alors on a les deux \og cercles\fg d'{\'e}quivalence~:

({\romannumeral1}) D'une part entre~:

\quad ({\romannumeral1} 1) L'application 
$f\/$ 
est injective. 

\quad ({\romannumeral1} 2) Le d{\'e}terminant 
${\rm det\/}\,(M)\/$ 
de
$M$
n'est pas  diviseur de z{\'e}ro dans 
$\Lambda\/$.

(\romannumeral2) D'autre part entre~:

\quad ({\romannumeral2} 1) L'application 
$f\/$ 
est surjective.

\quad ({\romannumeral2} 2) L'application 
$f\/$ 
est un isomorphisme.

\quad ({\romannumeral2} 3) Le d{\'e}terminant 
${\rm det\/}\,(M)\!\in\!\Lambda^{\bullet}\/$
de
$M$
 est une unit{\'e} de l'anneau 
$\Lambda\/$%
. 

{\eightpoint
En ce cas l'isomorphisme inverse 
$f^{-1} : Y\rightarrow X\/$
est, dans les bases 
${\cal C\/}$ et ${\cal B\/}$%
, de matrice~:
}
$$M^{-1}=({\rm det\/}(M))^{-1}\,\widetilde{M}\/$$

\finc
%
{\eightpoint
\Dem (\romannumeral1) Si
$f$ 
n'est pas injective il y a
$0\ne X=(x_1,\ldots, x_n)\in\Lambda^n$
tel que
$M\cdot X=0$
d'o{\`u}
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M) X\!=\!%
(\tilde{M}\cdot M)\cdot X\!=\!%
\tilde{M}\cdot (M\cdot X)\!=\!0$%
, donc pour
$i\!=\!1,\ldots, n$
on a
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M) x_i\!=\!0$%
. Ainsi 
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)$
est diviseur de z{\'e}ro, car
$X$
{\'e}tant non nul, une de ses composantes
$x_i\!\ne\!0$
est non nulle.

Si 
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)$
n'est pas diviseur de z{\'e}ro alors pour tout
$0\ne X\in\Lambda^n$
on a~:\hfill\break
$0\!\ne\!{\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M) X\!=\!%
\tilde{M}\cdot (M\cdot X)$%
, donc
$M\cdot X\!\ne\!0$
et, d'apr{\`e}s la Proposition 1 de {\bf 1.3\/},
$f$
est injective.\hfill\carre

({\romannumeral2}) L'implication
$({\romannumeral2}\ 2)\Rightarrow({\romannumeral2}\ 1)$
est claire. Si
$f$ est surjective,
d'apr{\`e}s le Corrolaire de {\bf 1.4\/},\hfill\break
il y a 
$g : Y\rightarrow X$
tel que
$g\circ f={\mathop{\rm Id}\nolimits}_Y$%
. Si
$N$
est sa matrice dans les bases
${\cal C\/}$
et
${\cal D\/}$
on a
$N\cdot M={\mathop{\rm Id\/}\nolimits}$
donc
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(N)
{\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)=1$
et
${\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)$
est une unit{\'e} de
$\Lambda$%
, do{\`u} l'implication
$({\romannumeral2}\ 1)\Rightarrow({\romannumeral2}\ 3)$%
.\hfill\break
 L'implication
$({\romannumeral2}\ 3)\Rightarrow({\romannumeral2}\ 2)$
suit de ce qu'alors
$M\cdot
({\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)^{-1}\tilde{M})=
{\mathop{\rm Id\/}\nolimits}=
({\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)^{-1}\tilde{M})%
\cdot M$%
~: \hfill\break
l'application
$g : Y\rightarrow X$
de matrice
$({\mathop{\rm det\/}\nolimits}(M)^{-1}\tilde{M})$
est isomorphisme r{\'e}ciproque de
$f$%
.\hfill\carre\findem
}
%
\Thc Corollaire|
Soit
$m, n$
deux entiers naturels et
$f :\Lambda^n\rightarrow\Lambda^m$
un morphisme surjectif.
Alors, si l'anneau
$\Lambda\ne\{0\}$
n'est pas l'anneau nul, on a~:
$m\leq n$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem Si 
$m>n$
le morphisme
$\overline{f} : \Lambda^m\rightarrow\Lambda^m$
qui
 envoit le
$k$%
\ieme {\'e}l'{\'e}ment
$e_k$
de la base canonique,
 si
$n<k\leq m$
 sur z{\'e}ro
(et sur
$f(e_k)$
sinon)
est toujours surjectif, de matrice 
de d{\'e}terminant nul\note{\eightpoint
car ayant au moins une une colonne nulle.
}, contredisant\note{\eightpoint
car pour tout
$a\in\Lambda, 0a=0\ne1$
car l'anneau 
$\Lambda$
est non nul.
 } 
les {\'e}quivalences ({\romannumeral2})
du th{\'e}or{\`e}me.\hfill\findem
}
\Thc co-Corrollaire| Si l'anneau
$\Lambda\ne\{0\}$
n'est pas l'anneau nul et
$m, n$
sont deux entiers naturels tels que
$\Lambda^m$
et
$\Lambda^n$
sont isomorphes alors
$m= n$%
.\hfill\findem
\finc
%
\vskip-3mm
\rmc Remarques |({\romannumeral1}) Si l'anneau 
$\Lambda$
n'est pas commutatif, le co-Corrollaire
(donc le Corollaire aussi) n'a plus lieu~:
Soit
$M$
un groupe ab{\'e}lien non nul muni d'un isomorphisme
$\Phi : M\oplus M\rightarrow M$%
, d{\'e}fini par
$\phi_i\!=\!\Phi\circ{\mathop{\rm i\/}\nolimits}_i :%
 M\rightarrow M, i\!=\!1, 2$
(par exemple
$M\!=\!{\bf Z\/}^{({\bf N\/})}, 
\phi_1(e_{n})\!=\!e_{2n}, \phi_2(e_{n})\!=\!e_{2n+1}$%
).

Alors si
$\Lambda\!=\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}(M)$
on a~: 
$\Lambda_d=\phi_1\Lambda\oplus\phi_2\Lambda$%
. D'o{\`u} pour tout entier
$n$
positif~:\hfill\break
$\displaystyle\Lambda_d=
\phi_1^n\Lambda\oplus_{i=0}^{n-1}%
\phi_1^i\circ \phi_2\Lambda$ 
et le module monog{\'e}ne
$\Lambda_d$
contient le sous-module libre {\`a} un nombre
infini de g{\'e}n{\'e}rateurs
$\displaystyle 
\oplus_{n\in{\bf N\/}}\phi_1^n\circ \phi_2\Lambda$%
. Par contre~:

({\romannumeral2})%
\note{\eightpoint voir la section {\bf 3\/} suivante.
}%
Si 
$\Lambda$
est un {\it corps\/}%
\note{\eightpoint
{\it c. a d.\/} anneau, non n{'e}c{\'e}ssairement
commutatif, non nul (%
$1\ne 0$%
) et tout {\'e}l{\'e}ment
$0\ne \lambda\in\Lambda$
non nul est {\it inversible\/} %\hfill\break
[{\it c. a d.\/} il y a
$\mu\in\Lambda$
(not{\'e}
$\mu=\lambda^{-1}$%
)
tel que
$\lambda \mu=1=\mu\lambda$%
].
}
ce Corrollaire (donc le co-Corollaire) a lieu.

({\romannumeral3}) Sans supposer l'anneau
$\Lambda$
commutatif le Corrollaire
(et donc le co-Corrollaire) restent vrais pour les
modules libres sur des ensembles infinis.
Pus pr{\'e}cis{\'e}ment~:
\finc
\vskip-3mm
\Thc Proposition|Si l'anneau
$\Lambda\ne\{0\}$
est non nul et
$f :\Lambda^{(J)}\rightarrow\Lambda^{(I)}$
est un morphisme surjectif alors,
si
$I$
est infini, son cardinal 
est au plus celui de
$J$%
~:
$${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)\leq%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$$
\finc
\vskip-5mm
{\eightpoint
\Dem Soit 
$(a_{i,\, j})_{(i,\,j)\in I\times J}$
la matrice de
${\mathop{\rm i\/}\nolimits}_I\circ%
f :\Lambda^{(J)}\rightarrow\Lambda^{I}$
alors pour tout
$j\in J$
l'ensemble
$I_{f,\, j}=\{i\in I | a_{i,\,j}\ne0\}$
est fini, la r{\'e}union
$\displaystyle I_f=\cup_{j\in J}I_{f,\, j}$
est donc finie ou de cardinal
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I_f)\leq
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$
au plus celui de
$J$%
. L'image de 
$f$
{\'e}tant incluse dans 
$\Lambda^{(I_f)}\subset\Lambda^{(I)}$
qui serait  sous-module strict si
${\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(I)>%
{\mathop{\rm Card\/}\nolimits}(J)$%
, le morphisme 
$f$
ne serait pas surjectif,
en ce cas.\hfill\findem
}
\Thc Compl{\'e}ment|
Soit
$M$
un module de type fini sur un anneau commutatif
$\Lambda$%
. Alors tout endomorphisme 
$f : M\rightarrow M$
surjectif de
$M$
est un isomorphisme.\hfill\break
{\eightpoint
Plus pr{\'e}cis{\'e}ment si
$M$
est engendr{\'e} par
$m_1,\ldots, m_n\in M$
et 
$A=(a_{i,\, j})_{1\leq i, j\leq n}\!\in\!%
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_n(\Lambda)$
une matrice telle que pour
$i=1,\ldots, n$
on ait 
$\displaystyle m_i\!=\!f(\sum_{j=1}^na_{i,\, j}m_j)%
\!=\!\sum_{j=1}^na_{i,\, j}f(m_j))$%
.\hfill\break
 Alors 
$f$
est d'inverse
$f^{-1}=P(f)$
o{\`u}\note{\eightpoint
l'intervention de
$\chi_A$
ici est uniquement pour d{\'e}crire la formule
avec un invariant connu.\hfill\break
 La preuve n'utilise que
$XP(X)\!=\!1-{\mathop{\rm det\/}\nolimits}%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-XA)$%
, et  pas l'identit{\'e} de Cayley-Hamilton.
}
le polyn{\^o}me
$P(X)\!\in\!\Lambda[X]$
est
$P=X^{-1}-X^{n-1}\chi_A(X^{-1})$%
.
}
\finc
{\eightpoint
\Dem
Dans le sous-anneau (commutatif!)
$\Lambda[f]\!\subset\!%
{\mathop{\rm End\/}\nolimits}_\Lambda(M)$
engendr{\'e} par
$f$
il suit des rela\-tions
$({\mathop{\rm det\/}\nolimits}%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-XA)){\mathop{\rm Id\/}\nolimits}\!=\!%
\widetilde{%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-XA)}
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-XA),
1-P(X)X\!=\!%
1-XP(X)\!=\!{\mathop{\rm det\/}\nolimits}%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-XA)$%
~:
$$({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-P(f)\circ f){\mathop{\rm Id\/}\nolimits}\!=\!%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-f\circ P(f)){\mathop{\rm Id\/}\nolimits}\!=\!%
\widetilde{%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-Af)}%
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-Af)%
\!=\!0$$
puisque pour
$i\!=\!1,\ldots, n$
on a
$\displaystyle
({\mathop{\rm Id\/}\nolimits}-Af)\cdot^t\!\!(m_1,\ldots,m_j,\ldots,m_n)_i%
=m_i-\sum_{i=1}^na_{i,\, j}f(m_j)\!=\!0$%
.\hfill\findem

}
%\end
%\nsecp Espaces vectoriels et dimension.|

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
