%\input JOSEPH
%\global\sssecno=3\ssecno=2\global\secno=2
%\pageno=17




%\nsssecc
%Identit{\'e}s remarquables de Crammer et du d{\'e}terminant|
%
%\nsssecp
%L'identit{\'e} remarquables de Cayley Hamilton.|
%
{\eightpoint
\nsssecp {\bf Appendice\/}~: Th{\'e}or{\`e}me fondamental de l'arithm{\'e}tique dans
les anneaux de polyn{\^o}mes {\`a} coefficients entiers en un nombre fini de variables
$\Pi_n={\bf Z\/}[X_1,\ldots, X_n]$%
 .|
\Defns Pour tout entier naturel
$n\in{\bf N\/}$
l'anneau de polyn{\^o}me
$\Pi_n$
est
$\Pi_0={\bf Z\/}$
et, si
$n>0$
est  positif, d{\'e}fini par la relation de r{\'e}currence~:
$\Pi_n=\Pi_{n-1}[X_n]$%
. 

\Defn %Un polyn{\^ o}me
$P\in\Pi_n$
est  {\it positif,\/} not{\'e}
$P\!>\!0$%
, si soit
$n\!=\!0$
et
$P\!\in\!\Pi_0\!\setminus\!(-{\bf N\/})\!=\!{\bf Z\/}\!\setminus\!(-{\bf N\/})$
 est positif pour l'ordre usuel de
$\Pi_0\!=\!{\bf Z\/}$
et les r{\'e}cur\-rences~: si
$n\!>\!0, \displaystyle P\!=\!\sum_{i=0}^dP_iX_n^{d-i}; i\!=\!0,\ldots, d, P_i\!\in\!\Pi_{n-1}, P_0\!\ne\!0$
non nul de degr{\'e}
$d$
et {\it  (coefficient) dominant\/}
$P_0\!>\!0$
 positif\note{\eightpoint
d{\'e}j{\`a} d{\'e}fini par l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence.
}
 dans
$\Pi_{n-1}$%
.\hfill\break 
Il est dit {\it n{\'e}gatif,\/} not{\'e}
$P\!<\!0$%
, si son oppos{\'e}
$-P\!>\!0$
est positif. 
On note
$\Pi_n^+\!=\!\{P\in\Pi_n | P\!>\!0\}$
et
$\Pi_n^-(\!\!=\!-\Pi_n^+)\!=\!\{P\in\Pi_n | P\!<\!0\}$
les ensembles des {\'e}l{\'e}ments positifs et n{\'e}gatifs de
$\Pi_n$%
.
\Thc Proposition|
$({\romannumeral1})$
Si
$m\!<\!n$
alors
$\Pi_m\subset\Pi_m$
et si
$P\!\in\!\Pi_m^+$
on a~:
$P\!\in\!\Pi_n^+$%
.

$({\romannumeral2})$ 
$0\!\not\in\!\Pi_n^+\cup\Pi_n^-, \Pi_n^+\cap\Pi_n^-\!=\!\emptyset$
et on a la partition~: 
$\Pi_n\!=\!\Pi_n^+\amalg\{0\}\amalg\Pi_n^-$

$({\romannumeral3})$
L'ensemble
$\Pi_n^+$
est stable par multiplication
$\cdot$
et addition 
$+$%
.
\finc
{\eightpoint
\Dem 
$({\romannumeral1})$ 
Tout
$P\!\in\!\Pi_m\!\setminus\!\{0\}$%
,  consid{\'e}r{\'e} comme
$P\!\in\!\Pi_n$%
, est
$P\!=\!P_0$%
~:  de degr{\'e}
$0$
donc {\'e}gal {\`a} son coefficient dominant, d'o{\`u}
le r{\'e}sultat par r{\'e}currence sur
$n-m$%
.\hfill\carre


$({\romannumeral2})$ 
et
$({\romannumeral3})$ 
sont clairs si
$n\!=\!0$
(car
$\Pi_0\!=\!{\bf Z\/}$%
). On suppose
$n\!>\!0$
et ces r{\'e}sultats pour
$n-1$%
.\hfil\break 
Soit
$P\!=\!P_0X_n^e+\cdots+P_e, Q\!=\!Q_0X_n^f+\cdots+Q_f\!\in\!\Pi_n, P_0\!\ne\!0\!\ne\!Q_0$
deux polyn{\^o}mes non nuls,
les coefficients dominants de 
$P\cdot Q$
et
$P+Q$
sont respectivement
$C_0\!=\!P_0\cdot Q_0$
et
$S_0$
o{\`u}~:\hfill\break
 si
$e>f, S_0\!=\!P_0$%
, si
$e\!=\!f, S_0\!=\!P_0+Q_0$
et si
$e<f, S_0\!=\!Q_0$%
. Donc, si
$P_0, Q_0\!\in\!\Pi_{n-1}^+$%
, alors
$C_0, S_0\!\in\!\Pi_{n-1}^+$%
, soit si
$P, Q\!\in\!\Pi_n^+$
alors
$P\cdot Q, P+Q\!\in\!\Pi_n^+$%
~:
$({\romannumeral3})$
pour
$n$%
.
\hfill\carre\break
On a~:
$0\!\ne\!P_0\!\in\!\Pi_{n-1}\!\setminus\!\{0\}\!=\!\Pi_{n-1}^+\amalg\Pi_{n-1}^-$
ainsi
$P\!\in\!\Pi_n^+\amalg\Pi_n^-$
d'o{\`u}
$({\romannumeral2})$
pour
$n$%
.
\hfill\carre\findem

}

\thc Corollaire|L'anneau de polyn{\^o}mes
$\Pi_n$
{\`a} coefficients entiers, muni de 
$\geq$
d{\'e}finie par
$P\geq Q$
si 
$P-Q\in\Pi_n^+\cup\{0\}$
est un anneau totalement ordonn{\'e}.

En particulier l'anneau
$\Pi_n$
est int{\`e}gre donc, si
$n>0$
et
$P, Q\in\Pi_n\setminus\{0\}$%
, on a la relation~:
$${\mathop{\rm deg}\nolimits}_{X_n}(P\cdot Q)=%
{\mathop{\rm deg}\nolimits}_{X_n}(P)+{\mathop{\rm deg}\nolimits}_{X_n}(Q)$$
\finc
\vskip-3mm
{\eightpoint
\Dem Si
$P, Q, R\in\Pi_n$
on a~:
$P-P=0\in\Pi_n^+\cup\{0\}$
donc
$P\geq P$
et
$\geq$
est r{\'e}flexive.
Si
$P\geq Q\geq P$
alors
$P-Q\!=\!-(Q-P)\!\in\!(\Pi_n^+\cup\{0\})\cap(\Pi_n^-\cup\{0\})\!=\!\{0\}$%
, et
%$P=Q$ donc
$\geq$
est antisym{\'e}trique.
Si
$P\!\geq\!Q\!\geq\!R$
on a
$P-R\!=\!(P-Q)+(Q-P)\in(\Pi_n^+\cup\{0\})+(\Pi_n^+\cup\{0\})\!=\!%
\Pi_n^+\cup\{0\}$
(par
$({\romannumeral3})$%
)
donc
$P\!\geq\!R$
et
$\geq$
est transitive et 
$\geq$
est un ordre sur
$\Pi_n^+$
qui, par
$({\romannumeral2})$%
, est total.\hfill\carre

Si
$P\geq Q$
et
$P+R-(Q+R)=P-Q\in\Pi_n^+\cup\{0\}$%
, donc
$P+R\geq Q+R$%
.\hfill\break
De plus si
$R\geq 0$%
, on a
$P\cdot R-(Q\cdot R)=(P-Q)\cdot R\in(\Pi_n^+\cup\{0\})\cdot(\Pi_n^+\cup\{0\})=\Pi_n^+\cup\{0\}$
d'o{\`u} par
$({\romannumeral3})$
$P\cdot R\geq Q\cdot R$
et l'ordre 
$\geq$
est compatible avec les op{\'e}rations de l'anneau
$\Pi$%
.\hfill\carre

Si
$\displaystyle P\!=\!\sum_{i=0}^{d={\mathop{\rm deg}\nolimits}P}\!\!a_iX_n^{d-i},%
 Q\!=\!\sum_{j=0}^{e={\mathop{\rm deg}\nolimits}Q}\!\!b_jX_n^{e-j}\in\Pi_n\!\setminus\!\{0\}$
alors
$a_0\!\cdot\!P,\,  b_0\!\cdot\!Q\!>\!0$
donc
$(a_0\cdot P)\dot(b_0\cdot Q)\!>\!0$
donc
$P\ne0, Q\ne0$
et
$\displaystyle P\cdot Q\!=\!\sum_{k=0}^{d+e}c_kX_n^{d+e-k}$
avec
$c_0\!=\!a_0\cdot b_0\ne0$%
. Ainsi
${\mathop{\rm deg}\nolimits}(P\cdot Q)\!=\!d+e$%
. \hfill\carre\findem
}

\rmc Remarque|
L'ensemble
$\Pi_n^+$
des polyn{\^o}mes positifs a
$1$
comme plus petit {\'e}l{\'e}ment, mais si
$n>0$%
, contrairement au cas
$n=0$
des entiers, la restriction de
$\geq$
{\`a} 
$\Pi_n^+$
n'est pas un bon ordre.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$P\in\Pi_n^+$
si 
${\mathop{\rm deg}\nolimits}P>0$
alors
${\mathop{\rm deg}\nolimits}(P-1)={\mathop{\rm deg}\nolimits}P>0$
et
$P\geq 1$%
.\hfill\break
Sinon, puisque
$1$
est le plus petit {\'e}l{\'e}ment de
$\Pi_0^+={\bf N\/}\setminus\{0\}$
on a aussi
$P\geq 1$%
.\hfill\carre

Comme, si
$n>0$%
, pour tout entier naturel
$m\in{\bf N}$
on a
$X-m\geq X-(m+1)$
la partie
$\{X-m | m\in{\bf N\/}\}\subset\Pi_1^+\subset\Pi_n^+$
est une partie non vide sans plus petit {\'e}l{\'e}ment de
$\Pi_n^+$%
.\hfill\findem
}
\thc Corollaire|
Les unit{\'e}s de
$\Pi_n$
sont
$\Pi_n^\ast=\{-1, 1\}$
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$u\in\Pi_n^\ast$
une unit{\'e}, quitte {\`a} consid{\'e}rer
$-u$
on peut supposer 
$u\in\Pi_n^+$%
, donc
$u\geq 1$%
. Comme 
$0\geq v$
implique
$0=u\cdot 0\geq u\cdot v$%
. L'inverse
$v\in\Pi_n^\ast$%
, v{\'e}rifiant
$u\cdot v=1>0$%
, doit v{\'e}rifier
$v>0$%
, d'o{\`u}
$1=u\cdot v\geq u\cdot 1=u$
et par antisym{\'e}trie de
$\geq$%
, on a
$u=1$%
.\hfill\findem
}
{\eightpoint
\Defns Les applications {\it signe\/} et {\it valeur absolue\/}~:
$${\mathop{\rm sgn}\nolimits} : \Pi_n\rightarrow \{-1, 0, 1\},\quad
|\ | : \Pi_n\rightarrow \Pi_n^+\cup\{0\}$$
sont d{\'e}finies par
${\mathop{\rm sgn}\nolimits}(0)=0, |0|=0$%
, si
$P\in\Pi_n^+, {\mathop{\rm sgn}\nolimits}(P)=1, |P|=P$
>et si
$P\in\Pi_n^-, {\mathop{\rm sgn}\nolimits}(P)=-, |P|=-P$
et sont multiplicatives~:\hfill\break
 pour tout
$P, Q\in\Pi_n$
on a~:
${\mathop{\rm sgn}\nolimits}(P\cdot Q)={\mathop{\rm sgn}\nolimits}(P)\cdot{\mathop{\rm sgn}\nolimits}(Q), |P\cdot Q|=|P|\cdot|Q|$%
.
}
>\Defn Un polyn{\^o}me
$P\in\Pi_n$
est dit {\it irr{\'e}ductible\/}
 si
$U, V\in\Pi_n^+$
v{\'e}rifient
$P\!=\!U\cdot V$
alors soit
$U\!\in\!\Pi_n^\ast, V\!=\!U^{-1}\cdot P$%
, soit
$V\!\in\!\Pi_n^\ast, U\!=\!V^{-1}\cdot P$%
.

\Defn Un polyn{\^o}me {\it premier\/}
est un polyn{\^o}me irr{\'e}ductible positif.\hfill\break
 On note
${\cal P\/}_n$
l'ensemble des polyn{\^o}mes premiers de 
$\Pi_n$%
.
\Thc Th{\'e}or{\`e}me fondamental de l'arithm{\'e}tique dans
$\Pi_n$%
|
Tout polyn{\^o}me
a une unique {\it factorisation en premiers\/}~:
$$\hbox{\rm Si \/} M\in\Pi_n,\quad%
 M={\mathop{\rm sgn}\nolimits}(M)\prod_{p\in{\cal P}_n}p^{\nu_P(M)}$$
{\eightpoint
o{\`u} les  {\it multiplicit{\'es} 
$\nu_P(M)\in{\bf N\/}$
de 
$p$ 
dans 
$M$%
}
sont des entiers naturels presque tous nuls.
}
\finc
{\eightpoint
\Dem Si 
$n\!>\!0$
notons
$Y\!=\!X_n$
et
${\mathop{\rm deg}\nolimits}\!=\!{\mathop{\rm deg}\nolimits}_Y$%
. Si
$M\!=\!M_1\cdot M_2,  M_1, M_2\!\not\!\in\{-1, 1\}$
alors
$|M|\!>\!|M_1|, |M_2|$
et si
$n\!>\!0, {\mathop{\rm deg}\nolimits}(M)\!\geq\!%
{\mathop{\rm deg}\nolimits}(M_1), {\mathop{\rm deg}\nolimits}(M_2)$
avec {\'e}galit{\'e} pour un 
$M_i$
seulement si 
$M_j$
est de degr{\'e} 
$0$%
. L'ordre sur  valeurs absolues si
$n\!=\!0$
et  degr{\'e}s sinon {\'e}tant bon, 
 et par l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence pour le terme dominant si
$n>0$%
, on ne peut factoriser ind{\'e}finiment
$M_I\!=\!M_{i_1,\ldots,i_k}\!=\!M_{I,1}\cdot M_{I,2}$%
. A l'arr{\^e}t les facteurs
$M_I$
sont irr{\'e}ductibles
d'o{\`u} l'existence.\hfill\carre
\break
L'unicit{\'e}~: r{\'e}currence sur, si
$n\!=\!0, |M|$
et si
$\displaystyle n\!>\!0, (n, {\mathop{\rm deg}\nolimits}M, \sum_{p\!\in\!{\cal P}_n}\nu_p(M_0))$
lexicographique.\hfill\break
{\it o. p. s.\/}
$M\!>\!0$%
. Soit
$p, q\!\in\!{\cal P}_n$
 premiers de deux d{\'e}compositions\note{\eightpoint
les produits
$u\!=\!p_2\cdots p_k, v\!=\!q_2\cdots q_l$
pouvant {\^e}tre vides (donc valoir 
$1$%
).
}~:
$p\cdot u\!=\!M\!=\!q\cdot v$
avec
$q\geq p$
et, si
$n\!>\!0, {\mathop{\rm deg}\nolimits}p, {\mathop{\rm deg}\nolimits}q\!>\!0$%
, alors soit 
$p\!=\!q$
donc
$u\!=\!v$
et le r{\'e}sultat par r{\'e}currence.
Sinon
$q\!>p$
et~:\hfill\break 
Si\note{\eightpoint
la preuve de Zermelo, initialis{\'e} par
$M\!=\!1$%
.
}
$n\!=\!0$%
~:
$N\!=\!(q\!-\!p)\cdot v\!=\!q\cdot v\!-\!p\cdot v\!=\!p\cdot u\!-\!p\cdot v\!=\!p\cdot(u\!-\!v)$%
, par r{\'e}currence (car
$M\!>\!N\!>\!0$%
),
se factorise  uniquement.
Ne divisant 
$q\!-\!p$%
, car il diviserait 
$q$
(
$\!\!\!\ne\!p$
et premier),
$p$
 est  facteur de
$v$%
. Ainsi
$u\!=\!q\cdot{{v}\over{p}}\!<\!M$%
, d'o{\`u} le r{\'e}sultat car, par r{\'e}currence,
$u$
se factorise uniquement.\hfill\carre
\break
Si
$n\!>\!0$
{\it o. p. s.\/}
$v=v'\cdot q'$
avec
$q'$
 premier 
(sinon par d{\'e}finition de
$q$
irr{\'e}ductible
$p\!=\!q, u\!=\!1$%
).\hfill\break
 Dans
$\Pi_{n-1}$
les  dominants 
$p_0\!=\!(p_0, q_0)\cdot\tilde{p_0}, q_0\!=\!(p_0, q_0)\cdot\tilde{q_0}$
de
$p, q$
ont un p.g.c.d. 
$(p_0, q_0)$
et il y a
$e\!\in{\bf N}$
tel que le polyn{\^o}me
$N\!=\!|\tilde{p_0}q\!-\!\tilde{q_0}pY^e|\cdot v'\cdot q'\!=\!%
p\cdot|\tilde{p_0}u\!-\!\tilde{q_0}v'\cdot q'|$
est positif\note{\eightpoint
S'il {\'e}tait nul,
$\tilde{p_0}, \tilde{q_0}$
{\'e}tant premiers,
$\tilde{q_0}$
diviserait le premier
$p$%
, donc
$\tilde{q_0}\!=\!1$
contredisant 
$q\!>\!p$%
.
}
 avec
${\mathop{\rm deg}\nolimits}N\!<\!{\mathop{\rm deg}\nolimits}M$%
. Comme plus haut
$q'$
divise soit
$p$
soit
$u$
soit
$\tilde{p_0}$.
Dans ce dernier cas il y a
$d\!\in\!{\bf N}, c\!\in\!\Pi_{n-1}$
tel que
$N'\!=\!|p\!-\!q'cY^d|\cdot u\!=\!q'\cdot|q\cdot v'-cY^du|$
a
${\mathop{\rm deg}\nolimits}N\!<\!{\mathop{\rm deg}\nolimits}M$%
. Comme plus haut 
$q'$
est soit facteur de
$u$
soit  divise le premier
$p$%
, ainsi
$q'\!=\!p$%
. Dans tous les cas 
$q'$
apparait dans la factorisation 
$p\cdot u$%
. D'o{\`u} le r{\'e}sultat par r{\'e}currence en simplifiant par
$q'$
les deux factorisations~:
${{p\cdot u}\over{q'}}\!=\!q\cdot v'$%
.
\hfill\carre\findem

}


}
%\end

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
