%\input JOSEPH
%\global\ssecno=1\global\secno=2
%\pageno=12

%
%\nsecp Calcul matriciel et d{\'e}terminants.|
%\nssep Calcul matriciel.|

\nssecp Quelques identit{\'e}s polynomiales.|
\nsssecc 
M{\'e}thode de Gauss%
\note{\eightpoint
appel{\'e}e fang cheng 
(mod{\`e}le rectangulaire) par  Chang Ts'ang
(
$\uppercase\expandafter{\romannumeral2}$\ieme
sci{\`e}cle avant notre {\`e}re)
{\`a} qui, selon P. Gabriel ({\bf [Ga]\/}), il faut attribuer
cet algorithme de r{\'e}solution des syst{\`e}mes
lin{\'e}aires.
}
pour le 
\og syst{\`e}me 
$n\!\times\!n\/$
 g{\'e}n{\'e}ral\fgf|
%
{Soit}
% 
\vskip-3mm
$$\widetilde{\Lambda}=\widetilde{\Lambda}_n=
{\Bbb Z\/}\,[a_{i,\,j}]_{1\leq i,\, j\leq n}\/$$
%
l'anneau  des polyn{\^o}mes 
{\`a} coefficients entiers en 
$n^2\/$ 
variables
$a_{i,\,j}, 1\leq i,\, j\leq n\/$%
. Cet anneau est factoriel, de corps des fractions
$\widetilde{K}=
{\Bbb Z\/}\,(a_{i,\,j})_{1\leq i,\, j\leq n}\/$ 
le corps des fractions rationnelles en ces 
$n^2\/$ 
variables 
$a_{i,\,j}\/$%
. On notera
$\widetilde{\Lambda}[Y]\/$ et $\widetilde{K}[Y]$ 
les anneaux des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients dans 
$\widetilde{\Lambda}\/$ 
et 
$\widetilde{K}\/$ 
respectivement en 
$n\/$ 
variables 
$Y_1,\,\ldots,\, Y_n\/$
que l'on consid{\`e}re comme une colonne 
$Y=(Y_1,\,\ldots,\,Y_n)^t\/$ 
de variables.

Si 
$p\!\in\!\widetilde{\Lambda}\/$
est un plolyn{\^o}me en les 
$n^2\/$ 
variables 
$a_{i,\,j}\/$%
, le polyn{\^o}me obtenu en rempla\c cant dans 
$p\/$ 
la 
$k\/$%
\ieme colonne de variables par la colonne
$Y=(Y_1,\ldots,Y_n)^t \/$%
, c'est {\`a} dire en substituant dans 
$p\/$%
, pour 
$i=1,\ldots, n\/$
la variable 
$Y_i\/$ 
{\`a} la variable 
$a_{i,\,k}\/$ 
est not{\'e}
$p\,(A_{\bullet,\, k}=Y)\/$%
.
 

La 
{\it matrice g{\'e}n{\'e}rale\/} 
$n\!\times\!n\/$ 
est la matrice
$A=(a_{i,\,j})_{\build{1\leq i\leq n}_{1\leq j\leq n}^{}}
\in 
{\mathop{\rm M}\nolimits}_n\,(\widetilde{\Lambda})\/$%
. 

Le 
{\it syst{\`e}me g{\'e}n{\'e}ral\/} 
$n\!\times\!n\/$ 
est le syst{\`e}me lin{\'e}aire 
$A\cdot X=Y\/$
dans 
$\widetilde{\Lambda}[Y]\/$ :
$$\left\{  \matrix{
a_{1,\,1}\,X_1&+&a_{1,\,2}\,X_2&\ldots\,+&%
a_{1,\,i}\,X_i&\ldots\,+&a_{1,\,n}\,X_n&=&Y_1\cr
a_{2,\,1}\,X_1&+&a_{2,\,2}\,X_2&\ldots\,+&%
a_{2,\,i}\,X_i&\ldots\,+&a_{2,\,n}\,X_n&=&Y_2\cr
\ \vdots\hfill&&\ \vdots\hfill&&\ \vdots\hfill&%
\vdots&\ \vdots\hfill&\vdots &\ \vdots\hfill\cr
a_{n,\,1}\,X_1&+&a_{n,\,2}\,X_2&\ldots\,+&%
a_{n,\,i}\,X_i&\ldots\,+&a_{n,\,n}\,X_n&=&Y_n\cr
}\right.\leqno(\Sigma)$$


On d{\'e}finit, pour 
$0\leq g\leq n$
les matrices
$A^g=
(a^g_{i,\,j})_{\build{1\leq i\leq n}_{1\leq j\leq n}^{}}
\in 
{\mathop{\rm M\/}\nolimits}_n\,(\widetilde{\Lambda})\/$
par
$A^0=A$
 et, en posant
$a^0_{0,\,0}=1$
et utilisant le symbole de Kronecker
$\delta_{g,\,g}=1, \delta_{i, g}=0$
si
$i\ne g$%
,
 les relations de r{\'e}currence si 
$0<g$%
~:
$$a^{g}_{i,\,j}=
a^{g-1}_{g,\,g}\,a^{g-1}_{i,\,j}-
a^{g-1}_{i,\,g}\,a^{g-1}_{g,\,j}+
\delta_{i,\, g}a^{g-1}_{g-1,\,g-1}a^{g-1}_{i,\, j}$$
ainsi
$a^{g}_{g,\,j}=a^{g-1}_{g-1,\,g-1}a^{g-1}_{i,\, j}$
et, si
$i\ne g,
a^{g}_{i,\,j}=
a^{g-1}_{g,\,g}\,a^{g-1}_{i,\,j}-
a^{g-1}_{i,\,g}\,a^{g-1}_{g,\,j}$
donc
$a^{g}_{i,\,g}=0$%
~:

\Thc Lemme|({\romannumeral1})  Pour 
$j\!\leq\!g$
et
$i\!\ne\!j$
on a~:
$a^{g}_{j,\,j}\!=\!a^{g}_{g,\, g}\!=\!a^{g-1}_{g-1,\,g-1}a^{g-1}_{g,\, g}$
et
$a^{g}_{i,\,j}\!=\!0$

({\romannumeral2}) Les polyn{\^o}mes 
$a^g_{i,\,j}=B^g_{i,\,\bullet}\cdot A_{\bullet,\,j}\/$ 
sont lin{\'e}aires\note{\eightpoint
o{\^u} la ligne
$B^g_{i,\,\bullet}\in\tilde{\Lambda}^n$
(ne contenant aucun
$a_{i,\,j}$
pour
$1\leq i\leq n$%
)
exprime cette lin{\'e}arit{\'e}.
} en les variables de la 
$j\/$%
\ieme colonne, ne d{\'e}pendent que des variables 
$a_{r,\,s}\/$ 
avec 
$r\leq i,\,s\leq j\/$  
et sont homog{\`e}nes\note{\eightpoint
 de degr{\'e} 
$2^{g}\/$
si
$g=0$
ou
$i>1$
et
$2^g-1$
si
$i=1$
et
$g>0$%
.
}%
.


({\romannumeral3}) Pour 
$g=0,\,\ldots,\,n\/$ 
on a 
$A^g({\mathop{\rm Id}\nolimits})=
{\mathop{\rm Id}\nolimits}\/$%
.

\finc 
Pour
$0\leq g\leq n$
d{\'e}finissons la colonne
$Y^g\in \widetilde{\Lambda}[Y]^n$
 de composantes
$$Y^g_i=a^g_{i,\,n}(A_{\bullet,\,n}=Y)=
B^g_{i,\,\bullet}\cdot Y$$
et notons
$B^g$
la matrice dont la
$i$%
\ieme ligne est
$B^g_{i,\,\bullet}$
donn{\'e}e par 
({\romannumeral2}) du Lemme.

{\eightpoint
La matrice
$A^g$
s'obtient {\`a} partir de
$A^{g-1}$
en multipliant sa
$g$%
\ieme
ligne par
$a^{g-1}_{g-1,\,g-1}$
et en retranchant aux autres 
$i$%
\iemes
lignes multipli{\'e}s par
$a^{g-1}_{g,\,g}$%
, leur
$g$%
\ieme ligne multipli{\'e} par
$a^{g-1}_{i,\,g}$%
. Comme\note{\eightpoint
selon
({\romannumeral1}) et ({\romannumeral3})
du Lemme.
}
$a^{g-1}_{g-1,\,g-1}\ne0\ne a^{g-1}_{g,\,g}\in%
 \widetilde{\Lambda}\subset\widetilde{K}$%
, le syst{\`e}me
$A^0X=AX=Y$
est, dans 
$\widetilde{K}[Y]$%
, {\'e}quivalent aux
 syst{\`e}mes interm{\'e}diaires
$A^{g-1}X=Y^{g-1}, g=2,\ldots, n$
qui, en posant
$d_g=a^g_{g,\,g}\in \widetilde{\Lambda}$%
, sont~:

$$\left\{  \matrix{
d_{g-1}\,X_1&\cdots+\,0\cdots&%
+\,0&\!\!\cdots+\,0\cdots&%
+a^{g-1}_{1,\,g}\,X_{g}&\!\!+\cdots&
+a^{g-1}_{1,\,n}\,X_n&=\ Y^{g-1}_1\cr
%
\noalign{\vskip 2mm}
%
\build{\hfill 0 \hfill}_{\vdots}^{\vdots}\quad\ &
\!\!\build{\ \ \ \hfill\, +\, 0\, \hfill \ \ \ \ \ \ }_%
{^{\ \ \ \ \ \ \ddots}}^{\ddots \ \ \ \ \ \ \ \ }&
\build{+\, d_{g-1}\,X_k}_%
{\build{\hfill 0 \hfill}_{\vdots}^{\vdots}}^%
{\build{\hfill 0 \hfill}_{\vdots}^{\vdots}}&
\!\!\build{\ \ \ \hfill\, +\, 0\, \hfill \ \ \ \ \ \ }_%
{^{\ \ \ \ \ \ \ddots}}^{\ddots \ \ \ \ \ \ \ \ }&
\build{+ a^{g-1}_{k,\,g}\,X_g}_{\vdots}^{\vdots}&%
\!\!+\cdots&
\build{a^{g-1}_{k,\,n}\,X_n}_{\vdots}^{\vdots}&
=\ \build{Y^{g-1}_k}_{\vdots}^{\vdots}\cr
\noalign{\vskip 3mm}
%
\hfill 0 \hfill&\!\!\cdots+\,0\cdots&+\,0&%
\!\!\cdots+\,0\cdots&
+a^{g-1}_{g,\,g}\,X_{g}&\!\!+\cdots&
+a^{g-1}_{g,\,n}\,X_n&=\ Y^{g-1}_g\cr
%
\vdots&\vdots &\hfill\vdots\ &
\vdots&
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\cr
%
0&\!\!\cdots+0\cdots&+0&\!\!\cdots+0\cdots&
+a^{g-1}_{n,\,g}\,X_{g}&\!\!+\cdots&
+a^{g-1}_{n,\,n}\,X_n&=\ Y^{g-1}_n\cr
%
}\right.\leqno(\Sigma_{g-1})$$
et le syst{\`e}me 
$AX=Y$
est aussi {\'e}quivalent au dernier syst{\`e}me
$A^nX=Y^n$%
, qui, {\'e}tant  diagonal~:
$$d_nX_i=Y^n_i,\quad i=1,\ldots, n 
\leqno(\Sigma_{n})$$
et comme 
$Y^n_i=B_i^n\cdot Y$
est lin{\'e}aire en
$Y$%
,  a dans
$\widetilde{K}[Y]$
les solutions lin{\'e}aires en
$Y$%
~:
$$X_i=(d_n^{-1}B^n_i)\cdot Y,\quad i=1,\ldots, n
\leqno(S)$$
 Comme
$Y=A\cdot X$%
, on a
$Y=A\cdot\bigl((d_n^{-1}B^n)\cdot Y\bigr)=
\bigl(A\cdot(d_n^{-1}B^n)\bigr)\cdot Y$
et
$X=(d_n^{-1}B^n)\cdot Y=
(d_n^{-1}B^n)\cdot (A\cdot X))=
((d_n^{-1}B^n)\cdot A)\cdot X$
d'o{\`u}, dans
${\mathop{\rm M}\nolimits}_n\,(\widetilde{K})\/$%
, les relations~:
$$A\cdot (d_n^{-1}B^n)=
{\mathop{\rm Id}\nolimits}_n=
(d_n^{-1}B^n)\cdot A$$
traduisant que la matrice g{\'e}n{\'e}rale
$A$
est inversible dans 
${\mathop{\rm M}\nolimits}_n\,(\widetilde{K})\/$%
, d'inverse
$(d_n^{-1}B^n)$%
~:
}

\Thc Corollaire|La matrice g{\'e}n{\'e}rale 
est inversible dans 
${\mathop{\rm M\/}\nolimits}_n\!(\widetilde{K})\/$%
.\hfill\break
Plus pr{\'e}cis{\'e}ment~:
Il y a une matrice 
$B^n\!\in\! %
M_n(\widetilde{\Lambda})$
{\`a} coefficients homog{\`e}nes et un polyn{\^o}me 
$d_n\/$ 
homog{\`e}ne et lin{\'e}aire
en la derni{\`e}re colonne, tels que 
$d_n\,({\rm Id\/})\!=\!1\/$ 
et
$$B^n\cdot A=
d_n{\mathop{\rm Id}\nolimits}_n=
A\cdot B^n$$
De plus la derni{\`e}re
coordonn{\'e}e $x_n\/$ de la solution 
$x\in \widetilde{K}[Y]^n\/$ de $A\, X=Y\/$ 
v{\'e}rifie :
$$d_n x_n=d_n(A_{\bullet,\,n}=Y)$$

\finc
%
%\nsssecc
%Identit{\'e}s remarquables de Crammer et du d{\'e}terminant|
%


%\end 



%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|