%\input JOSEPH
%\global\ssecno=2\global\secno=1
%\pageno=5

%\nssecp Applications lin{\'e}aires,

%\nssecp Sous-modules et modules quotients.|

\nssecp Noyau, image, factorisation canonique
et suites exactes.|
\Defns Soit 
$f\in{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_\Lambda(M, N)$ 
un morphisme de
 $M$
 vers 
$N$
son {\it noyau\/} et son {\it image\/} sont
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)=
\{m\in M|\ f(m)=0\}$ 
et 
${\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f)=\{f(m)|\ m\in M\}$%
.\hfill\break
Ce sont des sous-modules de
 $M$ 
et 
$N$
 respectivement.
Le {\it conoyau\/} et la {\it coimage\/} de 
$f$ 
sont respectivement~:
${\mathop{\rm coker\/}\nolimits}(f)=
N/{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f)$ 
et 
${\mathop{\rm coim\/}\nolimits}(f)= 
M/{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)$%
. Ainsi~:

{\eightpoint
{\sl Un morphisme est surjectif si et seulement si
son conoyau
${\rm coker\/}\,(f)\!=\!0$
est nul.}\hfill\break
Plus utile que ce pl{\'e}onasme est la fondamentale~:
}

\Thc Proposition 1| Un morphisme 
$f : M\rightarrow N$
 est injectif 
ssi
${\rm ker\/}\,(f)=0$%
.
\finc

\Thc Proposition 2| Tout morphisme 
$f : M\rightarrow N$
a une unique factorisation
$$f : 
M\build{\longrightarrow}_{}^{\pi}{\rm coim\/}\,(f)
\build{\longrightarrow}_{}^{\overline{f}}{\rm Im\/}\,(f)
\build{\longrightarrow}_{}^{i_{{\rm Im\/}\,(f)}}N$$
{\eightpoint
o{\`u} 
$\pi$
 est 
le morphisme quotient,
$\overline{f}$
un isomorphisme et 
$i_{\rm Im\/}\,(f)$
l'inclusion de l'image dans le but.
}
\finc
\vskip-4mm
{\eightpoint
\Defn Une {\it suite exacte\/} ({\it courte\/})
de 
$\Lambda$%
-modules, not{\'e}e
$0\!\rightarrow\!U\!\build{\rightarrow}_{}^{i}\!%
V\!\build{\rightarrow}_{}^{j}\!W\!%
\rightarrow\!0$%
, est la donn{\'e}e de morpismes
$i : U\rightarrow V$
injectif et
$j : V\rightarrow W$
surjectif  tels que
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(j)=
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(i)$%
.
\rmc Exemples|
a) Si
$U\subset M$
est un sous-module d'un module
$M$%
, on a la suite exacte~:
$$0\rightarrow U
\rightarrow M%
\rightarrow M/U
\rightarrow0$$


b) Si
$f : M\rightarrow N$
est un morphisme de modules, on a la suite exacte~:
$$0\rightarrow{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(f)%
\rightarrow M%
\rightarrow{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(f)%
\rightarrow0$$
\finc
\vskip-4mm
{\eightpoint
\Defn
Un {\it morphisme\/} d'une suite exacte
$0\!\rightarrow\!U\!\build{\rightarrow}_{}^{i}\!%
V\!\build{\rightarrow}_{}^{j}\!W\!%
\rightarrow\!0$
vers une suite exacte
$0\!\rightarrow\!U'\!\build{\rightarrow}_{}^{i'}\!%
V'\!\build{\rightarrow}_{}^{j'}\!W'\!%
\rightarrow\!0$
est la donn{\'e}e, not{\'e}e
$(f, g, h)$%
, de trois morphismes
$f : U\rightarrow U', g : V\!\rightarrow\!V'$
et
$h : W\!\rightarrow\!W'$
tels que
$g\circ i\!=\!i'\circ f$
et
$h\circ j\!=\!j'\circ g$%
, conditions que l'on exprime en disant que~:
$$\matrix{0\rightarrow&U&\build{\rightarrow}_{}^{i}&%
V&\build{\rightarrow}_{}^{j}&W&%
\rightarrow0\cr
&f\downarrow&&g\downarrow&&h\downarrow\cr
0\rightarrow&U'&\build{\rightarrow}_{}^{i'}&%
V'&\build{\rightarrow}_{}^{j'}&W'&%
\rightarrow0\cr
}$$
est un {\it diagramme commutatif.\/} On a alors
le {\it (petit\note{\eightpoint
Pour le vrai Lemme des cinq,
faire l'exercice {\bf 25\/} du {\bf \S7\/} de {\bf [Go]\/}.
}) Lemme des cinq\/}~:
}
\Thc Lemme| Si les deux morphismes
lat{\'e}raux 
$f$
et
$h$
sont des isomorphismes,\hfill\break
alors le morphisme central 
$g$
est un isomorphisme.
\finc
{\eightpoint
\Dem D'apr{\`e}s le lemme de {\bf 1.1\/} il
suffit de montrer que 
$g$
est bijectif. 

Soit
$v'\!\in\!V'$.
Comme
$h, j$
sont surjectifs, il y a
$w\!\in\!W, v_1\!\in\!V$
tel que
$h(w)=j'(v'), j(v_1)=w$%
. Ainsi
$j'(v'-g(v_1))=j'(v')-j'(g(v_1))=
j'(v')-h(j(v_1))=0$%
, donc
$v'-g(v_1)\in{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(j')=%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(i')$
et il y a
$u'\in U'$
avec
$i'(u')=v'-g(v_1)$%
. Comme
$f$ est surjectif, il y a
$u\in U$
avec
$f(u)=u'$%
, d'o{\`u}
$g(i(u)+v_1)=g(i(u))+g(v_1)=i'(f(u))+g(v_1)=
v'-g(v_1)+g(v_1)=v'$
et
$g$
est surjectif.\hfill\carre

Soit
$v\in{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(g)$%
. On a
$h(j(v))=j'(g(v))=j'(0)=0$%
, donc
$j(v)\in{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(h)$%
, qui est nul d'apr{\`e}s la Proposition 1,
puisque
$h$ 
est injectif.
Ainsi
$v\in{\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(j)=%
{\mathop{\rm Im\/}\nolimits}(i)$
et il y a
$u\in U$
tel que
$i(u)=v$%
. Comme
$i'\circ f(u)=g\circ i(u)=g(i(u))=g(v)=0$
et
$i', f$
sont injectifs on a~:
$u=0$%
, d'o{\`u}
$v=0$%
. Ainsi
${\mathop{\rm ker\/}\nolimits}(g)=0$
et la Proposition 1 assure que
$g$ 
est aussi injective, donc bijective.\hfill\carre\findem
}
}


%\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
