%\input JOSEPH
%\global\ssecno=1\global\secno=1
%\pageno=4

%\nssecp Applications lin{\'e}aires,

\nssecp Sous-modules et modules quotients.|
\Defn Un {\it sous-module\/} d'un
 $\Lambda$%
-module 
$M$
est un sous-groupe
ab{\'e}lien
$U\subset M$
de
$M$
stable par homoth{\'e}tie [%
pour tout $\lambda\in \Lambda$
on a~:
$\gamma\,(\lambda)(U)=\lambda\,U\subset U$%
].

C'est un 
$\Lambda$%
-module et l'inclusion
$i_U : U\hookrightarrow M$
 est un morphisme.
% 
\rmc Exemples|
$M, \{0\}\subset M$
sont des sous-modules dits 
{\it triviaux, plein et nul\/}.
On note
$0\!=\!\{0\}$%
.
\finc
\Thc Proposition 1| Soit 
$U_i,\ i\in I$
des sous-modules  d'un module 
$M$%
. Alors :

(i) L'intersection
 $\cap_{i\in I}U_i$
de cette famille
est un sous-module de
 $M$%
,\hfill\break
 c'est le plus grand sous-module de
 $M$ 
inclus dans tous les 
$U_i$%
.

(ii) L'intersection des sous-modules contenant 
chacun tous les
 $U_i$
est le plus petit sous-module
 les contenant tous.\hfill\break
Il est form{\'e} des sommes finies d'{\'e}l{\'e}ments
$u_i\in U_i$%
, c'est la {\it somme\/} des 
$U_i$%
.\hfill\break
 On le note
$\sum_{i\in I}U_i$
 ou, dans le cas o{\`u} 
$I=\{1,\ldots,n\}$
est fini, 
$U_1+U_2+\cdots+U_n$%
.
\finc
\Thc Compl{\'e}ment et d{\'e}finitions|
Soit
$\underline{m}=(m_i)_{i\in I}, m_i\in M$
(resp.
$E\subset M$%
) une famille (resp. partie) d'un
$\Lambda$%
-module
$M$%
. Il y a un plus petit sous-module de
$M$
contenant tous les
$m_i, i\!\in\!I$
(resp. la partie
$E$%
) c'est le {\it sous-module engendr{\'e} par\/}
la famille
$\underline{m}$
(resp. la partie
$E$%
) not{\'e}e
$<\underline{m}>=<\underline{m}>_\Lambda$
(resp.
$<E>=<E>_\Lambda$%
). 

Si
$M=<\underline{m}>_\Lambda$%
, le module
$M$
est dit {\it engendr{\'e} par\/} la famille
$\underline{m}$%
.

Un module
$M$
 est dit {\it de type fini\/}
({\it engendr{\'e} sur
$\Lambda$
par\/}
$m_1,\ldots,m_n$%
)
si\hfill\break
$M=<m_1,\ldots, m_n>_\Lambda$%
, il est engendr{\'e} par une famille
$\underline{m}=m_1,\ldots, m_n$
finie.
\finc

\Defns Deux {\'e}l{\'e}ments
 $x, y\in M$
sont {\it congrus\/} modulo un sous-module 
$U$\hfill\break 
si 
$x-y\in U$%
, on note alors
$x\equiv y\ {\rm mod\/}\,U$%
. 

{\eightpoint
La congruence modulo un sous-module est 
une relation d'{\'e}quivalence et l'ensemble
quotient est muni d'une unique structure de 
$\Lambda$%
-module, le
{\it 
$\Lambda$%
-module quotient\/}\
 $M/U$%
, pour laquelle
l'application quotient est un morphisme, le
{\it morphisme quotient\/}\ 
$\pi : M\rightarrow M/U$%
. De plus~:
}
%
\Thc Proposition 2| La pr{\'e}composition 
$g\mapsto g\circ \pi$ 
par 
$\pi$ 
est un isomorphisme du groupe ab{\'e}lien 
${\rm Hom\/}_\Lambda\,(M/U, N)$ 
sur le sous-groupe
$\{f\in {\rm Hom\/}_\Lambda\,(M, N)| f_{|U}=0\}$ 
des morphismes de 
$M$ 
vers 
$N$
s'annulant sur 
$U$%
.

Si l'anneau 
$\Lambda$ 
est commutatif, c'est un isomorphisme de 
$\Lambda$%
-module.
\finc
%
\vskip10mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip3mm

La notion de sous-objet et 
structure quotient en alg{\`e}bre,
pr{\'e}par{\'e}e en exercice dans
{\bf [Go]\/}, et le point de vue de la
Proposition 2 (insister plus sur morphismes 
qu'objets) est plus syst{\'e}ma\-tiquement
utilis{\'e} et d{\'e}velopp{\'e} dans 
{\bf [Bo]\/} et {\bf [Lg]\/}, et le 
Vocabulaire Math{\'e}matique de
{\bf [Co]\/}.

}


%\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
