 %\input JOSEPH
%\global\ssecno=0\global\secno=1
%\pageno=3
\nssecp Applications lin{\'e}aires,
morphismes et isomorphismes.|
\Defns Une application {\it 
$\Lambda$%
-lin{\'e}aire\/} 
d'un 
$\Lambda$%
-module 
$M$
 vers un
 $\Lambda$%
-module 
$N$
est un homomorphisme 
$f : M\rightarrow N$ 
des groupes ab{\'e}liens sous-jacents
qui commute avec les homoth{\'e}ties : pour tout 
$m\in M$
 et 
$\lambda\in \Lambda$
on a 
$f\,(\lambda\,m)=\lambda\,f(m)$%
.

{\eightpoint
Ainsi une application
$f : M\rightarrow N$
entre deux 
$\Lambda$%
-modules est\note{\eightpoint
$f(x\!-\!y)\!=\!f(1 x+(\!-1)y)\!=\!%
f(x)-f(y)$
et
$f(\lambda x)\!=\!f(\lambda x\!+\!0 0)\!=\!%
\lambda f(x)\!+\!0f(0)\!=\!\lambda f(x)$%
.
} 
$\Lambda$%
-lin{\'e}aire si et seulement
si pour tout
$x, y\in M$
et
$\lambda, \mu\in\Lambda$
on a~:
$f(\lambda x+\mu y)=
\lambda f(x)+\mu f(u)$%
.
}

Un synonyme d'application lin{\'e}aire est
{\it morphisme de
 $\Lambda$%
-modules\/}
ou {\it 
$\Lambda$%
-mor\-phisme\/}. Si l'anneau 
$\Lambda$
est fix{\'e} par le contexte on parlera simplement
de {\it modules\/}, {\it applications lin{\'e}aires\/}
 ou {\it morphismes\/}.

L'identit{\'e} 
${\mathop{\rm Id}\nolimits}_M$
 d'un module 
$M$
est un morphisme  et le compos{\'e}
$g\circ f : M\rightarrow P$
 de deux morphismes
 $f : M\rightarrow N$ 
et
$g : N\rightarrow P$
est un morphisme.

L'ensemble des morphismes de
$\Lambda$%
-modules de 
$M$
 vers 
$N$
est not{\'e} 
${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_\Lambda(M, N)$%
. C'est un sous-groupe du groupe
 ${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}\,(M, N)=
{\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_{\Bbb Z\/}\,(M, N)$
des homomorphismes de groupe ab{\'e}lien de 
$M$
 vers
 $N$%
.

Un morphisme 
$f :M\rightarrow N$ 
est un
{\it isomorphisme\/} si il y a un morphisme 
$g : N\rightarrow M$
tel que
$g\circ f={\mathop{\rm Id}\nolimits}_M$
et 
$f\circ g={\mathop{\rm Id}\nolimits}_N$%
.

{\eightpoint
En ce cas l'application
$f$
est bijective d'application r{\'e}ciproque
$f^{-1}=g$%
. En fait~:
}
\Thc Lemme|
Soit
$f : M\rightarrow N$
un morphisme bijectif. \hfill\break
Alors son application r{\'e}ciproque 
$g=f^{-1} : N\rightarrow M$
est un morphisme. 

Ainsi
un morphisme est un isomorphisme si et seuleument si
il est bijectif.
\finc
{\eightpoint
\Dem Soit
$u, v\in N, \lambda,\mu\in\Lambda$
alors comme
$u\!=\!f(g(u)), v\!=\!f(g(v))$
\hfill\break
et
$\lambda g(u)+\mu g(v)\!=\!g(f(\lambda g(u)+\mu g(v)))$
on a~:\hfill\break
$g(\lambda u+\mu v)=
g(\lambda f(g(u))+\mu f(g(v)))=
g(f(\lambda g(u)+\mu g(v)))=
\lambda g(u)+\mu g(v)$%
.\hfill\findem
}

Dans le cas o{\`u} le module
$N$
est muni d'une structure bilat{\'e}rale\hfill\break
{\eightpoint
[par exemple l'usuelle
 (resp. la canonique) sur
$N=\Lambda^n$ 
(resp., si l'anneau
$\Lambda$
est commutatif)]
}
pour tout
$f\in {\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_\Lambda\,(M, N)$
et tout 
$\lambda, \mu\in\Lambda$
et
$y\in N$%
, on a~:
$$f\,(\lambda\,x)\mu=(\lambda\,f\,(x))\,\mu=
\lambda\,(f\,(x)\mu)$$
ainsi l'application
$f\,\mu :M\rightarrow N,\
 x\mapsto f\,(x)\,\mu$
est
 $\Lambda$%
-lin{\'e}aire, c'est
l'homoth{\'e}tique de 
$f$
de rapport
 $\mu$ pour la
{\it structure de 
$\Lambda$%
-module {\`a} droite\/} de
 ${\mathop{\rm Hom\/}\nolimits}_\Lambda\,(M, N)$%
.




%
\vskip10mm
{\eightpoint
\centerline{\eightpoint\petcap
 Commentaires bibliographiques\/}
\vskip3mm

Plus de d{\'e}tails sur  modules 
morphismes sont dans\note%
{\eightpoint
Un manuel \og{\'e}l{\'e}mentaire mais correct\fgf,
sans la \og standard mistake\fg
 de l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire~:
se \og m{\'e}langer les  c{\^o}t{\'e} des scalaires\fg
en passant de l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire abstraite
au calcul matriciel.
}
les \S10 {\`a} \S13 de {\bf [Go]\/}, le {\bf 1.4\/} de {\bf [Sa2]\/}, 
ou  les plus exaustifs Kap. 12 de {\bf [vW]\/}, 
\S1 et \S2 de {\bf [Bo]\/} Chap
{\uppercase\expandafter{\romannumeral2}}, 
{\bf [Ja]\/} vol. \uppercase\expandafter{\romannumeral1}
et chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral3} de {\bf [Lg]\/}.

}



%\end 

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|

%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
