%\input JOSEPH
%\global\ssecno=0\global\secno=0

\nsecp Modules.|
\parc Soient
$f, g : M\rightarrow N$ 
deux homorphismes
 d'un groupe
ab{\'e}lien 
$M$ 
vers un groupe ab{\'e}lien 
$N$%
, leur somme 
$h=f+g$ 
est l'application qui {\`a} 
$m\in M$
 associe 
$h(m)=f(m)+g(m)\in N$%
. Comme l'addition
$+$
de
$N$
est commutative\note{\eightpoint %
$h(x+y)\!=\!f(x+y)+g(x+y)\!=\!f(x)+f(y)+g(x)+g(y)%
\!=\!f(x)+g(x)+f(y)+g(y)\!=\!h(x)+h(y)$
}%
,  c'est un homorphisme de groupe
ab{\'e}lien.
Muni de cette loi d'addition, l'ensemble
${\rm Hom\/}(M, N)$ 
des homomorphismes de 
$M$
 vers 
$N$
est un groupe ab{\'e}lien. 

Dans le cas o{\`u} 
$M=N$%
, source et but co{\"\i}ncidant,
deux homomorphismes 
$f, g : M\rightarrow M$%
, des {\it endomorphismes\/} de
 $M$%
,
se composent et
 $f\!\circ\!g : M\rightarrow M,\ 
x\mapsto f\!\circ\!g\,(x)=f\,(g\,(x))$
est un endomorphisme. 
Cette deuxi{\`e}me loi est associative, 
a l'identit{\'e}
${\rm Id\/}_M$
 de
 $M$
 comme {\'e}l{\'e}ment neutre et est distributive 
par rapport {\`a} l'addition, ainsi
 $({\rm End\/}\,(M), +, \circ)$ 
est un anneau. L'anneau oppos{\'e}
 ${\rm End\/}\,(M)^{\rm o\/}$ 
peut s'interpr{\'e}ter comme le m{\^e}me
ensemble muni des m{\^e}mes lois, mais en 
{\'e}crivant la variable {\`a} gauche
 de l'application : l'image par l'application
 $f$
 du point 
$m$
 est not{\'e}e
$(m)f$%
.
\finc

\Defns Soit 
$\Lambda$ 
un anneau, dit {\it anneau des scalaires\/}, un {\it
 $\Lambda$%
-module {\`a} gauche\/}
(respectivement {\it {\`a} droite\/})
est un groupe ab{\'e}lien 
$M$
 muni d'un morphisme d'anneau
$\gamma : \Lambda\rightarrow{\rm End\/}\,(M)$
(respectivement
 $\delta : 
\Lambda\rightarrow{\rm End\/}\,(M)^{\rm o\/}$%
).

{\eightpoint
Pour tout 
$\lambda\!\in\!\Lambda$
 et 
$m\in M$ 
on note alors
$\gamma\,(\lambda)(m)\!=\!\lambda\,m$
(resp. 
$\delta\,(\lambda)(m)$
 (ou 
$(m)\,\delta\,(\lambda))\!=\!\, m\lambda$%
. L'endomorphisme
 $\gamma\,(\lambda)$
(resp.
$\delta\,(\lambda)$%
) est l'{\it homoth{\'e}tie\/}
({\it {\`a} gauche\/}) (resp.
 ({\it {\`a} droite\/})) de rapport 
$\lambda$%
.
}



\Defn
Un
{\it
$\Lambda$%
-module bilat{\'e}ral\/}
est un groupe ab{\'e}lien
$M$
muni de structures de
$\Lambda$%
-modules {\`a} gauche et {\`a} droite
$\gamma, \delta : \Lambda\rightarrow{\rm End\/}\,(M)$
commutant~:\hfill\break
 pour tout
$\lambda, \mu\!\in\!\Lambda, m\!\in\! M$
on a
$(\lambda m)\mu\!=\!
\gamma(\lambda)\circ\delta(\mu)(m)\!=\!%
\delta(\mu)\circ\gamma(\lambda)(m)\!=\!%
\lambda(m \mu)$%
.
\rmc Exemples| 
a) Si
$M\!=\!\Lambda$
(ou plus g{\'e}n{\'e}ralement
$M=\Lambda^n, n\!\in\!{\bf N\/}$%
)
les multiplications {\`a} gauche et {\`a} droite
$((\lambda, \mu), m)\mapsto \lambda m\mu$
(resp.
$((\lambda, \mu), (m_i)_{1\leq i\leq n})%
\mapsto
(\lambda m_i\mu)_{1\leq i\leq n})$
d'un {\'e}l{\'e}ment
$m\!\in\!M\!=\!\Lambda$
(resp.
$\Lambda^n$%
)
par les scalaires
$\lambda, \mu\!\in\!\Lambda$
donnent {\`a}
$M$
sa {\it structure de
$\Lambda$%
-module bilat{\'e}ral usuelle\/}.

b) Si l'anneau
 $\Lambda$
 est commutatif les notions de module
$M$
{\`a} gauche et {\`a}
droite sont pratiquement identiques\note{\eightpoint
Si
$M$
est un
$\Lambda$%
-module {\`a} gauche alors
pour tout
$\lambda, \mu\!\in\!\Lambda$
et
$m\!\in\!M$
on a~:\hfill\break
$\lambda\cdot(\mu\cdot m)\!=\!(\lambda\mu)\cdot m\!=\!%
(\mu\lambda)\cdot m\!=\!\mu\cdot(\lambda\cdot m)$
donc
$(m, \lambda)\mapsto m\cdot \lambda
\build{{\mathop{=}\nolimits}}_{}^{\sevenrm Def}
\lambda\cdot m$
donne {\`a}
$M$
une structure de
$\Lambda$%
-module {\`a} droite commutant {\`a}
la structure initiale. De m{\^e}me un
 un 
$\Lambda$%
-module {\`a} droite 
$N$
est, par
$(\lambda, n)\mapsto \lambda\cdot n
\build{{\mathop{=}\nolimits}}_{}^{\sevenrm Def}
n\cdot\lambda$
un 
$\Lambda$%
-module {\`a} gauche et un
$\Lambda$%
-module bilat{\'e}ral.
}
et produisent une structure de
$\Lambda$%
-module bilat{\'e}rale dite {\it canonique\/}.

c) Tout groupe ab{\'e}lien 
$M$ 
a une unique structure de
${\Bbb Z\/}$%
-module {\`a} gauche et {\`a} droite~:\hfill\break
si 
$k\geq0$%
,
$\gamma\,(k)(m)=
\delta\,(k)(m)=
\underbrace{m+\cdots+m}_{k\ {\hbox{\rm fois\/}}}$
 et si
 $k\leq0$%
, 
$-(\underbrace{m+\cdots+m}_{-k\ {\hbox{\rm fois\/}}})$%
.
\finc


\parc Si l'anneau
 $\Lambda$
n'est pas commutatif les notions de module
$M$
{\`a} gauche et {\`a}
droite sont distinctes et
quand un ensemble est muni de deux structures de 
$\Lambda$%
-module, l'une  {\`a} gauche l'autre {\`a} droite, 
comme par exemple l'anneau 
$\Lambda$%
, on pr{\'e}cisera
de quel c{\^o}t{\'e} on se place~:
les structure {\`a} gauche et {\`a}
droite de 
$\Lambda$
 sont not{\'e}es\note{\eightpoint
en suivant l'usage (issu du latin)
$s$
et
$d$
pour sinistra et dextra.
}
$\Lambda_s, \Lambda_d$%
.

Hormis pour la structure de 
$\Lambda$%
-module sur le dual servant {\`a} produire
 le morphisme canonique d'un 
$\Lambda$%
-module dans son bidual, et les applications
de la dimension aux corps gauches
cet opuscule ne s'occupe que de situations
 o{\`u} tous les modules sont du m{\^e}me c{\^o}t{\'e}.

 Conform{\'e}ment {\`a} un usage trop bien {\'e}tabli
pour {\^e}tre {\'e}branl{\'e},
il est {\'e}crit pour les
 $\Lambda$%
-modules {\`a} gauche.%\hfill\break
 (mais, suivant l'usage,
le calcul matriciel est d{\'e}velopp{\'e} pour les
 $\Lambda$%
-modules {\`a} droite!)

%On laisse au lecteur le soin d'effectuer 
%les traductions des {\'e}nonc{\'e}s 
%pour les modules {\`a} droite (en particulier 
%de traiter de mani{\`e}re coh{\'e}rente
%alg{\`e}bre lin{\'e}aire et calcul matriciel!).

\finc
%



%\end

%
%\hbox{\carre\nobreak\qed}
%
%\uppercase\expandafter{\romannumeral1}
%
%{\mathop{\rm Log}\nolimits}
%
%\build{=}_{}^{\sevenrm u.c.}
%
%\build{{\mathop{\rm Lim}\nolimits}}_{z\rightarrow u}^{}
%
%\rmc {\bf Exercice 1 }|
%\finc


%\nsecp Espaces m{\'e}triques sur un corps, orthogonalit{\'e} et  isomorphisme|
%

%\nssecp Produits scalaires et espaces m{\'e}triques|
