%\input JOSEPH
%\global\ssecno=0\global\secno=0
%\def\page {\leaders\hbox to 2mm{\hfil.\hfil}\hfill
%\rlap{\hbox to 6m{\hfill #1}}\par
%}
%\def\npage {\vfill\eject \global\notenumber=1}
%\auteurcourant={\hfill\eightrm Groupe de Witt 
%bilin{\'e}aire\hfill {}Chapitre 1}
%\titrecourant={\eightrm Appendice A\hfill
 %Alg{\`e}bre lin{\'e}aire\hfill}
\null\vskip-30mm
\parc
%\centerline{\petcap Appendice A}
\titre  Alg{\`e}bre lin{\'e}aire.|
\finc
%
{\eightpoint
\centerline{Mat122 et Mat111, Valence-Grenoble 
printemps automne hiver {\oldstyle 2009}, {\oldstyle 2010}}


 %
%
%\null\vskip2mm
\centerline{Collection de \og cours {\`a} distance\fg
d'accoutumance {\`a}
de robustes\note{\eightpoint
mais que sous le r{\`e}gne de El'hemd{\'e}e, certains 
traitent de poussi{\`e}reuses.
 }
r{\'e}f{\'e}rences.
}
\vskip3mm
\centerline{\petcap 1 Modules}
\vskip1mm
Introduction et d{\'e}finitions. \page 2

{\bf 1.1 Applications lin{\'e}aires, morphismes et isomorphismes.\/}
 \page 3

{\bf 1.2 Sous-modules et modules quotients.\/}
 \page 4

{\bf 1.3 Noyau, image, factorisation canonique et suites exactes.\/}
 \page 5

{\bf 1.4 Produit, somme directe et module libre sur un ensemble.\/}
 \page 6

{\bf 1.5 Dualit{\'e}, transposition et application canonique  vers le bidual.\/}
 \page 9



\vskip3mm
\centerline{\petcap 2 Calcul matriciel et d{\'e}terminants.\/}
\vskip1mm
{\bf 2.1 Calcul matriciel.\/}
 \page 10

{\bf 2.2 Quelques identit{\'e}s polynomiales.\/}\hfill
 %\page 12
\vskip-5mm
\null\quad{\bf 2.2.1\/} {\sl M{\'e}tode de Gauss pour le \og syst{\`e}me %
$n\!\times\!n$
g{\'e}n{\'e}ral\fgf.\/}
 \page 12
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 2.2.2\/} {\sl Les identit{\'e}s remarquables de Crammer %
et du d{\'e}terminant.\/}
 \page 14
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 2.2.3\/} {\sl L'identit{\'e} remarquable de  %
Cayley-Hamilton.\/}
 \page 16\vskip-4mm
\null\quad{\bf 2.2.4\/} {\bf Appendice~:\/}
{\sl Th{\'e}or{\`e}me fondamental de l'arithm{\'e}tique dans
${\bf Z\/}[X_1,\ldots, X_n]$%
.\/}
 \page 17

{\bf 2.3 D{\'e}terminant sur un anneau commutatif et applications.\/}
 \page 19
\vskip3mm
\centerline{\petcap 3 Espaces vectoriels et dimension.\/}
\vskip1mm
Introduction et d{\'e}finition. \page 21

{\bf 3.1 Combinaisons lin{\'e}aires.\/}
 \page 21

{\bf 3.2 Dimension d'un espace vectoriel.\/}
 \page 23

{\bf 3.3 Le th{\'e}or{\`e}me du rang.\/}
 \page 24

{\bf 3.4 Applications aux syst{\'e}mes lin{\'e}aires.\/}
 \page 25
\vskip-5mm
\null\quad{\bf 3.4.1\/} {\sl Syst{\`e}mes lin{\'e}aires~: %
\uppercase\expandafter{\romannumeral1} le langage.\/}
 \page 25
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 3.4.1\/} {\sl Syst{\`e}mes lin{\'e}aires~: %
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} %
rang du syst{\`e}me transpos{\'e}.\/}
 \page 26

{\bf 3.5 Structure rationnelle sur un sous-corps.\/}
 \page 28
\vskip-5mm
\null\quad{\bf 3.5.1\/} {\sl D{\'e}finitions exemples et propri{\'e}t{\'e}s.\/}
 \page 28
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 3.5.2\/} {\sl Applications~: %
\uppercase\expandafter{\romannumeral1} Quelques propri{\'e}t{\'e}s %
des corps gauches.\/}
 \page 30
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 3.5.3\/} {\sl Applications~: %
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} Tours de sous-corps d'un corps %
non d{\'e}nombrable.\/}
 \page 34
\vskip-4mm
\null\quad{\bf 3.5.4\/} {\sl Applications~: %
\uppercase\expandafter{\romannumeral3} Dimension du dual d'un %
espace de dimension infinie.\/}
 \page 35
\vskip2mm
{\bf Compl{\'e}ments (non exhaustifs!) de bibliographie.\/}
\page 37

 }
\parc
On utilisera les baba ensemblistes
(entiers naturels, ensemble, applications, injection, surjections
et les propri{\'e}t{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires des
cardinaux),  relire {\bf [Ld]\/} et
les \S 0 {\`a} \S 8 de
{\bf [Go]\/}.

Le {\bf 2.2\/} utilise qu'un anneau de polyn{\^o}mes
({\`a} nombre fini de variables) {\`a}
coefficients entiers relatifs est factoriel.
Ce fait tr{\`e}s {\'e}l{\'e}mentaire
(voir la preuve\note{\eightpoint
n'utilisant pas qu'un anneau de polyn{\^o}mes sur un corps est principal (donc factoriel).
}
de l'appendice {\bf 2.2.4\/}) adaptant celle de Zermolo 
[voir p. 11-12 de {\bf [Sa1]\/}] pour les entiers)
est  rarement expos{\'e} dans les manuels.
Pour l'approche classique  voir
les exercices  {\bf 21\/} du \S{\bf 31\/} et
{\bf 31\/} du \S{\bf 32\/} de  {\bf [Go]\/}, les Chap.
\uppercase\expandafter{\romannumeral1} et 
\uppercase\expandafter{\romannumeral2} de {\bf [Sa1]\/},
ou les \S18 puis \S30 et \S 31, ainsi que l'algorithme \S32 de {\bf [vW]\/},
ou encore le \S20 de {\bf [Wb]\/}.

Les {\bf 3.5.3\/}, {\bf 3.5.4\/} utilisent un peu
de  r{\'e}currence transfinie
(voir chap. \uppercase\expandafter{\romannumeral2}
de {\bf [Kr]\/} et/ou {\bf [Ha]\/}),
on consultera aussi la seconde partie (p. 17-30) du cours de magist{\`e}re {\bf [Gu]\/}.
\finc



%\end