Math242  Analyse de Fourier 2  TABLE DES MATIÈRES

Analyse de Fourier 2

Régularité, convergence ponctuelle des séries de Fourier

Table des matières

1 Régularité et noyaux.  3
1.1 Coefficients de Fourier de fonctions régulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Approximation en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Convergence au sens de Césaro.  7
2.1 Calculs trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Le théorème de Féjer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Convergence ponctuelle des séries de Fourier.  10
3.1 Un contre-exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Les sommes primées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Localité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Théorème de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Fonctions à Variations bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Notation

On rappelle que E = {f : {𝕋 → ℂ | f intégrable} l’ensemble des fonctions intégrables sur le cercle et qu’à un tel f ∈ E est associée la fonction 2π-périodique intégrable sur les intervalles bornés : f̃ = f ∘ ρ : ℝ →_{ρ} 𝕋 →_{f} ℂ. Une telle 2π-périodique intégrable sur les intervalles bornés f̃ s’écrit

uniquement de cette forme f̃ = f ∘ ρ et on fera l’abus de notation pour la fonction 2π-périodique f̃ au lieu de f̃, de a noter f par la même lettre que la fonction sur le cercle.

Présentation

On aura remarqué que les preuves des deux théorèmes d’approximations de Weierstrass se ressemblent beaucoup. On donnera un cadre commun expliquant cette resemblance et permettant d’obtenir le caractère local de la convergence des séries de Fourier, c. a d. si deux fonctions coïncident au voisinage d’un point alors la série de Fourier de l’une converge en ce point si et seulement si la série de Fourier de l’autre converge en ce point. Comme nous commencerons par déduire de la convergence en moyenne quadratique que la série de Fourier d’une fonction continuement dérivable, plus généralement dont la dérivée est intégrable (au sens de Riemann), converge uniformément vers cette fonction, ce résultat de localité de la convergence des séries de Fourier justifiera la convergence des séries de Fourier que l’on a observé en TD. On établira que les moyennes des sommes partielles des séries de Fourier des fonctions continues convergent vers la fonction, construira une fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas en un point et terminera, comme annoncé, en établissant la convergence des séries de Fourier (sans faire de moyenne) pour les fonctions monotones par morceaux^{1} résultat que l’on généralisera aux fonctions à variations bornées

1. Exercice : une fonction monotone sur le cercle est constante.

Math242  Analyse de Fourier 2

1 Régularité et noyaux.

1.1 Ordre de grandeur des coefficients de Fourier et régularité.

1.1.1 Lemme. Soit f : 𝕋 → ℂ définie sur le cercle et intégrable.

Alors les coefficients de Fourier f̂(n) de f tendent vers 0 quand |n| tend vers l’infini.

Démonstration : Cela suit de ∑_{n∈ℤ} |f̂(n)|^{2} =< f, f >< +∞ □

1.1.2 Définition et Proposition. Une fonction f : 𝕋 → ℂ définie sur le cercle est :

(i) dérivable si la fonction 2π-périodique correspondante f̃ = f ∘ ρ : ℝ → ℂ est dérivable. La fonction dérivée f̃′ : ℝ → ℂ est alors 2π-périodique. La fonction correspondante définie sur le cercle, notée f′: 𝕋 → ℂ, est la fonction dérivée de f.

(ii) intégrablement dérivable [respectivement continuement dérivable] si elle est dérivable et sa fonction dérivée est intégrable au sens de Riemann [respectivement continue].

Démonstration : Comme pour tout x ∈ ℝ on a f̃(x + 2π) = f̃(x) il vient en dérivant la relation f̃′(x + 2π) = f̃′(x), ainsi f̃′ est 2π-périodique. □

1.1.3 Proposition. Si f : 𝕋 → ℂ est intégrablement dérivable alors pour tout n ∈ ℤ on a :

inf̂(n) = f̂′(n)

Démonstration : La fonction g : 𝕋 → ℂ, g(t) = f(t)e^{−int} est dérivable de dérivée est g′(t) = f′(t)e^{−int} − inf(t)e^{−int} .

Donc 0 = [g]_{−π}^{π} = ∫_{−π}^{π} f′(t)e^{−int} − inf(t)e^{−int} dt = 2π[f̂′(n) − inf̂(n)] d’où f̂′(n) − inf̂(n) = 0. □

1.1.4 Corollaire. La série de Fourier d’une fonction f : 𝕋 → ℂ intégrablement dérivable est normalment (donc uniformément) convergente. Ainsi une fonction intégrablement dérivable sur le cercle est somme uniforme de sa série de Fourier.

Démonstration : Par 1.1.3 si n ≠ 0, f̂(n) = \frac{1}{in} f̂′(n). Donc par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

∑_{n∈ℤ} |f̂(n)| = |f̂(0)| + ∑_{0≠n∈ℤ} |f̂(n)| ≤ |f̂(0)| + \sqrt{2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}}} \sqrt{∑_{n∈ℤ} |f̂′(n)|^{2}} = |f̂(0)| + \frac{π}{\sqrt{3}} ∥ f′∥_{2}

□

Math242  Analyse de Fourier 2  1.2 Approximation en un point

1.1.5 Définition et Corollaire. Soit 0 ≠ k ∈ ℕ un entier positif. Une fonction définie sur le cercle est k-fois intégrablement dérivable si la fonction 2π-périodique correspondante f̃ est k-fois dérivable et si sa dérivée k^{ième} f̃^{(k)} est intégrable au sens de Riemann. On note f^{(k)} : 𝕋 → ℝ la fonction sur le cercle correspondant à f̃^{(k)} . En ce cas f̂(0) = 0 et pour 1 ≤ l ≤ k et n ≠ 0 on a :

f̂(n) = \frac{1}{(in)^{l}} f̂^{(l)} (n)

1.1.6 Corollaire. Soit 0 < k ∈ ℕ un entier positif et f : 𝕋 → ℂ intégrable telle que

∑_{n∈ℤ} |f̂(n)| · |n|^{k} < +∞

alors f est k fois continuement dérivable et pour 1≤l ≤k de dérivée l^{ième} somme uniforme de :

∑_{n∈ℤ}(in)^{l}f̂(n)e^{int}

Démonstration : L’hypothèse assure que pour 0 ≤ l < k d’une part que les séries ∑_{n∈ℤ}(in)^{l}f̂(n)e^{int} convergent normalement (donc uniformément) donc

en un point et d’autre part que les séries ∑_{n∈ℤ}(in)^{l+1} f̂(n)e^{int} de leurs dérivées convergent aussi normalement. On conclut par une récurence décroisssante

de l = k − 1 à l = 0 en appliquant le théorème de convergence uniforme des fonctions dérivables □

1.2 Approximation de fonctions continues à l’aide de noyaux.

(Noyaux convergeant en un point de continuité)

1.2.1 Théorème. On se donne un choix pour tout n ∈ ℕ de fontions k_{n} vérifiant :

(i) Pour tout n ∈ ℕ on a 1 = \frac{1}{2π} ∫_{𝕋} k_{n} [=< k_{n}, 1 >]

(ii) Il y a K > 0 tel que pour tout n ∈ ℕ on a : \frac{1}{2π} ∫_{𝕋} |k_{n}| ≤ K

(iii) Pour tout δ ∈]0, π[ on a : lim_{n→+∞} \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |k_{n}| = 0

Alors si f ∈ E est continue en t ∈ 𝕋 on a :

f ∗ k_{n}(t) =_{Déf} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x) · k_{n}(t − x) dx → f(t)

De plus si f est continue sur 𝕋 (respectivement sur un intervalle ouvert ]a, b[⊂ 𝕋)

la convergence est uniforme sur 𝕋 (respectivement sur tout sous-intervalle fermé [c, d] ⊂]a, b[).

Démonstration : Comme f est intégrable elle est bornée et il y a M > 0 tel que pour tout t ∈ 𝕋 on a |f′t)| ≤ M. Soit ϵ > 0, comme f est continue en t il y a δ ∈]0, π[ tel que pour tout s ∈ 𝕋 avec |s − t| ≤ α on ait |f(s) − f(t)| ≤ \frac{ϵ}{2K}.

Soit alors, d’après la troisième hypothèse N ∈ ℕ tel que pour tout n ∈ ℕ avec n ≥ N on ait \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |k_{n}| ≤ \frac{ϵ}{4M}. Par définition de f ∗ k_{n}, périodicité et changement de variable x = t + u on a

f ∗ k_{n}(t) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x) · k_{n}(t − x) dx = \frac{1}{2π} ∫_{t−δ}^{t−δ+2π} f(x) · k_{n}(t − x) dx = \frac{1}{2π} ∫_{−δ}^{2π−δ} f(t + u) · k_{n}(u) du

D’après la première hypothèse et par périodicité f(t) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t) · k_{n}(−u) du = \frac{1}{2π} ∫_{−δ}^{2π−δ} f(t) · k_{n}(−u) du. D’où

|f ∗ k_{n}(t) − f(t)| = \frac{1}{2π} |∫_{−δ}^{δ} (f(t + u) − f(t)) · k_{n}(u) du + ∫_{δ}^{2π−δ} (f(t + u) − f(t)) · k_{n}(−u) du| ≤

≤ \frac{1}{2π} ∫_{−δ}^{δ} |f(t + u) − f(t)| · |k_{n}(−u)| du + \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |f(t + u) − f(t)| · |k_{n}(−u)| du ≤ \frac{ϵ}{2K} K + 2M \frac{ϵ}{4M} = ϵ

Si f est continue sur 𝕋 (ou ]a, b[) on applique la continuité uniforme sur 𝕋 (ou près de [c, d]).

□

1.2.2 Remarque. Si les k_{n} ≥ 0 sont à valeurs positives ou nulles la seconde condition dans les hypothèses du théorème suit de la première. En ce cas la troisième condition est impliquée par la plus vérifiable : quand n tend vers l’infini, k_{n} tend vers 0 sur ]0, 2π[, uniformément sur les sous-intrvalles bornés.

1.2.3 Exemple. k_{n}(x) = 2πT_{n}(x) = πδ_{n}( \frac{1 + cos(x)}{2} )^{n} = πδ_{n} cos(\frac{t}{2})^{n} où δ_{n} = [∫_{0}^{π} cos^{n}(\frac{t}{2}) dt]^{−1} [Voir 1.3. de Deux théorèmes d’approximations.]

1.2.4 Complément. Si de plus les k_{n} sont des fonctions paires et g ∈ E (quotient d’une fonction 2π-périodique R-intégrable encore notée g) a en t des limites à gauche g(t_{−} ) et à droite g(t_{+} ) alors :

g ∗ k_{n}(t) =^{Déf} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} g(x) · k_{n}(t − x) dx → \frac{1}{2}(g(t_{−} ) + g(t_{+} ))

1.2.5 Remarques. 1. Ceci conduit certains auteurs^{1)} à considérer, pour les séries de Fourier, les sous- ^{1)} par exemple 18.2 d’un cours d’analyse de J.-.E. Rombaldi : espaces de E contenant les fonctions continues et sur lesquels le produit scalaire <, > est non dégénéré, _{http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/r̃ombaldi/Capes/AnalyseChap18.pdf} comme celui des fonctions g continues par morceaux vérifiant en tout point g(t) = \frac{1}{2}(g(t_{−} ) + g(t_{+} )).

2. Les fonctions monotones, plus généralment les fonctions dans le sous-espace de E engendré par les fonctions monotones^{2)} ont en tout point une limite à gauche et une limite à droite et, contrairement ^{2)} Elles sont différence de deux fonctions croissantes et, suite à une aux fonctions continues (pour lesquelle la série de Fourier ne converge pas nécéssairement partout), _{une définition plus intrinsèque, sont dites à variations bornées.} vérifient le théorème de Dirichlet (qui clôturera le cours) : En tout point la série de Fourier d’une fonction à variation bornées converge vers la moyenne de ses limites à droite et à gauche.

Démonstration du complément : Soit f_{t} = f : ℝ → ℝ définie par, si x ∈ t+2πℤ, f_{t}(x) = \frac{1}{2}(g(t_{−} )+g(t_{+} )) et si x ∉ t+2πℤ, f_{t}(x) = \frac{1}{2}(g(2t−x)+g(x)). Comme 2t − (t + h) = t − h on a f_{t}(t + h) tend, si h > 0 tend vers 0 vers \frac{1}{2}(g(t_{−} ) + g(t_{+} )) = f_{t}(t) et si h < 0, f(t + h) tend vers 0 vers \frac{1}{2}(g(t_{+} ) + g(t_{−} )) = \frac{1}{2}(g(t_{−} ) + g(t_{+} )) = f(t) la fonction f est continue en t. Ainsi le théorème 1.2.1 s’appliqe et f ∗ k_{n}(t) →_{n→∞} f(t) = \frac{1}{2}(g(t_{−} ) + g(t_{+} )).

D’autre part f ∗ k_{n}(t) = \frac{1}{2π} ∫_{t−π}^{t+π} f(x) · k_{n}(t − x) dx qui par le changement de variable x = t + u est \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t + u) · k_{n}(−u) du, puis par définition de

g vaut f ∗ k_{n}(t) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1}{2}(g(t − u) + g(t + u)) · k_{n}(−u) du = \frac{1}{2π}[\frac{1}{2} ∫_{−π}^{π} g(t − u) · k_{n}(−u) du + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(t + u) · k_{n}(−u) du] soit, par parité de k_{n} dans la

première intégrale et le changement de variable x = t + u dans la seconde : f ∗ k_{n}(t) = \frac{1}{2}[\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(t − u) · k_{n}(u) du + \frac{1}{2π} ∫_{t−π}^{t+π} g(x) · k_{n}(t − x) dx] puis

par le changement de variable y = t − u dans la première intégrale et la définition de g ∗ k_{n}(t) dans la seconde :

f ∗ k_{n}(t) = \frac{1}{2}[\frac{1}{2π} ∫_{t−π}^{t+π} g(y) · k_{n}(t − y) dy + g ∗ k_{n}(t)] = \frac{1}{2}[g ∗ k_{n}(t) + g ∗ k_{n}(t)] et g ∗ k_{n}(t) = f ∗ k_{n}(t) →_{n→∞} 0.

□

1.2.6 Remarque. Si la fonction g n’est pas continue, puisqu’une somme uniforme f̂(0) + ∑_{n=1}^{∞} f̂(n)e^{int} + f̂(−n)e^{−int} de fonctions continues f̂(n)e^{int} + f̂(−n)e^{−int}

est continue, la convergence dans le complément 1.2.4 ne peut être uniforme.

1.2.7 Exercice. Expliciter le point de la démonstration du théorème 1.2.1 y donnant dans le cas où f est continue la convergence uniforme qui ne passe pas dans le cas du complément 1.2.4 si g vérifie en tout point t ∈ 𝕋 les hypothèses de ce complément, mais admet au moins une discontinuité.

2 Convergence au sens de Césaro des séries de Fourier des

fonctions continues.

2.1 Calculs trigonométriques.

2.1.1 Lemme. Soit M ∈ ℤ, L ∈ ℕ, α ∈ ℝ et t ∈ ℝ \ 2πℤ alors :

∑_{k=M}^{M+L} e^{i(α+k)t} = e^{i(α+M+ \frac{L}{2} )} \frac{sin(\frac{L+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})}

Démonstration : ∑_{k=M}^{M+L} e^{i(α+k)t} = e^{i(α+M)t} ∑_{k=0}^{L} e^{i kt} et comme t ∈ ℝ \ 2πℤ, e^{it} ≠ 1, la série géométrique ∑_{k=0}^{L} e^{i kt} = ∑_{k=0}^{L} (e^{i t})^{k}, de raison e^{it} ≠ 1 vaut :

\frac{e^{i(L+1)t} − 1}{e^{it} − 1} = \frac{e^{i \frac{L+1}{2} t}(e^{i \frac{L+1}{2} t} − e^{−i \frac{L+1}{2} t} )}{e^{i \frac{t}{2}} (e^{i \frac{t}{2}} − e^{−i \frac{t}{2}} )} = \frac{e^{i \frac{L}{2} t} · e^{i \frac{t}{2}} · 2i · sin(\frac{L+1}{2} t)}{e^{i \frac{t}{2}} · 2i · sin(\frac{t}{2})}= e^{i \frac{L}{2} t} \frac{sin(\frac{L+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})} d’où le résultat : ∑_{k=M}^{M+L} e^{i(α+k)t} = e^{i(α+M+ \frac{L}{2} )} \frac{sin(\frac{L+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})}. □

En appliquant ce lemme à α = 0, M = −N et L = 2N puis en prenant parties réelles et imaginaires du cas général avec L = N et, dans le dernier point prenant α = \frac{1}{2} et M = 0 on obtient : 2.1.2 Corollaire. Soit M ∈ ℤ, N ∈ ℕ, t, α ∈ ℝ avec t ≢ 0 mod(2π) alors :

(i) ∑_{k=−N}^{N} e^{i k t} = \frac{sin([N + \frac{1}{2}]t)}{sin(\frac{t}{2})} = \frac{sin([\frac{1}{2} + N]t)}{sin(\frac{t}{2})}

(ii) ∑_{k=M}^{M+N} cos([α + k]t) = cos([α + M + \frac{N}{2} ]t)\frac{sin(\frac{N+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})}

(iii) ∑_{k=M}^{M+N} sin([α + k]t) = sin([α + M + \frac{N}{2} ]t)\frac{sin(\frac{N+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})} En particulier

∑_{n=0}^{N} sin([\frac{1}{2} + n]t) = sin([\frac{1 + N}{2} ]t)\frac{sin(\frac{N+1}{2} t)}{sin(\frac{t}{2})} = \frac{sin^{2}([\frac{1}{2} + N]t)}{sin(\frac{t}{2})}

2.1.3 Remarque. Les deux derniers points de ce corollaire (et donc le Lemme) peuvent aussi s’obtenir en utilisant les relations d’addition 2 cos(a) · sin(b) = sin(a + b) − sin(a − b) et 2 sin(a) · sin(b) = cos(a − b) − cos(a + b) pour a = (α + k)t et b = \frac{t}{2}, faire se télescoper les sommes, puis les mêmes formules dans l’autre sens sin(B) − sin(A) = 2 cos(\frac{A+B}{2} ) · sin(\frac{B−A}{2} ) et cos(A) − cos(B) = 2 sin(\frac{A+B}{2} ) · sin(\frac{B−A}{2} ) permettent de nettoyer le résultat.

Math242  Analyse de Fourier 2  2.2 Le théorème de Féjer.

2.2 Noyaux de Dirichlet et Fejer, le théorème de Féjer.

2.2.1 Définition et Corollaire. Soit N ∈ ℕ et t ∈ ℝ. La valeur en t du N^{ième} noyau de Dirichlet est D_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n}, D_{N}(t) = ∑_{n=−N}^{N} e^{int} qui

si t ≡ 0 mod(2π) vaut D_{N}(t) = 2N + 1 et D_{N}(t) = \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} sinon.

N^{ième} noyau de Fejer est, K_{N} = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} D_{N}, K_{N}(t) = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} D_{N}(t) qui,

si t ≡ 0 mod(2π) vaut K_{N}(t) = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} 2n + 1 = N + 1 et K_{N}(t) = \frac{1}{N + 1} \frac{sin^{2}(\frac{N+1}{2} t)}{sin^{2}(\frac{t}{2})} sinon.

2.2.2 Remarques. 1. Comme \frac{1}{2π} ∫_{𝕋} e_{0} = 1 et si n ≠ 0, \frac{1}{2π} ∫_{𝕋} e_{n} = 0 les noyaux de Dirichlet

D_{N} = ∑_{n=−N}^{N} e_{n} et Fejer K_{N} = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} D_{N} vérifient la première hypothèse du théorème 1.2.1 2. Les K_{N} étant à valeurs positives ou nulles vérifient donc ausi la seconde hypothèse de 1.2.1 et la

troisième, puisque si δ ∈]0, π[ et |t|∈[δ, π] on a 0 ≤ K_{N}(t) ≤ \frac{1}{N + 1} \frac{1}{sin^{2}(\frac{δ}{2})} ≤ \frac{π^{2}}{(N + 1)δ^{2}} →_{N→∞} 0

3. Par contre^{3)} les D_{N} ne vérifient ni la seconde ni la troisième hypothèse de 1.2.1 .

3)

2.2.3 Exercice. Soit δ ∈]0, π[, k, N ∈ ℕ avec 0 < k ≤ \frac{N−1}{2} et

N ≥ \frac{2π}{δ} . Vérifier |∫ \frac{2kπ}{N+1} ; \frac{2(k−1)π}{N+1} D_{N} (t) dt| ≥ \frac{4}{N + 1} · \frac{1}{sin( \frac{kπ}{N+1} )} ≥ \frac{2π}{k} .

En déduire \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |D_{N} (t)| dt ≥ 2 log( \frac{4π}{7δ} ). En particulier :

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |D_{N} (t)| dt ≥ \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |D_{N} (t)| dt n’est pas borné in-

dépendamment de N et \frac{1}{2π} ∫_{δ}^{2π−δ} |D_{N} (t)| dt ne tend pas vers 0 quand N tend vers l’infini.

4. Soit f ∈ E. Comme pour tout n ∈ ℕ on a

f ∗ e_{n}(t) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{in(t−x)} dx = f̂(n)e^{int}

la N^{ième} somme partielle de la série de Fourier de f est S_{N}(f) = f ∗ D_{N} et

f ∗ K_{N} = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} f ∗ D_{n} = \frac{1}{N + 1} ∑_{n=0}^{N} S_{n}(f)

est la moyenne des N + 1^{ième} premières sommes partielles de la série de Fourier de f. Ces remarques et le théorème 1.2.1 . donnent alors le :

Math242  Analyse de Fourier 2  2.2 Le théorème de Féjer.

2.2.4 Corollaire et Définition. Soit f : 𝕋 → ℂ continue alors les moyennes ∑_{n=0}^{N} S_{n}(f) des

N + 1^{ièmes} premières sommes partielles de la série de Fourier de f convergent uniformément vers f. : (Théorème de Fejér)

Une fonction continue sur le cercle est limite uniforme au sens de Césaro de sa série de Fourier.

2.2.5 Rappel. 1. Soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite convergente^{4)}. ^{4)} de nombres complexes, ou fonctions définie sur un intervalle, en

ce dernier cas la convergence peut être soit simple soit uniforme

Alors la suite dite de Césaro associèe à la suite (a_{n})_{n∈ℕ} c_{n} = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} a_{n} des moyennes des

n + 1 premiers termes de la suite (a_{n})_{n∈ℕ} converge et

lim_{n→∞} c_{n} = lim_{n→∞} a_{n}

Démonstration : Comme la suite est convergente elle est bornée : il y a A ≥ 0 tel que pour tout n ∈ ℕ, |a_{n}| ≤ A. Soit a = lim_{n→∞} a_{n} et ϵ > 0.

Il y a N ≥ 0 tel que pour tout n > N on ait |a − a_{n}| ≤ \frac{ϵ}{2} donc pour n ≥ (N + 1)[\frac{4A}{ϵ} + 1] on a :

|a − c_{n}| = \frac{1}{n + 1} |(n + 1)a − ∑_{k=0}^{n} a_{n}| = \frac{1}{n + 1} |∑_{k=0}^{n} a − a_{n} | ≤ \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} |a − a_{n}| ≤ \frac{1}{n + 1} [∑_{k=0}^{N} |a − a_{n}| + ∑_{k=N+1}^{n} |a − a_{n}|] ≤ \frac{N + 1}{n + 1} 2A + \frac{n − N}{n + 1} \frac{ϵ}{2} ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ □

2. Une suite (a_{n})_{n∈ℕ} converge au sens de Césaro si sa suite de Césaro associée c_{n} = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} a_{n}

converge. Il y a des suites convergentes au sens de Césaro mais non convergente.

2.2.6 Exemple. La suite a_{n} = (−1)^{n} ne converge pas mais, puisque les termes de la suite de Césaro associée sont

c_{n} = \frac{1}{n + 1} ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} = \frac{1 − (−1)^{n+1}}{(n + 1)(1 − (−1)} = \frac{1 + (−1)^{n}}{2(n + 1)}

sont nuls si n = 2k + 1 est impair et valent c_{2k} = \frac{1}{n+1} si n = 2k est pair elle converge au sensde Césaro vers 0.

Math242  Analyse de Fourier 2

3 Convergence ponctuelle des séries de Fourier.

3.1 Une fonction continue de série de Fourier non convergente en zéro.

3.1.1 Lemme.

D_{N}(t) = K_{N}(t) + ∑_{k=−N}^{N} \frac{|k|}{N + 1} · e^{ikt}

Démonstration : (N + 1)K_{N}(t)= ∑_{n=0}^{N} ∑_{k=−n}^{n} e^{ikt} = ∑_{k=−N}^{N} ∑_{n=|k|}^{N} e^{ikt} = ∑_{k=−N}^{N} (N + 1 − |k|) · e^{ikt} =(N + 1) ∑_{k=−N}^{N} e^{ikt} − ∑_{k=−N}^{N} |k| · e^{ikt} =(N + 1)D_{N}(t) − ∑_{k=−N}^{N} |k| · e^{ikt}. □

3.1.2 Corollaire. Pour tout entier N ∈ ℕ \ \{0\} positif et réel t ∈ ℝ on a : |∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n}| ≤ \frac{π}{2} + 1 Démonstration : Soit f ∈ E quotient de la fonction 2π-périodique vérifiant f(0) = 0 et pour 0 < t < 2π, f(t) = \frac{π − t}{2} , elle est impaire. Ses coeficients

de Fourier sont f̂(0) = 0 et, si n ≠ 0, f̂(n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{π − t}{2} e^{−int} dt = [ \frac{1}{2π} \frac{π − t}{2} \frac{e^{−int}}{−in} ] _{0}^{2π} − \frac{1}{4π · in} ∫_{0}^{2π} e^{−int} dt = \frac{−π · e^{−in2π} − (π · e^{−in2π} )}{−4π · in} = \frac{1}{2in}.

Donc la N^{ième} somme partielle de la série de Fourier de f est ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n} = S_{N}(f). Ainsi d’après le lemme 3.1.1 :

∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n} = f ∗ D_{N}(t) = f ∗ K_{N}(t) + ∑_{k=−N}^{N} \frac{|k|}{N + 1} · f ∗ e_{k}(t) = f ∗ K_{N}(t) + ∑_{k=−N}^{N} \frac{|k|}{N + 1} · f̂(k)e^{ikt} = f ∗ K_{N}(t) + ∑_{l=1}^{N} \frac{l}{N + 1} · \frac{sin(lt)}{l} d’où :

|∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n}| ≤ |f ∗ K_{N}(t)| + \frac{N}{N + 1} ≤ sup|f| · \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |K_{N}(t)| dt + 1 = \frac{π}{2} · \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} K_{N}(t) dt + 1 = \frac{π}{2} + 1 □

1. Si x ∈]0, 2π[, on a : x−π+2 ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} = ∫_{π}^{x} 1+∑_{n=1}^{N} 2 cos(nt)dt = ∫_{π}^{x} \frac{sin((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} dt = [−\frac{2}{2N + 1} \frac{cos(((N + \frac{1}{2})t)}{sin(\frac{t}{2})} ]_{π}^{x}+∫_{π}^{x} \frac{2}{2N + 1} cos(((N + \frac{1}{2})t)\frac{d}{dt} \frac{1}{sin(\frac{t}{2})}dt

en escalier, donc toute fonction Riemann-intégrable, est limite en moyenne quadratique de sa série de Fourier.

3.1.3 Remarque. Une forme faible du corollaire et la convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier s’obtiennent aussi élémentairement comme suit :

donc, si ψ(x) = \frac{π−x}{2} , |∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} − ψ(x)| ≤ \frac{2}{2N + 1} \frac{1}{sin(\frac{x}{2})} et, uniformément sur tout sous intervalle fermé, la série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nx)}{n} converge vers ψ(x).

2. En coupant l’intégrale à t = \frac{π}{2N+1} , la majoration | \frac{sin((N+ \frac{1}{2} )t)}{sin( \frac{t}{2} )} | ≤ \frac{(2N+1)π}{2} donne uniformément sur ]0, 2π[ la majoration |∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} − ψ(x)| ≤ 2 + \frac{π^{2}}{2} 3. Ainsi la série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin(nx)}{n} convergence en moyenne quadratique vers ψ et comme, si 0 < α < β < π 1_{]α,β[} = \frac{1}{π} [ψ(x − β) − \frac{β}{2} − (ψ(x − α) − \frac{α}{2} )], toute fonction

Math242  Analyse de Fourier 2  3.1 Un contre-exemple.
3.1.4 Exercice. 1. Soit 0 < x < π et M < N ∈ ℕ. Par une sommation d’Abel établir la majoration | ∑_{n=M+1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} | ≤ \frac{π}{(M + 1)x} .
2. Soit a > 0. En choisissant M tel que M ≤ \frac{π}{ax} ≤ M + 1 en déduire |∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} | ≤ \frac{π}{a} + a, puis la majoration |∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nx)}{n} | ≤ 2\sqrt{π}, ainsi que 2\sqrt{π} > \frac{π}{2} + 1.

3.1.5 Lemme. Pour tout entier naturel n ∈ ℕ on a 4^{(n+1)^{2}} − 2^{(n+1)^{2}} > 4^{n^{2}} + 2^{n^{2}}

Démonstration : 4^{(n+1)^{2}} − 4^{n^{2}} = ( 2^{(n+1)^{2}} ) ^{2} − ( 2^{n^{2}} ) ^{2} = (2^{(n+1)^{2}} − 2^{n^{2}} ) (2^{(n+1)^{2}} + 2^{n^{2}} ) = 2^{n^{2}} (2^{2n+1} − 1)(2^{(n+1)^{2}} + 2^{n^{2}} ) ≥ 2^{(n+1)^{2}} + 2^{n^{2}} □ 3.1.6 Théorème (Exemple de (à la) Fejér). La série^{5)} 4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(4^{n^{2}}t)}{n^{2}} ∑_{k=1}^{2^{n^{2}}} \frac{sin(kt)}{k} converge normale- ^{5)} puisque, d’après 3.1.2 , | \frac{sin(4^{n^{2}} t)}{n^{2}} ∑_{k=1}^{2^{n^{2}}} \frac{sin(kt)}{k} | ≤ \frac{1}{n^{2}} ( \frac{π}{2} + 1) ment donc uniformément vers une fonction continue dont^{6)} la série de Fourier étant :

6) car 4 sin(4^{n^{2}} t) sin(kt) = 2 cos(4^{n^{2}} − k)t) − 2 cos(4^{n^{2}} + k)t) et, d’après 3.1.5 , pour n ∈ ℕ les intervalles entiers … [[4^{n^{2}} −2^{n^{2}} , 4^{n^{2}} −1]], [[4^{n^{2}} +1, 4^{n^{2}} +2^{n^{2}} ]], [[4^{(n+1)^{2}} −2^{(n+1)^{2}} , 4^{n^{2}} −1]], … sont deux à deux disjoints.

∑_{n=1}^{∞} [ ∑_{k=−2^{n^{2}}}^{−1} \frac{2}{k · n^{2}}cos(4^{n^{2}} − k)t) − ∑_{1}^{k=2^{n^{2}}} \frac{2}{k · n^{2}}cos(4^{n^{2}} + k)t)]

= \frac{2}{2 · 1}cos(2t) + \frac{2}{1 · 1}cos(3t) − \frac{2}{1 · 1}cos(5t) − \frac{2}{2 · 1}cos(6t) + ⋯

⋯ +[ \frac{2}{2^{n^{2}} · n^{2}}cos((4^{n^{2}}−2^{n^{2}})t)+⋯ +\frac{2}{1 · n^{2}}cos((4^{n^{2}}−1)t)]−[ \frac{2}{1 · n^{2}}cos((4^{n^{2}}+1)t)+⋯ +\frac{2}{2^{n^{2}} · n^{2}}cos((4^{n^{2}}+2^{n^{2}})t)]+⋯

ne converge pas^{7)} en t = 0. ^{7)} puisque la somme des n^{2} termes de degrés

de 4^{n^{2}} − 2^{n^{2}} à 4^{n^{2}} − 1, étant ∑_{k=1}^{2^{n2}} \frac{2}{k · n^{2}} = \frac{2}{n^{2}} ∑_{l=0}^{n^{2} −1} ∑_{k=1}^{2^{l}} \frac{2}{2^{l} + k} ,

au moins \frac{2}{n^{2}} ∑_{l=0}^{n^{2} −1} 2^{l} \frac{1}{2^{l+1}} = \frac{2}{n^{2}} n^{2} \frac{1}{2} = 1, ne tend pas vers 0.

Math242  Analyse de Fourier 2  3.2 Les sommes primées .

3.2 Une coqueterie calculatoire, sommes et noyaux primées.

3.2.1 Définition et Proposition. Soit (a_{n})_{n∈ℤ} une suite de nombres ou de fonctions et p, q ∈ ℤ avec p ≤ q la somme primée de p à q des a_{k} est ∑_{k=p}^{q} ′a_{k} = ∑_{k=p}^{q} a_{k} − \frac{1}{2}[a_{p} + a_{q}]. Ces sommes primées^{8)} ^{8)} alors que pour les sommes ordinaires il y a un décalage :

si n < p ≤ q ou p ≤ q < r on a

∑_{k=n}^{q} a_{k} = ∑_{k=n}^{p−1} a_{k} + ∑_{k=p}^{q} a_{k}, ∑_{k=p}^{r} a_{k} = ∑_{k=p}^{q} a_{k} + ∑_{k=q+1}^{r} a_{k} vérifient une relation de Chasles : si r ≤ s ≤ t on a ∑_{k=p}^{r} ′a_{k} = ∑_{k=p}^{q} ′a_{k} + ∑_{k=q}^{r} ′a_{k}.

Si f ∈ E, on a : S^{∗}(f)_{N} =^{Déf} ∑_{k=−N}^{N} ′f̂(n) e_{n} = f ∗ D_{N}^{∗} où le N^{ième} noyau de Dirichlet primé est

D_{N}^{∗}(t) =^{Déf} ∑_{k=−N}^{N} ′e^{int}, D_{N}^{∗}(0) = 2N et si t ≢ 0 mod(2π), D_{N}^{∗}(t) = \frac{cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})} · sin(Nt) = cotg(\frac{t}{2}) · sin(Nt)

Démonstration : si t ≢ 0 mod(2π), D_{N}^{∗}(t) = \frac{sin((\frac{1}{2} + N)t) − sin(\frac{t}{2}) cos(Nt)}{sin(\frac{t}{2})} = \frac{cos(\frac{t}{2}) sin(Nt) + sin(\frac{t}{2}) cos(Nt)) − sin(\frac{t}{2}) cos(Nt)}{sin(\frac{t}{2})} = \frac{cos(\frac{t}{2})}{sin(\frac{t}{2})} · sin(Nt) □

(b) D_{N}^{∗} = K_{N}^{∗} + ∑_{k=−N}^{N} ′ \frac{|k|}{N}e_{k},

(a) les relation P D_{N}^{∗} (x) = \frac{2 sin^{2}(\frac{Nx}{2} )}{N} cotg(\frac{x}{2}) + \frac{1}{N} ∫_{π}^{x} \frac{sin^{2}(\frac{Nx}{2} )}{sin^{2}(\frac{t}{2})}dt = K_{N}^{∗} (x) tg(\frac{x}{2}) + ∫_{π}^{x} K_{N−1} (t)dt, en déduire \frac{1}{N} ∫_{π}^{0} \frac{sin^{2}(\frac{Nx}{2} )}{sin^{2}(\frac{t}{2})}dt = −π.

3.2.2 Exercices. 1. Le N^{ième} noyau de Fejér primé est K_{N}^{∗} = \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N} ′D_{n}^{∗}. Prouver :

(a) K_{N}^{∗} (0) = N et si t ≢ 0 mod(2π), K_{N}^{∗} (t) = \frac{1}{N} cotg(\frac{t}{2}) ∑_{n=0}^{N} ′sin(nt) = \frac{1}{N} · cotg^{2}(\frac{t}{2}) · sin^{2}(\frac{Nt}{2}).

2. Comme dans la Remarque 3.1.3 établir pour la primitive P D_{N}^{∗} (x) = ∫_{π}^{x} D_{N}^{∗} (t)dt du N^{ième} noyau de Dirichlet primé et tout x ∈]0, 2π[ :

(b) la majoration |P D_{N}^{∗} (x)| ≤ π, plus précisément pour x ∈ [0, π] l’encadrement : −π ≤ P D_{N}^{∗} (x) = −P D_{N}^{∗} (2π − x) ≤ 2.

Math242  Analyse de Fourier 2  3.3 Localité.

3.3 Localité de la convergence ponctuelle.

3.3.1 Lemme. Soit f ∈ E et, si h ∈ ℝ, f_{h} ∈ E définie par f_{h}(t) = f(h + t).

Alors pour tout n ∈ ℤ, f̂_{h} (n) = f̂(n) · e^{inh}, ainsi pour tout N ∈ ℕ, S_{N}(f_{h})(0) = S_{N}(f)(h)

Démonstration : f̂_{h} (n) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t + h)e^{−int} dt = \frac{1}{2π} ∫_{h}^{h+2π} f(s)e^{−in(s−h)} ds = \frac{1}{2π} ∫_{h}^{h+2π} f(s)e^{−ins} e^{inh} ds = [ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t)e^{−int} dt]e^{inh} = f̂(n) · e^{inh} □

3.3.2 Théorème. Soit f, g ∈ E et t_{0} ∈ ℝ tels que f − g = O(|t − t_{0}|). Alors :

la série de Fourier de f converge en t_{0} si et seulement si la série de Fourier de g converge en t_{0}.

Démonstration : Comme f(t) − g(t) = O(|t − t_{0}|) si et seulement si f_{t_{0}}(s) − g_{t_{0}}(s) = O(|s|), d’après le lemme 3.3.1 il suffit de traiter le cas t_{0} = 0. Pour tout N ∈ ℕ on a S_{N}(f) = S_{N}(g) + S_{N}(f − g) et, puisque, d’après le lemme de Lebesgue S_{N}(h)(0) − S_{N}^{∗}(h)(0) = \frac{1}{2}[ĥ(−N) + ĥ(−N)] →_{N→∞} 0, il suffit d’établir si h ∈ E vérifie h = O(|t|) alors S_{N}^{∗}(h)(0) tend vers 0 quand N tend vers l’infini. Soit k, définie par si t ≡ 0 mod(2π), k(0) = 0 et sinon k(t) = h(t) · cotg(\frac{t}{2}). La fonction k est dans E donc, encore par Lebesgue k̂(N), k̂(−N) →_{N→∞} 0,

d’où le résultat puisque S_{N}^{∗}(h)(0) = h ∗ D_{N}^{∗}(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} h(t) · cotg(\frac{−t}{2} ) · sin(−Nt) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} k(t) sin(Nt) dt = \frac{1}{2i}[k̂(N) − k̂(−N)] →_{N→∞} 0. □

3.3.3 Corollaire. Soit f ∈ E et [a, b] ⊂ ℝ tel que f est dérivable sur [a, b] avec f′_{|[a,b]} intégrable alors pour tout t ∈]a, b[ la série de Fourier de f converge en t.

Démonstration : Soit a < c < d < t < e < f < b avec f − c ≤ 2π et φ : ℝ → ℝ, si u ≤ c, f ≤ v, φ(u) = 0 = φ(v), si d ≤ w ≤ e, φ(s) = 1 de classe C^{1}

[par exemple pour c ≤ r ≤ d, φ(r) = \frac{(r − c)^{2}(3d − c − 2r)}{(d − b)^{3}} = ∫_{c}^{r} \frac{(d − α)(α − c)}{(d − c)^{3}} dα et pour e ≤ s ≤ f, φ(r) = \frac{(f − s)^{2}(f + 2s − 3e)}{(f − e)^{3}} = ∫_{f}^{s} \frac{(f − α)(α − e)}{(f − e)^{3}} dα].

Alors la fonction f_{|[c,f]} · φ_{|[c,f]} se prolonge (par 0 sur 𝕋 \ [c, f]) en une fonction g ∈ E qui est intégralement dérivable, donc a sa série de Fourier convergente vers g et étant égale à f près de t vérifie l’hypothèse f(s) − g(s) = 0 = O(s − t) du théorème 3.3.2 d’où le résultat. □

3.3.4 Exemple. Soit B_{1} ∈ E, B_{1}(0) = 0 et si t ∈]0, 2π[, B_{1}(t) = \frac{π − t}{2} (en 3.1.2 ) on a uniformément majorés les sommes partielles S_{N} (B_{1}) = ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n} ).
Pour tout t ∈]0, 2π[, comme B_{1} y est de classe C^{1}, on a \frac{π − t}{2} = lim_{N→∞} ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nt)}{n}. En t = 0 il y a aussi convergence, puisque ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(n0)}{n} = 0 = B_{1}(0).
3.3.5 Exercice. Vérifier 2S_{N} (B_{1})′ = D_{N} − 1, 2S_{N}^{∗} (B_{1})′ = D_{N}^{∗} − 1 et D_{N}^{∗} − K_{N}^{∗} = \frac{d}{dt}\{K_{N}^{∗} (t) tg(\frac{t}{2})\}

Math242  Analyse de Fourier 2  3.4 Théorème de Dirichlet.

3.4 Le théorème de Dirichlet.

3.4.1 Lemme. Les intégrales des noyaux de Dirichlet D_{N} sur les sous-intervalles de [−π, π[ sont uniformément bornées : Il y a M > 0 tel que pour tout N ∈ ℕ et −π ≤ a ≤ b ≤ π on a

|∫_{a}^{b}D_{N} | ≤ M

Démonstration : Comme ∫_{0}^{x} D_{N}(t) = x + 2 ∑_{n=1}^{N} \frac{sin(nt)}{n} dt cela suit du corollaire 3.1.2 . □

3.4.2 Théorème. Soit f ∈ E et t ∈ ℝ tel qu’il y a c > 0 avec f monotone sur ]t−c, t[ et sur ]t, t+c[. Alors la série de Fourier de f converge en t vers la moyenne de ses limites à droite et à gauche :

∑_{n=−∞}^{+∞} f̂(n)e^{int} = \frac{1}{2}[f_{−} (t) + f_{+} (t)]

Démonstration : Soit L ∈ E telle que si s ∈]t − π, t[, L(s) = f_{−} (t), si s ∈]t, t + π[, L(s) = f_{+} (t) et L(t ± π) = \frac{1}{2}[f_{−} (t) + f_{+} (t)]. On a (Le noyau de Dirichlet

étant pair : S_{N}(L)(t)=L ∗ D_{N}(t)= \frac{1}{2π} ∫_{t−π}^{t+π} L(x)D_{N}(t − x) dx= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{0} f_{−} (t)D_{N}(−x) dx + \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π}f_{+} (t)D_{N}(−x) dx= \frac{1}{2}[f_{−} (t) + f_{+} (t)].

Comme f = L + h où h = f − L est monotone sur ]t − c, t[ et sur ]t, t + c[ et a 0 pour limite en t il suffit de montrer le théorème pour un tel h : S_{N}(h) →_{N→0} 0 c. a d. pour tout ϵ > 0, il y a N_{0} tel que pour N ≥ N_{0} on a |S_{N}(h)| ≤ ϵ Soit b ∈]0, c[ tel que (si M donné par le lemme 3.4.1 ), |h(t − b)| + |h(t + b)| ≤ \frac{π}{Mϵ}. On considère h_{b} ∈ E la fonction vérifiant si s ∈]t − b, t + b[, h_{b}(s) = h(s) et h_{b}(s) = 0 sinon, donc

S_{N}(h_{b})\frac{1}{2π} ∫_{t−b}^{t+b} h(x)D_{N}(t − x) dx = \frac{1}{2π} ∫_{t−b}^{t} h(x)D_{N}(t − x) dx + \frac{1}{2π} ∫_{t}^{t+b} h(x)D_{N}(t − x) dx

Puisque h est monotone sur les intervales [t−b, t] et [t, t+b] et a 0 pour limite en t, le second théorème de la moyenne donne u ∈ [t−b, t] et v ∈ [t, t+b]

tels que S_{N}(h_{b})(t) = \frac{1}{2π}h(t − b) ∫_{t−b}^{u} D_{N}(t − x) dx + \frac{1}{2π}h(t + b) ∫_{v}^{t+b} D_{N}(t − x) dx. D’où |S_{N}(h_{b})(t)| ≤ \frac{1}{2π} [|h(t − b)|M + |h(t + b)|M| ≤ \frac{1}{2π} \frac{π}{Mϵ}M = \frac{ϵ}{2}

D’après 3.3.2 S_{N}(h − h_{b})(t) →_{N→0} 0 et il y a N_{0} tel que pour N ≥N_{0} on a |S_{N}(h − h_{b})(t)|≤ \frac{ϵ}{2} d’où |S_{N}(h)(t)|≤|S_{N}(h − h_{b})(t)| + |S_{N}(h_{b})(t)|≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2}=ϵ □

3.4.3 Remarque. Si f est dérivable par morceaux de dérivée Riemann-intégrable (en particulier si f est de classe C^{1} par morceaux), mais sans supposer f monotone près de t on peut donner une preuve élémentaire dans l’esprit de la Remarque 3.1.3 (et/ou de l’Exercice 3.2.2 2.) :

Math242  Analyse de Fourier 2 3.5 Fonctions à Variations bornées.

Démonstration : S_{N}(f)(t) = f ∗ D_{N}(t) = \frac{1}{2π} ∫_{t−2π}^{t} f(x)D_{N}(t − x)dx. En utilisant, comme en 3.1.3 la primitive P D_{N}(x) = ∫_{π}^{x} D_{N}(u)du de D_{N} et des

intégrations par partie sur chaque intervalle de dérivabilité de f dans [t − 2π, t] on a :

S_{n}(f)(t) = \frac{1}{2}[ \frac{1}{π}[−f_{−} (t)P D_{N}(0) + f_{+} (t)P D_{N}(2π) + ∑_{t−2π<x<t} (f_{+} (x) − f_{−} (x))P D_{N}(t − x) + ∫_{t−2π}^{t} f′(x)P D_{N}(t − x)dx]]

Comme P D_{N}(2π) = π = −P D_{N}(0) et d’après 3.13 P D_{N} est borné sur [0, 2π] indépendement de N et, si 0 < ϵ < π, tend uniformément vers 0 sur [ϵ, 2π − ϵ], les deux premiers termes sont \frac{f_{−} (0)+f_{+} (0)}{2} et les deux restes somme finie de sauts et intégral tendent vers 0 quand N tend vers l’infini.

□

3.5 Fonctions à Variations bornées.

3.5.1 Définition et Proposition. Soit f : [a, b] → ℝ et α : a = a_{0} < ⋯< a_{k} < ⋯< a_{N} = b une

subdivision de l’intervalle [a, b]. La variation de f sur α est V ar(f; α) = ∑_{k=1}^{N} |f(a_{k}) − f(a_{k−1} )|.

Par l’inégalité triangulaire on a :

|f(b) − f(a)| = ∑_{k=1}^{N} (f(a_{k}) − f(a_{k−1} ))| ≤ ∑_{k=1}^{N} |f(a_{k}) − f(a_{k−1} )| = V ar(f; α)

et si α est raffiné par une subdivision α′< α alors : V ar(f; α) ≤ V ar(f; α′).

3.5.2 Définition. Soit f : [a, b] → ℝ, si pour {V ar(f; α) ; α ∈ A(a, b)} est borné on dit que f est à variations bornée. La variation de f sur [a, b] est V ar(f; [a, b]) = sup_{α∈A(a,b)} V ar(f; α).

3.5.3 Lemme. Si f : [a, b] → ℝ est à variations bornées et c ∈ [a, b] alors les restrictions f_{|[a,c]} et f_{|[c,b]} de f à [a, c] et [c, b] sont à variations bornées et V ar(f; [a, b]) = V ar(f_{|[a,c]}; [a, c]) + V ar(f_{|[c,b]}, [c, b] Si [c, d] ⊂ [a, b] est un sous intervalle de [a, b] on note V ar(f; [c, d]) = V ar(f_{|[c,d]}; [c, d])

Démonstration : Soit γ : a = c_{0} < ⋯< c_{M} = c une subdivision de [a, c] et β : c = b_{0} < ⋯< b_{N} = b une subdivision de [c, b] et

α : a = a_{0} < ⋯ a_{k} = c_{k} < ⋯< a_{M} = c = b_{0} < ⋯ a_{M+l} = b_{l} < ⋯< a_{M+N} = b. On a V ar(f_{|[a,c]}; γ) + V ar(f_{|[c,b]}, δ) = V ar(f; α) ≤ V ar(f, [a, b]) d’où :

V ar(f_{|[a,c]}; [a, c]) + V ar(f_{|[c,b]}, [c, b] ≤ V ar(f, [a, b]). Si α′a = a_{0} < ⋯< a_{N′} = b est telle que V ar(f; [a, b] ≤ V ar(f; α′) + ϵ alors α = α′∪ {c} raffine α′ et est du type précédent pour une subdivision γ de [a, c] et une subdivision δ de [c, b] d’où : V ar(f; [a, b]) ≤ V ar(f; α′) + ϵ ≤ V ar(f; α) + ϵ = V ar(f_{|[a,c]}; γ) + V ar(f_{|[c,b]}, δ) + ϵ ≤ V ar(f_{|[a,c]}; [a, c]) + V ar(f_{|[c,b]}, [c, b]) + ϵ □

3.5.4 Corollaire et Définition. Une fonction 2π-périodique f̃ : ℝ → ℝ a ses restrictions f̃_{[a,b]} à tout intervalle [a, b] ⊂ ℝ fermé borné a variations bornées si et seulement si f̃_{[0,2π]} est à variations bornées. On dit alors que la fonction f : 𝕋 → ℝ correspondante est à variations bornées.

Math242  Analyse de Fourier 2 3.5 Fonctions à Variations bornées.

3.5.5 Corollaire et Définition. La fonction des variations d’une fonction à variations bornées sur un intervalle [a, b] est V (f) : [a, b] → ℝ, V (f)(t) = V ar(f_{|[a,t]}; [a, t]).

Cette fonction des variations V (f) de f est croissante à valeurs positives ou nulles, la fonction f − V (f) est décroissante à valeurs négatives ou nulles et

f = f − V ar(f) + V ar(f) = V ar(f) − (V ar(f) − f)

toute fonction à variations bornées est différence de deux fonctions croissantes à valeurs positives ou nulles, en particulier a en tout point des limites à gauche e à droite.

3.5.6 co-Corollaire. Soit f ∈ E est à variations bornées alors pour tout t ∈ 𝕋 on a : (Forme finale du théorème de Dirichlet)

∑_{n=−∞}^{∞} f̂(n)e^{int} =^{D�f} lim_{N→∞} ∑_{n=−N}^{N} f̂(n)e^{int} = \frac{1}{2}[f(t_{−} ) + f(t_{+} )]