Math242  Analyse de Fourier 1  TABLE DES MATIÈRES

Analyse de Fourier 1

Approximation Converence en moyenne quadratique des séries de Fourier

Table des matières

1 Deux résultats d’approximation  2
1.1 Le théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Densité des polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Convergence en moyenne quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Math242  Analyse de Fourier 1

1 Deux résultats d’approximation.

1.1 Le théorème de Weierstrass.

1.1.1 Théorème (de Weierstrass). Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est limite uniforme de restrictions de polynômes à cet intervalle : Si f : [a, b] → ℝ est continue alors pour tout ϵ > 0 il y a Q = a_{n}X^{n} + ⋯+ a_{0} ∈ ℝ[X] tel que

pour tout x ∈ [a, b] on a |f(x) − Q(x)| = |f(x) − ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}| ≤ ϵ

1.1.2 Proposition. Soit f : [0, 1] → ℝ continue telle que pour tout t ∈ [0, 1], |f(t)| ≤ 1. Alors pour tout ϵ > 0 il y a P ∈ ℝ[X] tel que pour tout t ∈ [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] on a |f(t) − P (t)| ≤ ϵ.

Démonstration : Si n ∈ ℕ alors 1 ≥ ∫_{0}^{1}(1 − x^{2})^{n} dx ≥ ∫_{0}^{1}(1 − x)^{n} dx = \frac{1}{n + 1} > 0. On a donc 1 ≤ γ_{n} = [∫_{0}^{1}(1 − t^{2})^{n} dt]^{−1} ≤ n + 1.

Soit K_{n} = \frac{γ_{n}}{2} (1 − X^{2})^{n} ∈ ℝ[X] et, si 0 ≤ δ ≤ 1, I_{δ} = I_{δ}(n) = ∫_{δ}^{1} K_{n}(x) dx, alors ∫_{−1}^{1} K_{n}(x) dx = 2I_{0} = 1 et si δ > 0 :

0 ≤ 2 I_{δ}(n) = 2 ∫_{δ}^{1} K_{n}(x) dx ≤ γ_{n}(1 − δ)(1 − δ^{2})^{n} ≤ (n + 1)(1 − δ)^{n+1} → 0 quand (à δ ∈]0, 1] fixé) n tend vers l’infini.

Comme f est uniformément continue sur [0, 1], pour tout ϵ > 0 il y a 0 < δ < \frac{1}{3} tel que pour tout x, y ∈ [0, 1] avec |x − y| ≤ δ on ait |f(x) − f(y)| ≤ \frac{ϵ}{2}, ainsi pour tout x ∈ [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] et u ∈ [−δ, δ] (donc x + u ∈ [0, 1]) on a |f(x + u) − f(x)| ≤ \frac{ϵ}{2}.

Soit ∫_{0}^{1} f(x)K_{n}(t − x) dx = P_{n}(t) où P_{n} = \frac{γ_{n}}{2} ∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{2k} (−1)^{k+l} \binom{n}{k} \binom{2k}{l} ∫_{0}^{1} f(x)x^{2k−l} dt T^{l} ∈ ℝ[T] est un polynôme (de degré 2n).

Si t ∈ [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}], posant x = t + u on a P_{n}(t) = ∫_{−t}^{1−t} f(t + u)K_{n}(u) du = ∫_{−t}^{−δ} f(t + u)K_{n}(u) du + ∫_{−δ}^{δ} f(t + u)K_{n}(u) du + ∫_{δ}^{1−t} f(t + u)K_{n}(u) du.

De ∫_{−1}^{1} K_{n}(u) du = 2I_{0} = 1 suit f(t) = ∫_{−1}^{1} f(t)K_{n}(u) du = ∫_{−1}^{−δ} f(t)K_{n}(u) du + ∫_{−δ}^{δ} f(t)K_{n}(u) du + ∫_{δ}^{1}f(t)K_{n}(u) du = 2f(t)I_{δ} + ∫_{−δ}^{δ} f(t)K_{n}(u) du puisque

K_{n}(−u) = K_{n}(u). De même ∫_{−t}^{−δ} f(t + u)K_{n}(u) du = ∫_{δ}^{t} f(t − u)K_{n}(−u) du = ∫_{δ}^{t} f(t − u)K_{n}(u) du.

Donc f(t) − P_{n}(t) = ∫_{δ}^{t} f(t − u)K_{n}(u) du + 2f(t)I_{δ} + ∫_{−δ}^{δ} (f(t) − f(t + u))K_{n}(u) du + ∫_{δ}^{1−t} f(t + u)K_{n}(u) du, et comme |f(t)|, |f(t + u)|, |f(t + u)| ≤ 1

et K_{n}(u) ≥ 0, on a |f(t) − P_{n}(t)| ≤ I_{δ} + 2I_{δ} + \frac{ϵ}{2} + I_{δ} = \frac{ϵ}{2} + 4I_{δ}(n) ≤ ϵ si n est assez grand. □

1.1.3 Exercice. Déterminer un n ∈ ℕ tel que I_{δ}(n) ≤ \frac{ϵ}{2} [on pourra écrire .(n + 1)(1 − δ)^{n+1} = (n + 1)\sqrt{(1 − δ)} ^{n+1} · \sqrt{(1 − δ)} ^{n+1} ≤ 4e^{−1} Log( \frac{1}{1−δ} )e^{(n+1) Log (1−δ)} ] 1.1.4 Exercice. Déduire le Théorème 1.1.1 de la Proposition 1.1.2 .

Math242  Analyse de Fourier 1  1.2 Polynômes trigonométriques

1.2 Le cercle, polynômes trigonométriques et coefficients de Fourier.

1.2.1 Rappel. 1. Deux réels x, y ∈ ℝ sont congrus modulo 2π, noté x ≡ y mod2π si il y a un entier k ∈ Z tel que x − y = k · 2π, c’est une relation d’équivalence compatible avec l’addition

+ des réels [Si x ≡ x′mod2π et y ≡ y′mod2π alors x + y ≡ x′+ y′mod2π]

2. Une fonction f : ℝ → ℂ est 2π-périodique si pour tout x ∈ ℝ on a f(x + 2π) = f(x).

1.2.2 Exemples. Si n ∈ ℤ, les fonctions 𝔠_{n}, 𝔰_{n}, e_{n} = 𝔠_{n} + i𝔰_{n} : ℝ → ℂ, 𝔠_{n}(t) = cos(nt), 𝔰_{n}(t) = sin(nt), e_{n}(t) = e^{int} = cos(nt) + i sin(nt) sont 2π-périodiques.

1.2.3 Définition. Le cercle est le groupe quotient 𝕋 = ℝ/2πℤ (du groupe additif des réels par le sousgroupe des multiples entiers de 2π). On note ρ : ℝ → 𝕋 l’application quotient. D’où les équivalences :

1. la fonction g : ℝ → ℂ est 2π-périodique ssi il y a une fonction \overline{g} : 𝕋 → ℂ telle que g = \overline{g} ∘ ρ.

2. f : 𝕋 → ℂ ssi il y a une fonction f̃: ℝ → ℂ est 2π-périodique telle que f̃ = f ∘ ρ.

1.2.4 Remarque. Si [a, b] ⊂ ℝ, b − a = 2π est un intervalle réel de longueur 2π alors [a, b[ et ]a, b] sont des systèmes de représentants de la congruence modulo 2π, donc on peut définir une fonction sur le cercle 𝕋 de manière unique par ses valeurs sur [a, b[ (ou ]a, b]).

1.2.5 Définitions. Soit N ∈ ℕ et, pour −N ≤ j ≤ N et 0 ≤ k ≤ N, 0 < l ≤ N, c_{j}, a_{k}, b_{l} ∈ ℂ. On pose c = (c_{j})_{−N≤j≤N} , a = (a_{k})_{0≤k≤N} , b = (b_{l})_{0<l≤N} . Le polynôme trigonométrique (de degré N) et

1. coefficients c est :

P_{c} = ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e_{j} : 𝕋 → ℂ

2. coefficients de partie paire a et de partie impaire b est :

Q_{a,b} = a_{0} + ∑_{k=1}^{N} a_{k} · 𝔠_{𝔨} + b_{k} · 𝔰_{𝔨} : 𝕋 → ℂ

1.2.6 Exercices. Soit N ∈ ℕ et, pour −N ≤ j ≤ N et 0 ≤ k ≤ N, 0 < l ≤ N, c_{j} , a_{k}, b_{l} ∈ ℂ. Vérifier que :

1. Pour tout t ∈ 𝕋 on a \frac{1}{2}[Q_{a,b}(t) + Q_{a,b}(−t)] = ∑_{k=0}^{N} a_{k} · 𝔠_{k} et \frac{1}{2}[Q_{a,b}(t) − Q_{a,b}(−t)] = ∑_{l=1}^{N} b_{l} · 𝔰_{l}

[ce qui justifie le vocabulaire ci-dessus coefficients de partie paire et impaire]

2. P_{c} = Q_{a,b} a lieu si et seulement si on a l’une des conditions équivalentes : (a) a_{0} = c_{0} et, pour 1 ≤ k ≤ N, on a a_{k} = c_{−k} + c_{k} et b_{k} = i(c_{k} − c_{−k} )

(b) c_{0} = a_{0} et, pour 1 ≤ k ≤ N, on a c_{−k} = \frac{a_{k} +ib_{k}}{2} et c_{k} = \frac{a_{k} −ib_{k}}{2}

1.2.7 Définition. Une fonction f : 𝕋 → ℂ définie sur le cercle est :

1. continue sur 𝕋 si la fonction 2π-périodique correspondante f̃: ℝ → ℂ est continue.

2. intégrable au sens de Riemann si la fonction 2π-périodique correspondante f̃ : ℝ → ℂ est intégrable au sens de Riemann sur les intervalles fermés bornés. En particulier une fonction continue sur 𝕋 est intégrable au sens de Riemann.

1.2.8 Exercice. Soit [a, b], b − a = 2π un intervalle réel de longueur 2π. Prouver que pour toute fonction g : [a, b] → ℂ continue vérifiant g(a) = g(b) il y a une unique fonction f : 𝕋 → ℂ continue définie sur le cercle dont la fonction 2π-périodique correspondante f̃: ℝ → ℂ a g pour restriction f̃_{|} = g : [a, b] → ℂ à [a, b].

1.2.9 Lemme. Soit f : 𝕋 → ℂ et f̃: ℝ → ℂ la fonction 2π-périodique correspondante.

Alors sont équivalents :

1. La fonction f est intégrable au sens de Riemann.

2. Pour tout x ∈ ℝ la restriction f̃_{|} : [x, x + 2π] → ℂ est intégrable au sens de Riemann.

3. Il y a x ∈ ℝ tel que la restriction f̃_{|} : [x, x + 2π] → ℂ est intégrable au sens de Riemann.

En ce cas pour tout x ∈ ℝ et a, b = a + 2π ∈ ℝ on a ∫_{x}^{x+2π} f̃ = ∫_{a}^{b} f̃. En particulier ;

∫_{x}^{x+2π} f̃ = ∫_{x−π}^{x+π} f̃ = ∫_{0}^{2π} f̃ = ∫_{−π}^{π} f̃

Démonstration : Il suffit de montrer que 3 implique 1. Supposons donc f̃Riemann intégrable sur [x, x+2π]. Alors pour tout k ∈ ℤ et t ∈ [x+k2π, x+(k+1)2π], t−k2π ∈ [x, x+2π] et f̃(t) = f̃(t−k2π) donc f̃_{|} : [x + k2π, x + (k + 1)2π] → ℂ est intégrable au sens de Riemann. De plus si k ≤ l ∈ ℤ, comme [x + k2π, x + (l + 1)2π] = ∪_{j=k}^{l} [x + j2π, x + (j + 1)2π]

(et [x + (j − 1)2π, x + j2π] ∩ [x + j2π, x + (j + 1)2π] = {j} alors f̃_{|} : [x + k2π, x + (l + 1)2π] → ℂ est intégrable au sens de Riemann et ∫_{x+k2π}^{x+(l+1)2π} f̃ =

(1 + k − l) ∫_{x}^{x+2π} f̃.

Soit [a, b] un intervalle ferné borné de longueur b − a = 2π et k = [\frac{a−x}{2π} ] ∈ ℤ. Comme x + k2π ≤ a ≤ b < x + (k + 2)2π et f̃_{|} est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] ⊂ [x + k2π, x + (k + 2)2π] d’où 1 et

∫_{x+k2π}^{(k+1)2π} f̃ = ∫_{x+k2π}^{a} f̃+ ∫_{a}^{x+(k+1)2π} f̃, ∫_{a}^{b} f̃ = ∫_{a}^{x+(k+1)2π} f̃+ ∫_{x+(k+1)2π}^{b} f̃

et t ∈ [x + k2π, a] si et seulement si t + 2π ∈ [x + (k + 1)2π, b = a + 2π] et ∫_{x+k2π}^{a} f̃ = ∫_{x+(k+1)2π}^{b} f̃ on a ∫_{a}^{b} f̃ = ∫_{x+k2π}^{x+(k+1)2π} f̃ = ∫_{x}^{x+2π} f̃ □ 1.2.10 Notation. Si f : 𝕋 → ℂ est intégrable au sens de Riemann sur le cercle 𝕋 et f̃: ℝ → ℂ est la fonction 2π-périodique correspondante, on pose : ∫_{𝕋} f = ∫ f = ∫_{−π}^{π} f̃

1.2.11 Notations. 1. E = {f : 𝕋 → ℂ | f intégrables au sens de Riemann}, l’espace vectoriel complexe des fonctions intégrables au sens de Riemann sur le cercle, il contient le sous-espace C = {f : 𝕋 → ℂ | f continue} ⊂ E des fonctions continues sur le cercle.

2. Le produit scalaire < , >: E × E → ℂ, < f, g >= \frac{1}{2π} ∫_{𝕋} f · \overline{g}

1.2.12 Exercices. 1. < , > est sesquilinéaire hermitien non négatif, c. a d. si pour i = 1, 2 on a f, f_{i}, g, g_{i} ∈ E et λ_{i}, μ_{i} ∈ ℂ alors :

< λ_{1}·f_{1}+λ_{2}·f_{2}, g >= λ_{1}· < f_{1}, g > +λ_{2}· < f_{2}, g >, < f, μ_{1}·g_{1}+μ_{2}·g_{2} >=< f, g_{1} > ·\overline{μ_{1}} + < f, g_{2} > ·\overline{μ_{2}} , < g, f >= \overline{< f, g >} (donc < f, f >∈ ℝ) et < f, f >≥ 0

2. La restriction à C × C est un produit scalaire défini positif [c. a d. pour tout f ∈ C on a < f, f >≥ 0 avec égalité si et seulement si f = 0]

1.2.13 Lemme. {e_{n} | n ∈ ℤ} est une famille orthonormale dans E : (relations d’orthogonalité

des fonctions e_{n})

< e_{n}, e_{n} >= 1 et si m ≠ n, < e_{m}, e_{n} >= 0

Démonstration : < e_{m}, e_{n} >= \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{imt} \overline{e^{int}} dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{im t}e^{−in t} dt = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{i (m−n)·t} dt qui, si m = n vaut 1 et sinon [ \frac{e_{(m−n)}}{2πi(m−n)} ] _{0}^{2π} = 0.

□

1.2.14 Exercice. 1. Soit m ∈ ℕ. Exprimer 𝔠_{m} et 𝔰_{m} en fonction de e_{m} et e_{−m} En déduire :

(relations d’orthogonalité des fonctions 𝔠_{m} et 𝔰_{n})

2. si m, n ∈ ℕ les valeurs des produits < 𝔠_{m}, 𝔰_{n} >, < 𝔠_{m}, 𝔠_{n} > et < 𝔰_{m}, 𝔰_{n} > [on distinguera les cas m ≠ n, 0 = m = n et 0 ≠ m = n]

3. Reprendre la question 2 par un calcul direct d’intégrale.

1.2.15 Définitions. Si n ∈ ℤ le n^{ième} coefficient de Fourier de f ∈ E est

f̂(n) = c_{n}(f) =< f, e_{n} >= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f · e_{−n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)e^{−int} dt

Si m ∈ ℕ les n^{ièmes} coefficient de Fourier réels de f ∈ E sont a_{0}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f, b_{0}(f) = 0 et, si m ≠ 0

a_{n}(f) = 2 < f, 𝔠_{n} >= \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f · 𝔠_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(t) cos(nt) dt

b_{n}(f) = 2 < f, 𝔰_{n} >= \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f · 𝔰_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(t) sin(nt) dt

1.2.16 Remarque. Si f ∈ E et f(𝕋) ⊂ ℝ alors a_{0}(f), a_{m}(f), b_{m}(f) ∈ ℝ, justifiant la terminologie de coefficients réels. mais f̂(n) ∈ ℂ n’a aucune raison d’être réel.

1.2.17 Exemple. Si f = sin : 𝕋 → ℝ. Comme f = 𝔰_{1} = \frac{e_{1} −e_{−1}}{2i} on a, par le lemme 1.2.13 f̂(−1) = \frac{−1}{2i} = \frac{−1}{2i} ∉ ℝ

1.2.18 Exercice. Soit des polynômes trigonométriques P_{c} = ∑_{j=−N}^{N} c_{j} e_{j} , Q_{a,b} = a_{0} + ∑_{k=1}^{N} a_{k} · 𝔠_{𝔨} + ∑_{k=1}^{N} b_{k} · 𝔰_{𝔨}.

Prouver que pour −N ≤ j ≤ N on a P̂_{c}(n) = c_{n}, et pour 1 ≤ k ≤ N on a a_{k} = a_{k}(Q_{a,b}), b_{k} = b_{k}(Q_{a,b}) et a_{0} = a_{0}(Q_{a,b}).

1.2.19 Corollaire. Soit f ∈ E alors la suite (f̂(n))_{n∈ℤ} est de carré sommable et : (inégalité de Bessel)

∑_{n∈ℤ} |f̂(n)|^{2} ≤ < f, f > = \frac{1}{2π} ∫ |f|^{2}

Démonstration :

1. Pour tout M, N ∈ ℕ la fonction r_{M,N} = f − ∑_{k=−M}^{N} f̂(k)·e_{k} est dans l’orthogonal de Vect(e_{k}; −M ≤ k ≤ N) le sous-espace vectoriel de E engendré

par les e_{k} pour −M ≤ k ≤ N : < f − ∑_{l=−M}^{N} f̂(l) · e_{l}, e_{k} >=< f, e_{k} > − ∑_{l=−M}^{N} f̂(l) < e_{l}, e_{k} >= f̂(k) − f̂(k) = 0

2. Comme f = f − ∑_{k=−M}^{N} f̂(k) · e_{k} + ∑_{k=−M}^{N} f̂(k) · e_{k} et f_{M,N} = ∑_{k=−M}^{N} f̂(k) · e_{k} ∈ Vect(e_{k}; −M ≤ k ≤ N) on a :

< f, f >=< r_{M,N} + f_{M,N} , r_{M,N} + f_{M,N} >=< r_{M,N} , r_{M,N} > + < f_{M,N} , f_{M,N} > ≥ < f_{M,N} , f_{M,N} > = ∑_{k=−M}^{N} |f̂(k)|^{2}

et (f̂(n))_{n∈ℤ} est de carré sommable et ∑_{n∈ℤ} |f̂(n)|^{2} ≤ < f, f >
□

1.2.20 Remarque. La majoration de ce corollaire est en fait une égalité car (Cf. sous-section suivante) les fonctions continues 2π-périodiques sont limites uniformes de polynômes trigonométriques.

1.2.21 Exercice. 1. Calculer les coefficients de Fourier f̂(n) et les coefficients de Fourier réels a_{n}(f), b_{n}(f) de la fonction f ∈ E définie (selon la Remarque 1.2.4 )

par f(π) = 0 et si |t| < π, f(t) = t.

2. Vérifier sur les formules obtenues que l’on a : ∑_{n∈ℤ} |f̂(n)|^{2} < ∞. La famille (f̂(n))_{n∈ℤ} est-elle sommable ?

3. Reprendre les deux questions précédentes avec la fonction g ∈ E définie (selon la Remarque 1.2.4 ) par, si |t| ≤ π, g(t) = |t|.

Math242  Analyse de Fourier 1 1.3 Densité des polynômes trigonométriques

1.3 Densité des polynômes trigonométriques.

1.3.1 Théorème (de Weierstrass trigonométrique). Soit f : ℝ → ℂ continue et 2π-périodique. Alors f est limite uniforme de polynômes trigonométriques.

Démonstration : Comme f est 2π-périodique, on peut suposer t ∈ [−2π, π]. Etant continue f bornée et uniformément continue sur [−2π, 2π] : il y a M et pour tout ϵ > 0 il y a 0 < δ < π tel que pour tout x, y ∈ [−2π, 2π] avec |x − y| ≤ δ on ait |f(x) − f(y)| ≤ \frac{ϵ}{2} et |f(x)| ≤ M.

Si n ∈ ℕ alors π ≥ ∫_{0}^{π}( \frac{1 + cos(t)}{2} )^{n} dt ≥ ∫_{0}^{π}( \frac{1 + cos(t)}{2} )^{n} sin(t) dt = [−\frac{2}{n + 1} (\frac{1 + cos(t)}{2} )^{n+1} ]_{0}^{π} = \frac{2}{n + 1} . On a donc :

\frac{1}{π} ≤ δ_{n} = [∫_{0}^{π}( \frac{1 + cos(t)}{2} )^{n} dt]^{−1} ≤ \frac{n + 1}{2} . Soit \overline{T}_{n} ∈ C, ˜ \overline{T}_{n}_{n}(t) = T_{n}(t) = \frac{δ_{n}}{2}( \frac{1 + cos(t)}{2} )^{n}= \frac{δ_{n}}{2} cos(\frac{t}{2})^{2n} et si 0 ≤ δ ≤ π, J_{δ} = J_{δ}(n) = ∫_{δ}^{π} T_{n}, alors :

∫_{−π}^{π} T_{n}(x) dx=2J_{0}=1 et si δ > 0 : 0 ≤ 2 J_{δ}(n)=2 ∫_{δ}^{π}T_{n}(x) dx ≤ δ_{n}(π − δ) cos(\frac{δ}{2})^{n} ≤ (n + 1)\frac{π}{2} cos(\frac{δ}{2})^{n} → 0 quand (à δ ∈]0, π] fixé) n tend vers l’infini.

Soit P_{n}(t) = ∫_{−π}^{π} f(x)T_{n}(t − x) dx = ∫_{t−π}^{t+π} f(x)T_{n}(t − x) dx par périodicité de x ↦ f(x)T_{n}(t − x). D’après l’exercice 1.3.3 ci-dessous c’est un polynôme

trigonométrique car P_{n}(t) = \frac{δ_{n}}{2^{n+1}} ∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{2k} (−1)^{l}\binom{n}{k} \binom{2k}{l} ∫_{π}^{π} f(x) cos(x)^{2k−l} sin(x)^{l} dt cos(t)^{2k−l} sin(t)^{l}, donc si t ∈ [−π, π], posant x = t + u :

P_{n}(t) = ∫_{−π}^{π} f(t + u)T_{n}(−u) du = ∫_{−π}^{π} f(t + u)T_{n}(u) du = ∫_{−π}^{−δ} f(t + u)T_{n}(u) du + ∫_{−δ}^{δ} f(t + u)T_{n}(u) du + ∫_{δ}^{π} f(t + u)T_{n}(u) du

car T_{n}(−u)=T_{n}(u). De ∫_{−π}^{π} T_{n}(u) du=1 suit f(t)= ∫_{−π}^{π} f(t)T_{n}(u) du= ∫_{−π}^{−δ} f(t)T_{n}(u) du+∫_{−δ}^{δ} f(t)T_{n}(u) du+∫_{δ}^{π}f(t)T_{n}(−u) du=2f(t)J_{δ}+∫_{−δ}^{δ} f(t)T_{n}(u) du.

De même ∫_{−π}^{−δ} f(t + u)T_{n}(u) du = ∫_{δ}^{π} f(t − u)T_{n}(−u) du = ∫_{δ}^{π} f(t − u)T_{n}(u) du, donc :

f(t) − P_{n}(t) = ∫_{δ}^{π} f(t − u)T_{n}(u) du + 2f(t)J_{δ} + ∫_{−δ}^{δ} (f(t) − f(t + u))T_{n}(u) du + ∫_{δ}^{π} f(t + u)T_{n}(u) du

et comme T_{n}(u) ≥ 0 et u ∈ [−δ, δ], t ∈ [−π, π] , donc t ± u ∈ [−2π, 2π] et f|(t ± u)| ≤ M et |f(t) − f(t + u)| ≤ \frac{ϵ}{2}, il vient : |f(t) − P_{n}(t)| ≤ MJ_{δ}(n) + 2MJ_{δ}(n) + \frac{ϵ}{2} + MJ_{δ}(n) = 4MJ_{δ}(n) ≤ ϵ si n est assez grand. □

1.3.2 Remarque. On change le domaine d’intégration de l’intégrale définnissant P_{n} de −π à π en de t − π à t + π pour que, après changement de variable x = t + u on intégre de −π à π et les morceaux de l’intégrale hors la partie entre −δ et δ ayant des allures symétriques, se majorent de la même manière.

1.3.3 Exercice. Soit p, q, m, n ∈ ℕ, vérifier (e_{m})^{p} · (e_{n})^{q} = e_{mp−nq} et 𝔠_{n}^{p} · 𝔰_{n}^{q} = \frac{1}{2^{p+q} i^{q}} (e_{n} + e_{−n} )^{p}(e_{n} − e_{−n} )^{q} = \frac{(−i)^{q}}{2^{p+q}} ∑_{i=0}^{p} ∑_{j=0}^{q} \binom{i}{p} (−1)^{j} \binom{j}{q} e_{p+q+2(i+j)} .

Math242  Analyse de Fourier 1 1.4 Convergence en moyenne quadratique

1.4 Convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier.

1.4.1 Rappels. Soit h, k : [a, b] → ℂ intégrables au sens de Riemann, elles sont bornées et : 1. Le produit h · k est intégrable au sens de Riemann et (inégalité ce Cauchy Schwarz)

|∫_{a}^{b}h · k|^{2} ≤ [∫_{a}^{b}|h · k|]^{2} ≤ [∫_{a}^{b}|h|^{2}] · [∫_{a}^{b}|k|^{2}]

2. Pour tout ϵ > 0 il y a une fonction continue f : [a, b] → ℂ telle que f(a) = f(b) = 0, ∥ f ∥≤∥ h ∥

et ∫_{a}^{b}|h − f| ≤ ϵ (donc ∫_{a}^{b}|h − f|^{2} ≤∥ h ∥ ∫_{a}^{b}|h − f| ≤ 2 ∥ h ∥ ϵ)

donc en prenant [a, b] = [a, a + 2π], on peut dans l’énoncé précédent remplacer h, k, f par h, k ∈ E (intégrables sur le cercle 𝕋) et f ∈ C (continue sur le cercle 𝕋)

1.4.2 Définition. La norme quadratique de h est ∥ h ∥_{2}= \frac{1}{2π} [∫_{𝕋} |h|^{2}]^{\frac{1}{2}} = \sqrt{< h, h >} .

1.4.3 Remarque. C’est une semi-norme sur E et une norme sur C :

∥ h + k ∥_{2}≤∥ h ∥_{2} + ∥ k ∥_{2} et, si λ ∈ ℂ, ∥ λh ∥_{2}= |λ| ∥ h ∥_{2}

Si h est continue, alors ∥ h ∥_{2}= 0 si et seulemet si h = 0

Démonstration : ∥ h + k ∥_{2}^{2}= ∫_{𝕋} |h + k|^{2} ≤ ∫_{𝕋} |h|^{2} + 2|h||k| + |k|^{2} =∥ h ∥_{2}^{2} +2 ∫_{𝕋} |h||k|+ ∥ k ∥_{2}^{2}≤∥ h ∥_{2}^{2} +2 ∥ k ∥_{2}∥ k ∥_{2} + ∥ k ∥_{2}^{2}= (∥ h ∥_{2} + ∥ k ∥_{2})^{2}

Si h et continue et h(t_{0}) ≠ 0 il y a 0 < δ < π tel que pour t_{0} − δ < t < t_{0} + δ on ait |f(t)| ≥ \frac{|f(t_{0})|}{\sqrt{2}} donc ∥ h ∥_{2}^{2}= ∫_{𝕋} |h|^{2} ≥ δ|f(t_{0})|^{2} > 0 □

1.4.4 Définition. Une suite de fonctions f_{n} : 𝕋 → ℂ converge en moyenne quadratique quadratique vers f : 𝕋 → ℂ si ∥ f − f_{n} ∥_{2} tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

On dit alors que f est limite en moyenne quadratique des f_{n}

1.4.5 Corollaire. Si f_{n} : 𝕋 → ℂ converge uniformément vers f : 𝕋 → ℂ alors f_{n} converge en moyenne quadratique vers f

Démonstration : Ce la suit de ∥ f − f_{n} ∥_{2}^{2}= ∫_{𝕋} |f − f_{n}|^{2} ≤ ∫_{𝕋} ∥ f − f_{n} ∥^{2}≤ 2π ∥ f − f_{n} ∥^{2} □

1.4.6 Remarque. La réciproque n’est pas vraie car d’après 1.4.1 2 toute fonction intégrable est limite en moyenne quadratiques de fonctions continues, mais seule une fonction continue peu être limite uniformed’une suite de fonctions continues.

1.4.7 Définitions. Soit f ∈ E sa série de Fourier est ∑_{n∈ℤ} f̂(n)e_{n}.

Si N ∈ ℕ, la valeur en t_{0} de la N^{ième} somme partielle de la série de Fourier de f est

S_{N}(f)(t_{0}) = ∑_{n=−N}^{N} f̂(n)e_{n}(t_{0}) ∑_{n=−N}^{N} f̂(n)e^{int_{0}} = a_{0}(f) + ∑_{1}^{N} a_{n} cos(nt_{0}) + b_{n} sin(t_{0})

La série de Fourier de f converge en un point t_{0} [resp. converge uniformément] si la suite S_{N} de ses sommes partielles converge en t_{0} [resp. uniformément] quand N tends vers l’infini.

1.4.8 Remarque. Nous verrons que si f est somme de fonctions monotones par morceaux alors en tout point t_{0} ∈ 𝕋 la série de Fourier de f conververge vers la moyenne \frac{f_{−} (t_{0}) + f_{+} (t_{0})}{2} de ses limites à gauche et à droite en t_{0}. Mais la convergence peut ne pas :

1. être absolue (Cf.exercice 1.2.21 ) (et donc ∑_{n∈ℤ} f̂(n)e_{n}(t_{0}) ne converge pas en vrac)

2. même pour une fonction continue sur 𝕋 avoir lieu tout en point de 𝕋. Cependant on a le

1.4.9 Théorème. Pour tout h ∈ E alors h est limite en moyenne quadratique de sa série de Fourier. Plus précisément pour tout ϵ > 0 il y a N > 0 tel que si −p, q ≥ N on a ∥ h − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}≤ ϵ

Démonstration : Le rappel 1.4.1 2 et le théorème 1.3.1 donnent f continue et un polynôme trigonométrique P tels que ∥ h−f ∥_{2}≤ \frac{ϵ}{2} et ∥ f−P ∥≤ ϵ\sqrt{\frac{1}{8π}} d’où ∥ f − P ∥_{2}≤ \frac{ϵ}{2}. Si N est le degré de P et −p, q ≥ N alors f − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} étant dans l’orthogonal de Vect(e_{k}; −N ≤ k ≤ N) ∋ ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} − P on

a ∥ f − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}≤∥ f − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} + ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} − P ∥_{2}=∥ f − P ∥_{2}≤ \frac{ϵ}{2} d’où ∥ h − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}≤∥ h − f ∥_{2} + ∥ f − ∑_{n=p}^{q} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ □

1.4.10 Corollaire. Si f : 𝕋 → ℂ est continue et pour tout n ∈ ℤ on a f̂(n) = 0 alors f = 0 Démonstration : Si h = 0 alors pour tout n ∈ ℤ, ĥ(n) =< h, e_{n} >= 0. Si pour tout n ∈ ℤ, ĥ(n) alors pour tout ϵ > 0 soit N tel que ϵ ≥∥ h − ∑ _{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}=∥ h ∥_{2} donc ∥ h ∥_{2}= 0 et, par 1.4.3 , h = 0. □

1.4.11 co-Corollaire. Si f ∈ E est continue et S_{N}(f) converge uniformément vers g, alors f = g Démonstration : h = f − g est continue et ses coefficients de Fourier sont ĥ(n) = f̂(n) − ĝ(n) = f̂(n) − f̂(n) = 0 dond h = 0. □

Math242  Analyse de Fourier 1 1.4 Convergence en moyenne quadratique

1.4.12 Corollaire. Si h, k : 𝕋 → ℂ sont intégrbles au sens de Riemann alors (Formule de Parseval)

< h, k >= ∑_{n∈ℤ} ĥ(n) · \overline{k̂(n)}

(Formule de Bessel)

∥ h ∥_{2}^{2}=< h, h >= ∑_{n∈ℤ} |ĥ(n)|^{2}

Démonstration : La formule de Bessel étant le cas particulier k = h de la formule de Parseval il suffit de montrer cette dernière. Pour tout N ∈ ℕ, comme les e_{n}, n ∈ ℕ forment une famille orthonormale, on a < ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n}, ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} >= ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)\overline{k}(n) et d’après l’inégalité

de Bessel 1.2.19 on a ∑_{n=−N}^{N} |ĥ(n)|^{2} ≤< h, h >=∥ h ∥_{2}^{2}, ∑_{n=−N}^{N} |k̂(n)|^{2} ≤< k, k >=∥ k ∥_{2}^{2}.

D’après 1.4.9 , pour tout ϵ > 0 il y a N tel que ∥ h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}^{2}, ∥ k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} ∥_{2}^{2}≤ ϵ donc :

< h, k > − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)\overline{k}(n) =< h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} + ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n}, k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} + ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} > − < ĥ(n)e_{n}, ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} >=

=< h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n}, k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} > + < h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n}, ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} > + < ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n}, k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} >.

Donc | < h, k > − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)\overline{k}(n)| ≤

∥ h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} ∥_{2} · ∥ k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} ∥_{2} + ∥ h − ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} ∥_{2} · ∥ ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} ∥_{2} + ∥ ∑_{n=−N}^{N} ĥ(n)e_{n} ∥_{2}∥ k − ∑_{n=−N}^{N} k̂(n)e_{n} ∥_{2}≤ ϵ · [∥ h ∥_{2}+ ∥ k ∥_{2}·ϵ] □

1.4.13 Exemple (Calcul par l’égalité de Bessel de la série de Riemann ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} ). Soit f ∈ E telle que f(π) = 0 et pour |t| ≤ π, f(t) = t. Alors :

∥ f ∥_{2}^{2}= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} t^{2} dt =[ \frac{t^{3}}{2π} ]_{−π}^{π} = \frac{π^{2}}{3} et on a f̂(0) = 0 car f est impaire et si n ≠ 0 on a f̂(n) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} t · e−int dt = [ \frac{t · e−int}{−2iπn} ]_{−π}^{π} + ∫_{−π}^{π} \frac{e^{−int}}{2πn} dt = (−1)^{n} \frac{i}{n} d’où :

\frac{π^{2}}{3} =∥ f ∥_{2}^{2}= ∑_{n=−∞}^{∞} |f̂(n)|^{2} = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}}