Master Mathématiques et Applications

Master M1 Mathématiques générales

Année 2021-2022


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Actualités

Réunion de rentrée

Fiche pédagogique individuelle

Emploi du temps du premier semestre (version révisée 1er septembre)

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Révisions estivales

Voici une liste indicative de quelques notions du programme de L3A 2017-2021 qu'on peut envisager de retravailler avant la rentrée.

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Toutes adresses mail : prenom.nom[at]univ-grenoble-alpes.fr


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Liste des UE

Au premier semestre
Algèbre
Analyse
Probabilités
  Fonctions holomorphes  
    
Au second semestre
Travail d'études et de recherche
  Algèbre effective et cryptographie  
Compléments sur les ÉDP
Géométrie différentielle
Processus de Markov
Théorie de Galois
Anglais scientifique

Nota : Les ouvrages indiqués en guise de Documentation dans la description détaillée des UE ci-dessous sont en général disponibles, souvent en plusieurs exemplaires, au rayon Capes, Agrégation, Master (cote CA) de la bibiliothèque de l'Institut Fourier. Les étudiant.e.s inscrit.e.s en master peuvent consulter et emprunter ces ouvrages, et travailler dans la salle réservée de la bibliothèque.


UE Algèbre (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Erwan Lanneau et Rémi Molinier)

Descriptif

I. Compléments sur les anneaux

  1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ), fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
  2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
  3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
  4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).
II. Corps (les corps considérés sont commutatifs)
  1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
  2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
  3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
  4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.
III. Représentations des groupes finis sur ℂ
  1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
  2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
  3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
  4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
  5. Exemple : table de 𝔖4. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
  6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)2. Structure des groupes abéliens finis.

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UE Analyse (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Alain Joye et Baptiste Devyver)

Descriptif

Partie A : Équations différentielles ordinaires

  1. Rappels de L3 (certains de ces points seront revisités en TD)
  2. Méthodes qualitatives
Partie B : Équations aux dérivées partielles (ÉDP)
  1. Introduction
  2. ÉDP du premier ordre
  3. Quelques ÉDP du second ordre sur ℝd
Partie C : Outils et méthodes mis en œuvre dans la partie B
  1. Espaces de Lebesgue Lp
  2. Analyse de Fourier

Documentation

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UE Probabilités (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Didier Piau et Christophe Leuridan)

Descriptif

  1. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
  2. Éléments de statistique
  3. Espérance conditionnelle
  4. Processus à temps discret
  5. Martingales
  6. Chaînes de Markov

Pré-requis

Documentation

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UE Fonctions holomorphes (premier semestre, enseignement obligatoire, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Vincent Beffara et Jérémy Guéré)

Descriptif

  1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
  2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
  3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
  4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
  5. Théorème de la représentation conforme de Riemann
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UE Travail d'études et de recherche (second semestre, 6 crédits ECTS)

Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

Documentation

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UE Algèbre effective et cryptographie (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Vanessa Vitse et Bernard Parisse)

Ce cours s’adresse à tous les étudiants intéressés par les applications modernes de l’algèbre et de l’arithmétique. Il est particulièrement adapté aux étudiants souhaitant passer l’agrégation option C (calcul formel) ou poursuivre dans une formation en cryptographie et/ou codes correcteurs d’erreurs. L'UE propose notamment des séances de TP sur machine avec le logiciel Xcas, offrant la possibilité de se familiariser avec la partie programmation de l’épreuve obligatoire de modélisation de l’agrégation.

Descriptif

  1. Arithmétique modulaire, complexité, arithmétique des corps finis
  2. Nombres premiers, test de primalité de Miller-Rabin, certificat de primalité de Pocklington
  3. Polynômes irréductibles, tests d’irréducibilité, application à la construction des corps finis et à la factorisation des polynômes
  4. Concepts de base de cryptographie, chiffrement symétrique et asymétrique
  5. Problème du logarithme discret, échange de clefs Diffie-Hellman, réduction de Pohlig-Hellman, algorithme générique Pollard-Rho, pas-de-bébé-pas-de-géant
  6. Factorisation et cryptosystème RSA
  7. Codes correcteurs d’erreurs : concepts fondamentaux, exemple des codes de Hamming, codes polynomiaux, codes de Reed-Solomon
Les étudiants travailleront pendant le dernier quart de l’UE sur un thème à choisir et présenter oralement, dont voici quelques exemples :

Documentation

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UE Compléments sur les ÉDP (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Emmanuel Russ et Éric Dumas)

Le but du cours est de prolonger l'analyse des équations aux dérivées partielles linéaires commencée au premier semestre. L'accent sera mis sur les ÉDP dans des domaines de ℝn et on traitera le cas d'ÉDP elliptiques, paraboliques ou hyperboliques. À cette occasion, on introduira les compléments d'analyse nécessaires (espaces de Sobolev, distributions...). On mettra également en évidence certaines propriétés qualitatives des solutions, qui distinguent ces classes d'ÉDP. Enfin, on étudiera certaines ÉDP non linéaires.

Le contenu du cours sera utile pour poursuivre en préparation à l'agrégation et/ou dans un M2 recherche consacré à l'analyse des ÉDP.

Descriptif

  1. Compléments du premier semestre : principe du maximum faible pour les ÉDP elliptiques du second ordre, inégalité de Harnack
  2. Compléments sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, opérateurs d'extension, théorie des traces. Introduction aux distributions, distributions tempérées
  3. Opérateurs maximaux monotones, théorème de Hille-Yosida
  4. Équation de la chaleur dans Ω × ]0,+∞[, où Ω ⊂ ℝn est un domaine régulier : existence et unicité des solutions avec conditions au bord de Dirichlet et de Neumann ; principe du maximum pour les solutions de l'équation de la chaleur
  5. Équation des ondes dans Ω × ]0,+∞[ : existence et unicité des solutions, propagation à vitesse finie
  6. Équation de la chaleur semi-linéaire

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UE Géométrie différentielle (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Dietrich Häfner et Catriona Maclean)

La géométrie différentielle a joué un rôle majeur dans l’histoire des mathématiques et elle reste jusqu’à aujourd’hui un domaine très actif de la recherche mathématique. Il s’agit d’un domaine qui montre particulièrement bien comment des questions très concrètes liées par exemple à la cartographie sont résolues par des concepts mathématiques abstraits. Il n’est alors par surprenant que la géométrie différentielle soit très présente dans les applications industrielles des mathématiques jusqu’à aujourd’hui. L’objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec les notions de base de la géométrie différentielle et de leur faire découvrir certains grands classiques de la géométrie différentielle élémentaire comme le théorème de Whitney, le theorema egregium et le théorème de Gauss-Bonnet, ce dernier étant une jolie illustration du lien entre la géométrie et la topologie.

Descriptif

  1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien
  2. Courbes et repères
  3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ3
  4. Variétés abstraites
  5. Courbure
  6. Géométrie des surfaces de ℝ3
  7. Théorème de Gauss-Bonnet

Pré-requis

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UE Processus de Markov (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Agnès Coquio et Hugo Vanneuville)

Le programme de cette UE concerne les chaînes de Markov. Son objectif est de conforter les acquis du cours de probabilités du premier semestre, de donner des exemples importants de chaînes de Markov et d’étudier des processus à temps continu, les chaînes de Markov en temps continu.

Cette UE pourra être utile aux futurs candidats à l’Agrégation comptant prendre l’option Probabilités. En effet, on étudiera le processus de Poisson, au programme de l’agrégation mais pas étudié précédemment. D’ailleurs, il est écrit dans le rapport du jury :

Processus de Poisson. Ce point du programme n’est pas le plus volumineux, et pourtant c’est un des plus méconnus. Les propriétés de ce processus, l’allure de ses trajectoires, une idée de sa construction à partir de variables exponentielles sont autant de questions qui pourraient être moins difficiles avec un peu de préparation spécifique.
Le reste du programme de l'UE ne figure pas explicitement au programme de l’option Probabilités de l'Agrégation mais il pourra servir à l’oral de ce concours et il représente de toute manière de belles mathématiques ne nécessitant pas l'introduction de beaucoup de nouvelles notions.

Enfin, l'UE pourra intéresser les étudiants souhaitant se diriger vers un M2 centré sur les probabilités ou sur des thèmes de mathématiques discrètes, par exemple à Grenoble, le M2 ORCO (Operations Research, Combinatorics and Optimization).

Descriptif

Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

La deuxième partie sera consacrée à des processus à temps continu, à savoir les chaînes de Markov à temps continu, en nous concentrant particulièrement sur les processus de Poisson, qui peuvent être vus comme des ensembles aléatoires de points. Le cours comprendra de nombreux exemples tels que les files d'attentes. Nous terminerons par une introduction au mouvement brownien. Ce processus de Markov à temps et espace d'états continus est la limite d'échelle des marches aléatoires et joue un rôle central dans la théorie des probabilités.

Documentation

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UE Théorie de Galois (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Grégory Berhuy et Odile Garotta)

Descriptif

  1. Rappels et compléments sur les extensions de corps
  2. Plongements et extensions séparables
  3. Extensions galoisiennes
  4. Théorie de Galois

Documentation

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UE Anglais scientifique (second semestre, 3 crédits ECTS) (Emmanuelle Esperança-Rodier)

Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

  1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
  2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
  3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision
Les objectifs de l'UE seront les suivants :
  1. Acquérir les techniques nécessaires pour bien comprendre un texte écrit
  2. Apprendre à communiquer à partir de documents de recherche en anglais choisis dans le domaine de spécialité des étudiants
  3. Préparer et présenter un poster professionnel, dans le but de développer des techniques de communication écrite et orale dans le domaine de spécialité des étudiants
  4. Acquérir un lexique dans le domaine de spécialité des étudiants, à partir de documents de recherche en anglais, par la constitution d'un glossaire
  5. Acquérir les techniques nécessaires à la rédaction d'un abstract scientifique

Pré-requis : Niveau B1 du Cadre européen commun de référence pour les langues (CECRL)

Mots-clés : Anglais de spécialité, communication scientifique

Documentation

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