Systèmes Dynamiques
Quantiques - SyDyQ
Introduction :
La dénomination ``systèmes dynamiques quantiques''
recouvre diverses activités de recherches menées au sein
du groupe physique mathématique de l'Institut
Fourier. Le dénominateur commun de cette activité est
l'étude d'équations d'évolution (linéaires)
issues de la mécanique quantique dans divers régimes
asymptotiques permettant une analyse mathématique. Ces
équations peuvent provenir des premiers principes, comme c'est
le cas pour l'équation de Schroedinger, ou de divers
modèles approchés, déterministes ou
aléatoires, proposés par les physiciens. Dans le cadre de
ces activités et afin de mener à une recherche
réellement à l'interface, des liens ont été
noués avec des membres du Laboratoire de
Physique et Modélisation des Milieux Condensées
(LPMMC) intéressés par ces questions. L'objet principal
de ce projet concerne les systèmes quantiques ouverts dont nous
donnons une description ci-dessous .
Participants :
Systèmes quantiques ouverts :
Typiquement ce sont des systèmes quantiques formés de
deux parties ayant des propriétés bien distinctes. La
première est un système quantique de
référence, ou ``petit système'', sur lequel se
portera l'attention in fine. La seconde partie est un
système quantique possédant un nombre infini de
degrés de liberté, figurant un environnement ayant les
caractéristiques d'un réservoir infini d'énergie
à l'équilibre thermique. Il peut s'agir d'un bain de
fermions, e.g. d'électrons dans un solide, ou de bosons, e.g.
photons d'un champ électromagnétique. L'objectif est de
comprendre la dynamique effective du système de
référence, lorsqu'il interagit avec l'environnement selon
l'équation de Schroedinger dépendante du temps, tout en
abandonnant l'idée de décrire la dynamique de cet
environnement.
On s'intéresse donc à la matrice densité
réduite du petit système, dans l'approche
hamiltonienne. En particulier, l'étude du comportement
asymptotique à grands temps du système de
référence dans ce contexte, le retour à
l'équilibre, est une question typique dans les systèmes
quantiques ouverts. Une question naturelle qui intéresse les
physiciens actuellement et qui est nettement plus difficile à
aborder du point de vue mathématique concerne le comportement du
système de référence lorsqu'il interagit avec
deux, ou plus, réservoirs thermiques à des
températures différentes. L'état asymptotique
à grands temps est alors un état stationnaire hors
équilibre, permettant à des flux de chaleur de
s'établir entre les réservoirs au travers du
système de référence. Ceux-ci donnent lieu
à une production d'entropie positive du système dans
l'état stationnaire.
Un autre point de vue sur les systèmes ouverts consiste à
aborder d'emblée une approche markovienne de la
dynamique du système de référence, en
déterminant de manière empirique le
générateur de la dynamique linéaire
postulée, appelé lindbladien. Il s'agit bien sûr
d'une approximation de la dynamique effective du petit système
qui, en général, est donnée par une
équation non linéaire inextricable. Cette approximation
est justifiée dans des régimes dits ``de limite faible''
où les échelles de temps sont liées à
l'intensité du couplage entre système de
référence et environnement, qui tend vers zéro.
Dans le cadre de l'approche empirique markovienne, les lindbladiens
utilisés restent néanmoins très
généraux si bien que l'analyse complète des
dynamiques qu'ils engendrent reste non triviale. Certaines
modélisations font également usage de lindbladiens
dépendant du temps. En dépit de modélisations
parfois assez différentes, les questions pratiques
abordées restent essentiellement les mêmes :
détermination du ou des états asymptotiques, étude
de l'approche vers ces états asymptotiques, positivité de
la production d'entropie asymptotique, etc.
Une alternative à la détermination empirique du
lindbladien dans l'approche markovienne consiste à
modéliser l'environnement par un champ de bruits
quantiques thermiques dont la dynamique couplée à
celle du système de référence donne lieu à
une dynamique effective de la matrice de densité réduite
qui est markovienne, sans approximation. Cette approche au niveau
quantique est parallèle à celle qui, dans le cas
classique, décrit les effets aléatoires d'un
environnement thermique sur un petit système via des
équations différentielles stochastiques, les
équations de Langevin.
Des modèles de systèmes quantiques ouverts particuliers,
à mi-chemin entre approche hamiltonienne et markovienne, ont
été abordés récemment. Ce sont les systèmes
d'interactions quantiques répétées (SIQR)
consistant en un système quantique de référence
interagissant en séquence avec les éléments
successifs identiques d'une chaîne de sous-systèmes
quantiques. Les SIQR sont liés à l'approche markovienne
car ils donnent une version discrétisée, dans un certain
sens, de systèmes quantiques de référence soumis
à un champ de bruits quantiques. Par ailleurs ils
décrivent des expériences d'optique quantique mettant en
jeu un mode de champ électromagnétique dans une
cavité munie de fenêtres en interaction (hamiltonienne)
avec une suite d'atomes issus d'un four dont le débit est
contrôlé. C'est le schéma du "One Atom Maser". Dans
le cadre de l'interaction radiation-matière, les modèles
de type Maxwell-Bloch, décrivant la propagation
d'ondes dans un mileu quantique polarisable, donnent lieu à
d'autres types de dynamiques effectives des matrices densité qui
sont non linéaires. L'étude de leurs
propriétés dans des régimes de couplages faibles
et de leurs asymptotiques en temps offre également
différents défis mathématiques.
Objectifs :
Au niveau conceptuel, les questions relatives aux
propriétés des systèmes ouverts hors
équilibre sont plutôt bien posées. Les
modèles physiquement pertinents permettant une analyse
rigoureuse de ces phénomènes restent en revanche
très peu nombreux. La raison en est essentiellement que du point
de vue mathématique, les problèmes posés
représentent de vrais défis mathématiques dont la
résolution fait appel à des techniques
sophistiquées: algèbres de Von Neuman, analyse spectrale
fine d'opérateurs sur des espaces de Banach, semigroupes
à un ou deux paramètres engendrés pas des
générateurs non normaux, théorie de perturbations
singulières, processus stochastiques, etc... C'est donc la
détermination, le développement et l'étude
mathématique de modèles qui est au centre de ce projet
``systèmes dynamiques quantiques'' avec pour objectif de tirer
parti de ceux-ci afin de mieux appréhender les comportements
possibles des systèmes hors équilibre, et de confronter
les différentes approches décrites ci-dessus de ces
phénomènes physiques de première importance. Le
programme de recherche adopté abordera en particulier les points
suivants :
- Etude et extension de modèles de type SIQR
- Dérivation rigoureuse de dynamique effective et mise en
évidence de diverses échelles de temps physiques
- Mise en oeuvre de l'approximation adiabatique
d'évolutions dissipatives et dans le transport de charges
- Mise au point de modèles permettant une approche
rigoureuse de la décohérence
- Analyse de systèmes dynamiques quantiques discrets et
aléatoires et propriétés de localisation
- Approche markovienne de chaînes de spins en limite
thermodynamique
- Etude semiclassique des modèles de bruits quantiques
- Etude asymptotique de modèles de type Maxwell-Bloch
Animation scientifique et formation :
Le projet SYDYQ soutien par ailleurs diverses actions de formation ou
de transmission des connaissances dans le domaine de la dynamique
quantique.
Il a soutenu en particulier l'école thématique
Aspects de la Dynamique Quantique interdisciplinaire à
destination des thésards qui a eu lieu du 3 au 7 novembre 2008
autour de la dynamique adiabatique et des systèmes ouverts
à Grenoble.
SYDYQ prend part également à l'organisation de la
rencontre intitulée
Journées Systèmes Ouverts
autour de différents aspects des systèmes hors
équilibre, programméles 11 et 12 mars 2009 à
Grenoble.
Exposé à mi-parcours lors de la journée du
pôle MSTIC
Réalisations :
- V. Brosco, R. Fazio, F. Hekking and A. Joye : ``Non-abelian
superconducting pumps'',
Phys. Rev. Lett. , 100 , 027002, (2008)
- L.Bruneau, A.Joye and M.Merkli : ``Random Repeated Interaction
Quantum Systems'',
Commun. Math. Phys., 284 , 553-581, (2008)
- F. Faure, N. Roy and J. Sjöstrand: "Semi-classical approach
for Anosovdiffeormorphisms and Ruelle Resonances",
Open Math. Journal 1 , pp 35--81, (2008).
- A.Joye : " Repeated Interaction Quantum Systems: Deterministic
and Random ",
Proceedings of "QMath10", World Scientific (2008).
- R. Rebolledo and D. Spehner,
``Adiabatic limits and decoherence'',
Proceedings of "Stochastic Analysis and Mathematical Physics",
World Scientific (2008).
- D. Spehner and F. Haake,
``Decoherence bypass of macroscopic superpositions in quantum
measurement'',
J. Phys. A: Math. Theor., 41 , 072002, (2008)
- D. Spehner and F. Haake,
``Quantum measurement without macroscopic superpositions'',
Phys. Rev. A, 77 , 052114, (2008)
- R.Vargas : ``Repeated Interaction Quantum Systems: Van Hove
Limits and Asymptotic States'',
Journal of Statistical Physics, 133, 491-511,
(2008).
- E.Hamza, A.Joye and G.Stolz, "Dynamical Localization for Unitary
Anderson Models",
Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 12, 381-444, (2009).
- F.Faure, "Semiclassical origin of the spectral gap for transfer
operators of partially expanding map",
arXiv:0903.2747 (2009).
- L.Bruneau, A.Joye and M.Merkli : "Repeated and Continuous
Interactions in Open Quantum Systems ",
Annales Henri Poincaré 10, 1251-1284, (2010).
- J. Asch, O. Bourget, A. Joye : "Localization Properties of the Chalker-Coddington Model",
arXiv:1001.3625 (2010).
- A. Joye, V. Brosco, F. Hekking : ``Abstract adiabatic charge pumping'',
arXiv:1002.1223 (2010).