Proposition de stage M1 ou M2
Physique-mathématique

Titre:
"Etude du chaos quantique. Approche préquantique."


Encadrement du stage par: Frédéric Faure.

Discipline: physique-mathématique

Lieu: printemps  à début juillet, à l'institut Fourier, Grenoble.

Niveau: Master 1 ou Master 2

Description:  Dans les années 70', Souriau, Kostant et Kirillov ont posé les bases de la quantification géométrique, qui est une construction géométrique de la dynamique quantique, à partir de la dynamique classique (un flot Hamiltonien sur un espace de phase).  Dans les étapes de la construction, ils définissent une dynamique intermédiaire entre le classique et quantique qu'ils appellent "pré-quantique", qui est l'évolution de fonctions d'ondes sur l'espace de phase. On considère une dynamique classique "hyperbolique", où toutes les trajectoires instables. La dynamique a alors des propriétés  "chaotiques". Un domaine important de recherche appelé "le chaos quantique" est l'étude de la dynamique quantique correspondante (propriétés dynamiques ou spectrales). Pour cela, il semble naturel d'étudier aussi la dynamique préquantique.
Dans le stage, on considère un modèle simple de dynamique hyperbolique (chaotique): une application hyperbolique linéaire sur le tore T2, appelée "application du chat d'Arnold". Les modèles quantique et préquantique correspondants sont bien établis. Pour la dynamique quantique, il y a un théorème "d'ergodicité quantique"  qui affirme que presque toutes les modes propres deviennent "équidistribuées" sur le tore dans la limite semi-classique (i.e. lorsque l'indice de Chern du fibré tend vers l'infini). On connait aussi des exemples de "non unique ergodicité": des modes propres qui sont partiellement localisés sur des orbites périodiques instables.

Objectif du stage:  S'inspirant  du théorème d'ergodicité quantique décrit ci-dessus, l'objectif est d'établir un théorème analogue dans le cas préquantique, pour le modèle considéré, et de discuter la non unique ergodicité. 

Suite:  le stage pourra se poursuivre en thèse, sur le thème du chaos quantique.

Prérequis: notions de base en théorie spectrale, et en géométrie différentielle. Optionellement, des notions de base en théorie des systèmes dynamiques (dynamique hyperbolique), théorie des fibrés en droite complexe  sur une surface de Riemann, avec connection.  Motivation pour la physique-mathématique, et motivation pour l'expérimentation numérique (langages C++  par exemple).  Le but de l'expérimentation numérique étant ici d'illustrer les résultats obtenus, de tester des nouvelles idées ou d'explorer des pistes de recherche.

Documentation: