Proposition de stage M1 ou M2
Physique-mathématique
Titre:
"Etude du
chaos quantique. Approche préquantique."
Discipline: physique-mathématique
Lieu: printemps
à début juillet, à l'institut Fourier,
Grenoble.
Niveau: Master 1 ou Master 2
Description: Dans les
années 70', Souriau, Kostant et Kirillov ont posé les
bases de la quantification géométrique, qui est une
construction géométrique de la dynamique quantique,
à partir de la dynamique classique (un flot Hamiltonien sur un
espace de phase). Dans les étapes de la
construction, ils définissent une dynamique intermédiaire
entre le classique et quantique qu'ils appellent
"pré-quantique", qui est l'évolution de fonctions d'ondes
sur l'espace de phase. On considère une dynamique classique
"hyperbolique", où toutes les trajectoires instables. La
dynamique a alors des propriétés "chaotiques". Un
domaine important de recherche appelé "le chaos quantique" est
l'étude de la dynamique quantique correspondante
(propriétés dynamiques ou spectrales). Pour cela, il
semble naturel d'étudier aussi la dynamique préquantique.
Dans le stage, on considère un modèle simple de dynamique
hyperbolique (chaotique):
une application hyperbolique linéaire sur le tore T2,
appelée
"application du chat d'Arnold". Les modèles quantique et
préquantique
correspondants sont bien établis. Pour la dynamique quantique,
il y a
un théorème "d'ergodicité quantique" qui
affirme que presque toutes les modes propres deviennent
"équidistribuées"
sur le tore dans la limite semi-classique (i.e. lorsque l'indice de
Chern du
fibré tend vers l'infini). On connait aussi des exemples de "non
unique ergodicité": des modes propres qui sont partiellement
localisés sur des orbites périodiques instables.
Objectif du stage:
S'inspirant du théorème d'ergodicité
quantique décrit ci-dessus, l'objectif est d'établir un
théorème analogue dans le cas préquantique, pour
le modèle considéré, et de discuter la non unique
ergodicité.
Suite: le stage pourra
se poursuivre en thèse, sur le thème du chaos quantique.
Prérequis: notions de
base en théorie spectrale, et en géométrie
différentielle. Optionellement, des notions de base en
théorie des systèmes dynamiques (dynamique hyperbolique),
théorie des fibrés en droite complexe sur une
surface de Riemann, avec connection. Motivation pour la
physique-mathématique, et motivation pour
l'expérimentation numérique (langages C++ par
exemple). Le but de l'expérimentation numérique
étant ici d'illustrer les résultats obtenus, de tester
des nouvelles idées ou d'explorer des pistes de recherche.
Documentation: