Proposition de stage M1 ou M2
Physique-mathématique
Titre:
"Chaos quantique. Equation d'onde amortie sur un modèle simple"
Discipline: physique-mathématique
Dates et Lieu: printemps 2014
à début juillet 2014, à l'institut Fourier,
Grenoble.
Niveau: M1 ou M2
Description: l'étude du
chaos quantique consiste à étudier l'évolution d'une onde soumise à
l'équation de Schrödinger ou à l'équation d'onde dans la limite
semiclassique des petites longueurs d'ondes. et lorsque
la dynamique classique associée est chaotique. Le comportement de
l'onde est alors très complexe, avec de nombreux phénomènes
d'interférences encore non compris. Il y a quelques résultats
méthématiques comme le théorème d'ergodicité quantique qui montre que
dans le cas où la norme L2 est préservée alors presque tous les états
stationnaires sont équidistribués selon la mesure classique invariante.
Le paradigme est le spectre du Laplacien sur une variété à courbure
sectionelle négative. La dynamique classique est alors le flot
géodésique qui est Anosov (chaotique). Le problème de l'équation d'onde
amortie consiste à considérer un modèle où la norme L2 n'est pas
préservée à cause de l'ajout d'une fonction "amortissement" sur
l'espace de phase. Dans ce cas on ne connait même pas de résultat
d'érgodicité quantique.
Objectif du stage:
La question abordée dans ce stage
concerne le taux de décroissance de l'énergie. On considèrera un modèle
simple de chaos quantique avec "l'application du chat quantique de
Arnold". La question sera d'établir une majoration du rayon spectral de
l'opérateur d'évolution qui améliore les résultats connus jusqu'à
présent.
Suite: le stage pourra
se poursuivre en thèse, sur le thème du chaos quantique.
Prérequis: notions de
base en théorie spectrale. Optionellement, des notions de base en
théorie des systèmes dynamiques (dynamique hyperbolique, dynamique Hamiltonienne),
analyse semi-classique, géométrie différentielle. Motivation pour la
physique-mathématique, et motivation pour
l'expérimentation numérique (matlab, scilab ou langage C++ par
exemple). Le but de l'expérimentation numérique
étant ici d'illustrer les résultats obtenus, de tester
des nouvelles idées ou d'explorer des pistes de recherche.
Documentation:
Article de revue:
http://arxiv.org/pdf/1105.2457
le sujet du stage concerne la question posée au paragraphe 8.2.
Une thèse récente sur ce sujet
http://www.math.northwestern.edu/~schenck/Thesis.pdf
une autre thèse sur le meme domaine
http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/43/79/12/PDF/these.pdf
article récent sur le sujet
http://arxiv.org/abs/1109.0930
Bon livre sur l'analyse semiclassique:
http://math.berkeley.edu/~zworski/semiclassical.pdf
Articles généraux sur le chaos quantique