Problématique du chaos quantique

Considérons un électron dans une cavité (billard) conductrice chaotique.

L'électron comme particule classique:

Chaos $\Leftrightarrow$Sensibilité aux conditions initiales $\Leftrightarrow$imprévisibilité

$$\Delta x\left(t\right)\simeq\Delta x\left(0\right)e^{t/\tau},\qquad\tau:\textrm{temps caractéristique d'amplification}$$

(tant que $\Delta x\left(t\right)\ll L$ )

L'électron comme onde quantique (dans conducteur ``mésoscopique''):

L'électron (paquet d'onde) envahit rapidement tout l'espace. Des interférences s'installent.

Question: quelles lois permettent de décrire l'évolution de l'onde $\psi\left(\vec{x},t\right)$ ? lois statistique, répartition uniforme?

 

Question: concernant les ondes stationnaires de la cavité:

$$\Psi_{k}\left(\vec{x},t\right)=\psi_{k}\left(\vec{x}\right)e^{-iE_{k}t/\hbar}, k=1,2,...$$

Comment se répartit leur intensité $\left\vert\psi_{k}\left(\vec{x}\right)\right\vert^{2}$ et les différentes énergies $E_{k}$ ? Au ``hasard''? dépend de la forme de la cavité?

Y a t-il des lois statistiques?

On observe que les niveaux d'énergie ont les même statistiques que les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire (Bohigas et al. 1984). C'est la ''Conjecture des matrices aléatoires'' en chaos quantique.