Un phénomène surprenant d'interférences constructives en chaos quantique

Modèle du ``chat d'Arnold''

Pour mieux comprendre le comportement des ondes en milieu chaotique, nous allons considérer un modèle de dynamique chaotique encore plus simple.

• Retenant que les deux ingédients essentiels pour avoir une dynamique chaotique sont l'étirement et le repliement dans l'espace de phase, considérons l'application linéaire qui transforme $\left(x_{i},p_{i}\right)\rightarrow\left(x_{i+1},p_{i+1}\right)$

  $$\left(\begin{array}{c} x_{i+1} p_{i+1}\end{array}\right)\equiv\... ... 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{i} p_{i}\end{array}\right),$$ (2)

  
  

• L'effet de la matrice hyperbolique $M=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right)$ est d'étirer dans la direction instable (rouge) avec le coeficient de Lyapounov $e^{\lambda}\simeq2,62$ et de contracter selon la direction stable (bleu) de $e^{-\lambda}\simeq0.38$ .

• Comme la matrice est à coefficients entiers, le résultat obtenu sur les parties fractionnaires de $x_{i}$ ,$p_{i}$ , ne dépend pas de leur partie entière. On represente donc $\left(x_{i},p_{i}\right)$ dans le domaine $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$ , appelé tore $\mathbb{T}^{2}$ .
• Sur le tore $\mathbb{T}^{2}$ il résulte une dynamique chaotique avec étirement dans la direction instable et ``repliement'' dans la direction stable.

• En particulier les directions instables et stables issues de l'origine ont une pente irrationnelle, et ``s'enroulent sur le tore'', en formant un réseau dense.

• La dynamique est ``fortement chaotique'' avec les propriétés d'être hyperbolique, ergodique et mélangeante.

Evolution classique

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Commentaires

• La figure de gauche montre une trajectoire stroboscopique partant de $\left(x_{0},p_{0}\right)=\left(\pi,\pi\right)$ (irrationnels sinon la trajectoire serait périodique).
• La figure de droite montre la distribution classique de Liouville qui est choisi comme étant une fonction Gaussienne à $t=0$ de largeur $\simeq\sqrt{h}$ centrée en $\left(0,0\right)$ qui est un point fixe instable.

Observations

• Le nuage classique s'étire, se replie, et se mélange sur tout le tore.
• La propriété de ``mélange'' explique que la distribution de Liouville tend vers la mesure uniforme de Lebesgue sur l'espace de phase.

Evolution quantique d'un paquet d'onde

Commentaires

• On considère ici la valeur $h=1/1366\simeq0.0007$ .
• Ces figures montrent l'évolution quantique d'un paquet d'onde. Génériquement (figure de gauche) le paquet d'onde se disperse. Mais dans des cas particuliers (figure de droite) le paquet d'onde se reconstitue à $t=2t_{E}$ . La correspondance avec l'évolution classique est perdue. Les interférences sur les intersection homoclines (entre variété stable et instable) sont responsables de ce retour du paquet d'onde, encore mal compris.