Pour mieux comprendre le comportement des ondes en milieu chaotique,
nous allons considérer un modèle de dynamique chaotique
encore plus
simple.
- Comme la matrice est à coefficients entiers, le
résultat obtenu sur
les parties fractionnaires de
,
, ne dépend pas de
leur partie entière. On represente donc
dans le domaine
, appelé
tore
.
- Sur le tore
il résulte une dynamique chaotique
avec étirement dans la direction instable et
``repliement''
dans la direction stable.
- En particulier les directions instables et stables issues de
l'origine
ont une pente irrationnelle, et ``s'enroulent sur le tore'', en
formant un réseau dense.
- La dynamique est ``fortement chaotique'' avec les
propriétés
d'être hyperbolique, ergodique et mélangeante.

english
- La figure de gauche montre une trajectoire stroboscopique partant
de
(irrationnels
sinon la trajectoire serait périodique).
- La figure de droite montre la distribution classique de Liouville
qui est choisi comme étant une fonction Gaussienne à
de largeur
centrée en
qui est un point
fixe instable.
- Le nuage classique s'étire, se replie, et se mélange
sur tout
le tore.
- La propriété de ``mélange'' explique que la
distribution de Liouville
tend vers la mesure uniforme de Lebesgue sur l'espace de
phase.
- On considère ici la valeur
.
- Ces figures montrent l'évolution quantique d'un paquet
d'onde.
Génériquement (figure de gauche) le paquet d'onde
se disperse. Mais
dans des cas particuliers (figure de droite) le paquet d'onde se
reconstitue
à
. La correspondance avec l'évolution classique est perdue.
Les interférences sur les intersection homoclines (entre
variété stable et instable) sont responsables de ce
retour du paquet
d'onde, encore mal compris.
Frederic Faure, UJF Grenoble