Exemple simple d'application chaotique

Modèle étudié

Les modèles les plus simple de mécanique, décrivent une particule de masse $m$ , soumise à une force $F\left(x\right)=-dV/dx$ dérivant d'un potentiel, éventuellement dépendant du temps. Leur énergie (le Hamiltonien) est:

$$H\left(x,p\right)=\frac{p^{2}}{2m}+V\left(x,t\right)$$

Modèle simple ``pulsé''

Pour simplifier encore plus, on va supposer que le potentiel $V\left(x\right)$ est périodique, de période 1. Ainsi l'étude se restreint à $x\in\left[0,1\right]$ .

On remplace aussi, l'énergie cinétique $\frac{p^{2}}{2m}$ par $\cos\left(2\pi p\right)\sim1+\frac{\left(2\pi\right)^{2}}{2}p^{2}+\dots$ .Pour finir, on impose une dépendance temporelle périodique. Ainsi il y a trois paramètres dynamique $(x,p,t)$ ce qui est le minimum pour observer éventuellement du chaos.

• Voici le Hamiltonian de période 1 par rapport à $x$ et $p$ et de période $T$ par rapport à $t$ :
  

  $$H_{1}\left(x,p\right) = \cos\left(2\pi x\right),\qquad\textrm{pour } 0<t<T/2$$

  $$H_{2}\left(x,p\right) = \cos\left(2\pi p\right),\qquad\textrm{pour } T/2<t<T$$

  
  

Trajectoires stroboscopiques

• On représentera la dynamique de façon stroboscopique, c'est à dire à chaque période $t=0,T,2T,\ldots$ . Une trajectoire est donc réprésentée par une série de points:

  $$\left(x_{0},p_{0}\right)\rightarrow\left(x_{1},p_{1}\right)\rightarrow\left(x_{2},p_{2}\right)\ldots$$ (1)

  
  
   
• De plus, comme $H_{1}$ et $H_{2}$ sont périodiques, il suffit de considérer la partie fractionnaire de $x$ et $p$ dans l'intervalle $\left[0,1\right]$ .
   
• Equations du mouvement: (Rappel: les équations de mouvement de Hamilton sont: $\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p}$ , $\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}$ . On en déduit les trajectoires $x\left(t\right)$ et $p\left(t\right)$ .)
  $$p_{i+1}\equiv p_{i}+2\pi T\sin\left(2\pi x_{i}\right) \left[1\right]$$
  de même pour $T/2<t<T$ ,
  $$x_{i+1}=x_{i}-2\pi T\sin\left(2\pi p_{i+1}\right) \left[1\right]$$

• La constante de Planck sera $h=1/200=0.005$ .

Dynamique classique pour $T=0.02$

Voici un point qui évolue, et un nuage classique de points (Distribution de Liouville).

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Observations

• On observe que toutes les trajectoires semblent confinées sur des courbes unidimensionnelles. La dynamique est donc régulière.

Comparaison entre évolution classique et quantique pour $T=0.02$

Commentaires

• La figure de droite représente l'onde quantique dans l'espace de phase $\left(x,p\right)$ .
• Les deux évolutions sont similaires jusqu'à ce que les phénomènes d'interférences quantiques apparaissent pour $t>0.8$ .

Dynamique chaotique classique avec $T=0.1$

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Commentaires

• Le nuage classique s'étire, se replie, et se mélange sur la zone chaotique.
   

Comparaison entre évolution classique et quantique

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Commentaires

• Les deux évolutions sont similaires jusqu'à ce que les phénomènes d'interférences quantiques apparaissent pour $t>T_{E}\simeq0.3$ .