Etude de la bille dans un billard

Forme du billard (loi très simple):

 

$$\mathbf{rayon}\,\, r\left(\theta\right)=1+a\,\cos\left(4\pi\theta\right),\qquad0\leq a<1:\textnormal{paramètre de déformation}$$

 

Loi = trajectoire en ligne droite à vitesse constante et reflexion sur le bord.

$\quad$

Espace des états

• C'est un système déterministe avec deux degrés de liberté.
   
• état= position $\left(x,y\right)$ et vitesse $\left(v_{x},v_{y}\right)$ .
• Mais en fait un état est caractérisé par trois paramètres libres $\left(x,y,\alpha\right)$ , car $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ fixée.

Section de Poincaré

Pour simplifier la description, on considère seulement à chaque rebond, la suite des états: (position $s$ , angle $i$ )

Trajectoire = Suite: $\left(s_{1},\sin\left(i_{1}\right)\right)$ , $\left(s_{2},\sin\left(i_{2}\right)\right)$, $\left(s_{3},\sin\left(i_{3}\right)\right)$,$\ldots$

qui forme une dynamique discrète déterministe et de dimension 2. (qui conserve l'aire)

Billard circulaire $\left(a=0\right)$ :

alors $i=constante$ donc trajectoires toutes régulières.

              

Billard légèrement déformé $\left(a=0.02\right)$

Il apparait un couple de trajectoires périodiques:

1) une trajectoire stable dans un ilot régulier (résonance).

Mettons 100 billes sur la trajectoire stable (La section est effacée régulièrement)

Sur la trajectoire stable, le nuage reste confiné $\rightarrow$mouvement régulier, prévisible.

2) une trajectoire instable.

Mettons 100 billes sur la trajectoire instable (La section est effacée régulièrement)

Un nuage de billes initialement très concentré traduit notre méconnaissance de l'état initial.

La taille du nuage s'étire à un rythme exponentiel:

$$L\left(t\right)=\lambda^{t}L\left(0\right),\qquad\lambda>1\,\textrm{:Coef. d'expansion}$$

Forte sensibilité aux conditions initiales $\Longrightarrow$ imprévisibilité de la trajectoire. Mais pas de chaos: cette trajectoire est une exception. Le nuage ne se répand pas dans tout l'espace de phase.