Le problème à trois corps restreint
20 décembre 2018
Remarques:
- pour bien lire les équations de ce document html, utiliser le navigateur Firefox.
- Pour la programmation, voici un Didacticielsur le langage python. Voici des Exemples de programmes en python pour l'étude des systèmes dynamiques.
1 Références:
- Pour le modèle considéré ici, les notations et obtention des formules, voir TD7 et sa solution.
- Voici le code python du projet présenté ici.
- Autres références plus poussées:
2 Programme de ce projet en python
3 Modèle
Pour le modèle considéré ici, les notations et obtention des formules, voir
TD7 et sa solution.
Les coordonnées sont dans le référentiel tournant qui tourne à la vitesse angulaire . Par conséquent les coordonnées dans le référentiel Galiléen non tournant sont données par
4 Equations de mouvement
On a le paramètre suivantcorrespondant au rapport des masses des étoiles: . L'étoile 1 est en . L'étoile 2 est en .
On pose
L'énergie
est conservée
avec l'énergie cinétique
avec « l'énergie potentielle »
On a les variables qui dépendent du temps, et
5 Points fixes « de Lagrange »
Il y a 5 points. Les points 4,5 sont:Les points 1,2,3 sont sur l'axe avec solutions de l'équationOn peut les trouver numériquement par dichotomie. Voici leur valeur approchée si :
5.1 Tests
Il est important de tester le programme dans des situations connues afin de le valider.
- Dessiner les 2 étoiles (en jaune) et les 5 points fixes de Lagrange (en rouge) et la planète en bleu dans le référentiel tournant et dans le référentiel Galiléen non tournant. Vérifier des cas particuliers:
- Cas d'une seule étoile: Si cad alors la planète est en orbite elliptique autour de l'étoile 1. De même si cad alors la planète est en orbite elliptique autour de l'étoile 2:
- Cas d'une seule étoile: . On prend une condition initiale qui garantie une orbite circulaire:
- Cas du Soleil-Jupiter, . On observe que la planète est en orbite quasi-périodique autour du soleil (étoile 1):
- Points fixes: pour , si on place la planète sur un point fixe de Lagrange avec les valeurs de adéquate, on vérifie qu'elle reste dessus.
Ici on perturbe la condition initiale de et on observe que le point fixe est instable:
- Un cas quelconque, ici et condition initiale , .
6 Zone accessible en
Soit
une valeur d'énergie donnée. D'après (
4.3), la position
vérifie:
La zone accessible à énergie
est l'ensemble des points où
Numériquement on peut tracer cette
zone accessible, ici en orange, pour différentes valeurs de
et en fonction de
:
Il apparaît clairement que les bifurcations se passent aux points de Lagrange, à différentes valeurs de .
7 Section de Poincaré
7.1 Zone accessible en à
7.2 Section
On se fixe l'énergie
. Pour la section de Poincaré, on choisit par exemple la condition
qui correspond à
. On se ramène aux variables
, sachant que
et
se déduit de (
4.3), connaissant l'énergie
, de la façon suivante. On a
Cela a une solution seulement si
, c'est à dire dans la zone accessible en orange.
8 Section de Poincaré
8.1 Zone accessible en à
Soit
une valeur d'énergie donnée. D'après (
4.3), la position
vérifie:
La zone accessible à énergie
est donc
Numériquement on peut tracer cette
zone accessible, ici en orange, pour différentes valeurs de
et en fonction de
:
8.2 Section de Poincaré
Pour fixée, on choisit la condition et on utilise les coordonnées . On obtient parCela a une solution seulement dans la zone accessible en orange.