Définition de la distribution de Husimi d'un état quantique dans l'espace de phase

Nous utilisons une représentation d'un état quantique $\vert\psi\rangle$ dans l'espace de phase: la distribution de Husimi. Nous donnons sa définition qui est intuitive et naturelle:

• La valeur en $\left(x,p\right)$ est obtenue en faisant le produit scalaire entre l'état $\vert\psi\rangle$ et un paquet d'onde Gaussien $\vert x,p\rangle$:
  $$Hus_{\psi}\left(x,p\right)=\left\vert\left\langle x,p\vert\psi\right\rangle \right\vert^{2}$$

• Nous rappelons que la fonction d'onde d'un paquet d'onde Gaussien $\vert x,p\rangle$est une onde plane avec une enveloppe Gaussienne de largeur $\sigma$:
  $$\psi_{\vert x,p\rangle}\left(x'\right)=\frac{1}{\left(\pi\sigma^{... ...c{px'}{\hbar}\right)\exp\left(-\frac{\left(x'-x\right)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)$$

• La limite $\hbar\rightarrow0$, est appelée limite semi-classique: car si l'on choisit $\sigma\simeq\sqrt{\hbar}$, et $\hbar$ petit, alors $\Delta x'=\sqrt{\hbar/2}\ll1$ et $\Delta p'=\sqrt{\hbar/2}\ll1$, donc le paquet d'onde $\vert x,p\rangle$ ``se concentre'' sur le point $\left(x,p\right)$de l'espace de phase.
• Le produit scalaire $\left\vert\left\langle x,p\vert\psi\right\rangle \right\vert^{2}$ sonde la présence de l'état quantique $\vert\psi\rangle$ à la position $\left(x,p\right)$ de l'espace de phase. Autrement dit, si la fonction $Hus_{\psi}\left(x,p\right)$ est importante au point $\left(x,p\right)$, c'est que le produit scalaire $\langle x,p\vert\psi\rangle$ est important et donc que l'état quantique $\vert\psi\rangle$ est ``fortement'' composé du paquet d'onde $\vert x,p\rangle$.