Option chaos et morphogénèse.

Chaouqi Misbah et Frédéric Faure.

1  Rappel des équations:

voir les notes du cours http://lpm2c.polycnrs-gre.fr/faure/chaos_lic/cours/cours_chaos.html

2  Lancement du programme

Copier un fichier de paramètres dans son répertoire par la commande:

cp /h/phcarism/u1/enseigt/faure/c++/td_chaos/pendule.txt .

Vous pourrez éditer ce fichier pour changer les paramètres de la simulation, même lorsque le programme tourne.

Sur phcarism, lancer la commande:

/h/phcarism/u1/enseigt/faure/c++/td_chaos/pendule

Il apparait alors 4 fenêtres:

• Le dessin du pendule dans l'espace réel.
• Le dessin des trajectoires dans l'espace des phases élargi, projetté sur le plan (q,t) .
• La section stroboscopique: plan ( q,w) où sont représentées les intersections des trajectoires dans l'espace des phases élargi, à chaque période.
• Une fenêtre de commandes, où vous pouvez choisir:
  • iter=nombre de périodes avant l'affichage des points de la sections.
  • 1 série= si on veut que l'évolution soit sur une seule période.

Les exercices qui suivent servent à illustrer et reproduire les résultats du cours: ../cours/cours_chaos.html#tth_sEc3.3

3  Observation du comportement

Dans cette section, on choisit m = 0 (pas de frottements).

1. Avec seulement la fenêtre du pendule réel, et de la section stroboscopique, changer la valeur de la force F₀ , et observer le comportement du pendule. Mouvement d'aspect régulier ou chaotique.
   Paramètres: Pour cela, on essayera les valeurs F₀ = 0,3,20,100 , et on choisira l'option de commandes iter=1, avec plusieurs séries.
2. Rajouter la fenetre ( q,t) , et comprendre le lien entre les trois fenêtres.

4  Divergence des trajectoires et coefficient de Lyapounov

On travaille maintenant avec les fenetres du pendule, et de l'écart entre trajectoires voisines.

1. Avec les valeurs F₀ = 0 , puis F₀ = 100 , choisir une condition initiale ( q,w) , et observer comment l'écart d(t) = Ö{Dq(t)²+Dw(t)²} entre la trajectoire sélectionnée, et une trajectoire voisine augmente (on a pris une distance initiale d(0) = 10^-10 ). Remarque: sur la fenetre d(t) , on peut choisir de représenter log(d(t)) , en cliquant avec le bouton droit de la souris, et avec l'option log(y).
2. Proposer une formule pour d(t) pour les temps courts. Aide: de la forme d(t) = d(0)+at , ou d(t) = d(0) e^gt et mesurer les valeurs de a ou g.

5  Ilots de résonances et chaos dans l'espace stroboscopique

1. Pour les valeurs F₀ = 0,3,100 , construire les images de la section stroboscopique. Pour cela n'afficher que la fenetre de la section stroboscopique, et choisir iter=100, Plusieurs séries.
   

   Observer que l'espace de phase ( q,w) est structuré de façon très riche en régions chaotiques et d'autres régulières, avec des ``ilots elliptiques'' de résonances à toutes échelles.

2. Pour F₀ = 3 , grâce à la souris (et l'option Options/Event Status dans le menu de la fenetre), repérer la position ( q^*,w^*) du centre de l'ilot de la résonnance 2:5 .

6  Mouvement sur un ilot

Pour une condition initiale située dans l'ilot de résonance 2:5 observer la trajectoire dans le plan ( q,t) , pour F₀ = 3 et F₀ = 0 (Choisir n_images grand).

7  Faible frottements, accrochages de fréquences

1. Avec seulement la fenetre de la section stroboscopique, pour F₀ = 3 , choisir des frottements m assez faibles, et observer l'accrochage de fréquences avec la résonance 1:1.
2. Visualiser ensuite le mouvement de l'objet réel.