Chaouqi: cours + TP
Dans ce chapitre, nous allons observer comment le chaos peut se manifester dans un système mécanique simple .
Pour cela, nous nous intéressons à un système mécanique particulier, une ``roue pulsée'', qui est présentée en cours.
On peut aussi voir le comportement de cette roue pulsée (simulation numérique) à l'adresse web: _anim.gifhttp://lpm2c.polycnrs-gre.fr/faure/chaos_lic/cours/pendule_anim.gif.
La démarche de ce chapitre est tout d'abord d'observer le mouvement chaotique de cette roue mécanique, puis de modéliser son mouvement par un système dynamique simple (Hamiltonien), et enfin d'approfondir l'observation du chaos, à l'aide d'une simulation numérique de ce système dynamique.
L'approche que nous allons suivre, et les résultats que nous allons obtenir, ne sont pas spécifiques à cette roue pulsée. Ils sont valables au moins de façon qualitative pour beaucoup de systèmes mécanique à peu de degrés de liberté, et nous donnons des exemples dans ce chapitre.
Dans ce chapitre nous nous contenterons d'observer dans quelles conditions le chaos apparait dans un système mécanique. Les explications mathématiques et une description plus précise seront données dans le chapitre suivant.
L'objet mécanique est présenté sur la figure (2.1). Voir aussi le comportement de cette roue pulsée (simulation numérique) à l'adresse web: http://lpm2c.polycnrs-gre.fr/faure/chaos_lic/cours/pendule_anim.gif .
Lorsqu'on observe son mouvement, on remarque les caractéristiques suivantes:
| ||||||||||
Le modèle est spécifié sur la figure 2.1. Les trois masses m1,m2,m3 sont égales ( = m ) réparties symétriquement autour du point O, à la distance l . Cette symétrie fait que la pesanteur n'intervient pas dans la suite. Les trois masses sont solidaires, et on appelle M cet objet qui est libre de tourner autour de O. On note q l'angle entre Om1 et la verticale. q est une variable dynamique libre associé à l'objet M étudié.
A cause d'une grande inertie, on considère que le point A a un mouvement
imposé périodique. On note a l'angle entre OA et la
verticale. On suppose que a(t) est périodique de période
T et d'amplitude a0 , et pour simplifier (dans
un premier temps, et cela est vrai pour les petites oscillations)
on prend:
|
On propose l'expression suivante pour VM(q) , comme
étant la superposition de (trois) Lorentziennes, de hauteur V0 ,
et largeur aM :
| |||||||||||||||||||||||||
Remarques:
|
L'énergie cinétique de l'objet M est
|
Son énergie potentielle est VM(q,t) .
Le Lagrangien de l'objet M est donc
|
Son impulsion est
|
| ||||||||||||||
Les équations de mouvement de Hamilton sont donc:
| ||||||||||||||||||||||
Pour simplifier l'écriture des équations, on choisit de prendre T
(la période de l'aimant extérieur A) comme unité de temps, et on pose:
|
| (2.1) |
| ||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ce qui donne aussi:
| ||||||||||||||||||||||||
|
Dans (2.5), on a rajouté une force de frottement, avec un paramètre m pour modéliser l'effet des frottements; mais ce terme ne permet plus d'écrire les équations du mouvement sous la forme de Hamilton (2.8). (sauf si m = 0 ).
Les seuls paramètres sans dimension (que l'on évalue sur l'expérience) sont donc:
| ||||||||||||||||||||
Dans la suite, on notera w = w0 , t = t et on utilisera les variables (q,w) comme variables dynamiques conjuguées.
On notera aussi T = 1 la période de l'aimant extérieur.
Ce programme est disponible sur phcarism:
Voir les informations sur la feuille du TD2. @@
Le programme est écrit en C++. L'intégration numérique des équations de mouvement (2.1) se fait grâce à l'algorithme de Runge-Kutta (on commente cette méthode plus loin).
Le programme de simulation présente trois fenêtres:
A l'aide de ce programme on peut observer le mouvement de l'objet, et faire des études précises comme la construction de sections stroboscopiques, présentées plus loin, ou la mesure de la sensibilité aux conditions initiales:
Si lance une trajectoire en q0,w0 , puis une autre avec des conditions initiales q1,w1 très proches décalées de Dq ou Dw, on observe sur la simulation une amplification exponentielle de Dq(t) = q1(t)-q0(t) par un facteur @ 101.3 @ 20 après chaque période T . Soit à peu près un facteur 10 à chaque seconde. Voir figure 2.3. Cela traduit que deux trajectoires voisines s'écartent l'une de l'autre exponentiellement vite. La situation est décrite qualitativement sur la figure (2.4). Cela s'observe pour presque toutes les conditions initiales.
Il est clair que ce comportement de forte sensibilité aux conditions initiales est la cause de ``l'aspect chaotique'' ou ``hasardeux'' du mouvement.
Le modèle de la roue pulsée ci-dessus, se caractérise par un objet dont le mouvement est à une dimension (ou un degré de liberté), plus précisement caractérisé par une variable dynamique angulaire q, et subissant une force périodique extérieure F(t) . Les frottements sont faibles.
Voici d'autres systèmes qui ont ces même caractéristiques (en première approximation), pour qui l'analyse de la dynamique qui suit sera donc valable, et qui par conséquent peuvent et doivent manifester un comportement chaotique (selon les conditions).
Pour un des exemples ci-dessus, écrire les équations de mouvement qui le modélise, puis écrire un programme pour résoudre ces équations et faire cette simulation.
On considère à nouveau le modèle de la roue pulsée définit plus haut, et nous commençons une étude plus précise.
L'espace des phases est définit comme étant l'espace ( q,p) (ou (q,w) ) des variables dynamiques des équations de mouvement de Hamilton Eq.(2.8).
A condition d'identifier la position q = p/3 avec la
position q = -p/3 , remarquons que les différents angles
possibles
| q Î [- |
p 3 | , |
p 3 | [ |
Dans eq.(2.1), le paramètre F0 est proportionnel
à V0 . Il mesure la force de l'aimantation. En faisant,
F0 = 0 , (et m = 0 ), il n'y a plus d'influence extérieure
sur l'objet M, alors H0(q,w) ne dépend
pas du temps. C'est une fonction constante sur l'espace des phases,
très simple dans ce cas, car
| H0(q,w) = |
1 2 | w2 |
Les équations du mouvement sont:
| |||||||||||||||||||||
| ||||||||||
|
On peut écrire les eq.(2.8) sous la forme:
| ||||||||||||||
|
® V | ( q,w) = ( V1,V2) |
|
® V |
Dans le cas qui nous intéresse, les composantes sont très simple: V1( q,w) = w, V2( q,w) = 0 , voir la figure 5.
Remarque: en toute généralité, le champ de vecteur ne peut pas être quelconque, car il dérive d'une fonction de Hamilton: V1 = ¶H/¶w, V2 = -¶H/¶q. Cela impose des contraintes au champ de vecteur, comme celle de conserver l'aire par exemple (voir paragraphe 3.2.1 ).
L'interprétation géométrique précédente suggére une méthode de résolution, qui est la construction de Euler.
Comme les équations de mouvement (2.8) sont du premier ordre par rapport au temps (i.e. dérivées premières), en découpant le temps en petites tranches dt , on peut faire la construction suivante (même si dans notre exemple, la solution est très simple).
Soit une condition initiale, c'est à dire position initiale q0
et vitesse initiale w0 de l'objet M à la date t .
Cette condition initiale s'interprète comme étant un point
M0 = (q0,w0) dans l'espace des phases.
Alors on peut calculer le membre de droite des équations de mouvement,
donnant les composantes du vecteur
|
® V | (M0) |
| ( |
dq dt | = V1, |
dw dt | = V2) |
|
|
C'est une méthode possible pour simuler le mouvement avec l'ordinateur. Il y a plus efficace cependant: la méthode de Runge-Kutta par exemple, dont l'erreur est en O(dt5) .
Dans le cas qui nous intéresse, la figure 2.5 représente
le champ de vecteur
|
® V |
| T0 = |
2p 3| w0| |
L'intérêt principal de l'introduction de l'espace de phase et des variables (q,w) , est donc l'interprétation géométrique des trajectoires comme étant les lignes de champ d'un certain champ de vecteur fixe. Les conclusions importantes sont d'une part que une condition initiale M0 = (q0,w0) détermine le comportement ultérieur car une trajectoire unique passe par le point M0 = (q0,w0) dans l'espace des phases; d'autre part la méthode d'intégration consiste à partir d'une condition initiale, et à suivre progressivement les flèches du champ de vecteur, pour obtenir la trajectoire.
Si F0 ¹ 0 (force extérieure non nulle sur l'objet), les
équations de Hamilton dépendent du temps, et l'analyse précédente
n'est plus tout à fait valable, car cette fois-ci, le champ de vecteur
n'est plus fixe, mais dépend du temps:
|
® V | ( q,w,t) = ( V1( q,w,t) ,V2( q,w,t) ) |
Une conséquence génante est qu'un point (q0,w0) ne détermine plus une seule trajectoire possible, car elle dépend aussi de la position de l'aimant extérieur A, et donc de la date t . L'objet A a un mouvement périodique de période T = 1 , et donc il suffit de connaitre la valeur de t modulo T (i.e. t ramené dans l'intervalle [0,T[ ).
Pour se ramener à un champ de vecteur fixé, il faut donc considérer le temps t comme une variable supplémentaire. Il faut donc considérer que le mouvement de l'objet s'effectue dans l'espace phase élargi avec les trois variables (q,w,t) , où q et t sont considérés comme périodiques.
Bien sûr le temps t se déroule de façon linéaire, et pour cela
on introduit un paramètre d'intégration l Î \mathbb R, et
l'équation de mouvement très simple:
|
( l est en fait le vrai temps, et t est sa valeur
ramenée entre 0 et 1 ).Les équations de mouvement s'écrivent
alors sous la forme:
| |||||||||||||||||||||
|
® V | ( q,w,t) = ( V1,V2,V3) |
Comme ci-dessus, si l'on connait une condition iniitale M0 = (q0,w0,t0) , l'évolution future est complétement déterminée, et s'interprète comme étant la ligne de champ issue de ce point M0 dans cet espace de dimension 3. La méthode de Euler s'adapte à cette situation, et permet de calculer numériquement les trajectoires.
Bien sûr la variable t est un peu particulière car le temps évolue toujours de façon monotone ( t = l). Par conséquent chaque trajectoire traverse périodiquement le segment t = 0® T , et pour simplifier l'étude d'une trajectoire, il suffit de noter les intersections de la trajectoire avec le plan t = 0 , donnant à chaque période T un point (q,w) dans l'espace des phases.
La série de points obtenue M0 = (q0,w0) , M1 = (q1,w1) , M2 = (q2,w2) ,...représentés dans l'espace des phases s'appelle la section de Poincaré dans l'espace de phase élargi et plus partiulièrement dans notre cas, la section stroboscopique des trajectoires. (car elle s'obtient à des intervalles de temps réguliers). Voir figure 2.7.
On rappelle une fois de plus que l'intérêt de cette représentation est qu'un point de la section stroboscopique détermine une trajectoire unique.
Voici la remarque très importante qui fait que déjà l'on peut présentir pourquoi le chaos déterministe existe: les lois du mouvement peuvent être très simples (comme dans notre cas eq.(2.8)) donnant un champ de vecteur très simple et régulier dasn l'espace de phase. Mais cela n'empêche pas que les trajectoires résultantes (les lignes de champ obtenues par intégration) peuvent être très complexes, et donner un comportement ``chaotique'' de la trajectoire. Tout le paradoxe du chaos est ici. Dans certains cas, la trajectoire résultante peut être très simple (le cas d'un mouvement périodique par exemple), dans d'autres cas (la plupart des cas en fait) elle peut être si complexe, qui est impossible de la connaitre, sans autre moyen que de faire l'expérience, ou de la construire avec un ordinateur, en commettant des erreurs de précision bien sûr.
Dans la suite, on se propose d'étudier néanmoins ce problème à savoir le devenir aux temps longs d'une trajectoire, et de voir dans quels cas la trajectoire peut être ``complexe'', et ce que l'on peut en dire.
Puisque l'on a bien présenté le cadre géométrique qui permet d'observer correctement l'évolution de notre système, on passe maintenant à l'étude des trajectoires.
On a vu que les trajectoires du système non perturbé ( F0 = 0 ) sont périodiques et s'observent dans l'espace des phases (q,w) . Mais puisque qu'il faut considérer l'espace des phases élargi dans le cas perturbé ( F0 ¹ 0 ), on va aussi le faire tout de suite dans le cas ( F0 = 0 ).
La figure (2.8) montre qualitativement les trajectoires dans l'espace de phase élargi. Comparer avec la figure (2.5).
Exercice
Pour chacune des valeurs suivantes de la période T0 de la
trajectoire,
|
T0 T | = 1, |
1 2 | , |
2 3 | , |
1 2 | -e, |
p q | , Ö2 |
Et placer toutes cette trajectoires sur une même section stroboscopique ( q,w) à t = 0 .
Remarque:
lorsque
|
T0 T | = |
p q | Î \mathbb Q |
Solution
| T0 = T = |
1 1 | T |
| T0 = 0.5T = |
1 2 | T |
| T0 = 0.66T = |
2 3 | T |
On déduit que si T0 est quelconque,
| T0 = |
p q | T |
| w0 = |
Ö2p 3 | @ 0.48 |
|
Ö5-1 2 | @ 0.618 |
Dans ce dernier cas, la trajectoire n'est pas périodique dans l'espace de phase élargi, mais pourtant q se déroule de façon périodique et t aussi. On dit que la trajectoire est quasi-périodique dans l'espace de phase élargi.
Lorsque la trajectoire est périodique (résonance p:q), on a vu qu'il y a p points sur la section stroboscopique. En changeant la valeur de q initiale, on obtient une autre trajectoire qui donne d'autres points décalés sur la section. Toutes ces trajectoires possibles (ayant la même valeur de w) forme une surface, une nappe dans l'espace élargi (q,w,t) . Cette surface est en fait un tore, car il faut tenir compte de la périodicité en q, et en t . On emploira donc le terme ``tore'' dans la suite, pour mentionner cette surface (trajectoire représentée dans l'espace de phase élargi).
Sur la section, cette surface donne une ligne, qui n'est autre que la trajectoire non perturbée représentée dans l'espace de phase (q,w) .
Dans ce paragraphe, on a donc bien compris la structure des trajectoires dans l'espace de phase élargi, et leur apparence sur la section stroboscopique dans le cas du système non perturbé. Il est déjà apparu (de façon un peu artificielle) le rôle joué par les nombres rationnels pour les tores périodiques, et irrationnels pour les tores quasi-périodiques.
Dans ce paragraphe, on va utiliser la simulation sur ordinateur pour observer le comportement des trajectoires du système perturbé, et essayer de mettre en évidence quelques lois générale des systèmes dynamiques, afin de comprendre l'origine du chaos. Les explications des phénomènes observés ici seront données dans le chapitre suivant (plus technique).
On prend les paramètres suivants:
|
La fenêtre des vitesse angulaires est w = 0® 9 , et le paramètre F0 est variable.
(Le cas F0 = 0 a été étudié ci-dessus. )
Sur ces figures de sections stroboscopiques, une condition initiale (q0,w0) donne une trajectoire (série de points sur la section stroboscopique q,w), représentés par la même couleur. (Mais une même couleur sert pour plusieurs trajectoires). On observe en gros deux sortes de trajectoires:
On observe lorsque la perturbation F0 augmente que:
Cette description à été développée depuis Poincaré au siècle dernier; Un célèbre théorème décrit ce comportement lorsque la perturbation F0 augmente: le théorème KAM (Kolmogorov, Arnold, Möser). Nous présentons quelques aspects de ce théorème dans la section suivante.
Conclusion:
l'ordre cède la place au chaos lorsque F0 augmente, mais l'ordre et le chaos coexistent dans l'espace des phases (le choix se fait selon la condition initiale q0,w0,t0 ).
| T0 = |
p q | T |
En général:
Par Chaouqi.
Points fixes de la dynamique et stabilité
Cycles limies
TP3
Pour syst. Hamiltonien
Par Fred.
,Ilots elliptiques, th. KAM,
mapping chat ou boulanger.
Effet de la dissipiation.
TD-TP4
Dans cette section plus technique, on justifie en partie les comportements observés dans le chapitre (2).
Références: Arnold [1] p117, p405, Arnold et Avez [3]p68
Concernant le modèle mécanique ci-dessus, ce théorème dit:
Pour une perturbation F0 suffisament petite, il subsiste des tores invariants quasi-périodiques (courbes 1D dans la section de Poincaré) qui sont voisins des tores invariants quasi-périodiques (i.e. T/T0 irrationnel) du système non perturbé. Ces tores remplissent presque tout l'espace de phase lorsque F0® 0 .
C'est bien ce que l'on a observé dans le modèle numérique ci-dessus pour F0 = 0-0.5-3 .
La démonstration est très technique, et repose sur l'existence d'un changement de coordonnées (q,w)® (q¢,w¢) canoniques qui transforment la dynamique pour F0 ¹ 0 faible, dans le voisinage d'ancien tores quasi-périodiques, en la dynamique régulière du cas F0 = 0 . (Voir Arnold [1] p411 ou Arnold-Avez [3] p68.)
L'explication qui suit est très esthétique car géométrique, et sans calcul.
Dans la suite, on s'intéresse à la résonance 1:1, l'étude des autres résonances p:q est similaire. On considère donc pour F0 = 0 , les trajectoires situées à T0/T = 1/1 soit à w0 = 2p/3 @ 2.1 . Comme expliqué ci-dessus (figure 2.9), chaque trajectoire donne un point sur la section de Poincaré. Toutes ces trajectoires donnent une ligne G0 sur la section de Poincaré à w = w0 .
Le théorème de Birkhoff dit:
Pour F0 ¹ 0 suffisament petit, il y a aura k points fixes stables (ilots elliptiques) et k points fixes instables (points hyperboliques) à la place de G0 , avec k entier. (souvent, comme sur notre exemple k = 1 ).
Voici la démonstration très géométrique:
Appelons S , une itération de l'application stroboscopique: Mi+1 = S(Mi) .
Pour F0 ¹ 0 , suffisament petit, d'après le théorème de Kolmogorov, il y a un tore quasi-périodique G+ invariant qui persiste pour w = w+ > w0 proche de w0 , (si T/T0 est suffisament irrationnel); autrement dit S(G+) = G+ . On a w+ > w0 , donc T+ < T0 , mais T+ est proche de T0 . Par conséquent, sur la section stroboscopique, une trajectoire de G+ donnera une succesion de points se déplaçant vers la droite. Voir figure 3.1.
De même il y a un tore quasi-périodique invariant G- qui persiste pour w = w- < w0 proche de w0 , donnant une succession de points se déplaçant vers la gauche, sur la section stroboscopique. On a aussi S(G-) = G- .Sur la section, G0 se situe entre G- et G+ .(Mais attention, G0 n'est pas invariant: S(G0) ¹ G0 ).
A q fixé (quelconque), considérons les points Mw sur le segment q fixe, w = w-® w+ . D'après ci-dessus, le points S(Mw-) est à gauche de Mw- , et le point S(Mw+) est à droite de Mw+ . Par continuité, il y a un point intermédiaire, Mwf tel que S(Mwf) reste sur le segment q fixé. On peut trouver un tel point pour chaque valeur de q, et cela donne une courbe Gf (de coordonnées (q,wf(q)) ).
Soit la courbe Gf¢ = S(Gf) l'image de la courbe Gf par une itération de l'application stroboscopique. La courbe Gf¢ , peut se situer n'imorte où, mais cependant elle doit intersecter la courbe Gf un nombre 2k pair de fois, avec k entier. ( 2k = 2 sur la figure 3.1). La raison est que l'application S() conserve l'aire dans l'espace des phases ( q, w), d'après le théorème de Liouville, car elle provient des équations de Hamilton. (Voir démonstration ci-dessous, section 3.2.1); les aires A = (G-,Gf) et A = (G-,Gf¢) = S(A) comprises entre les courbes ( G- et Gf ) et ( G- et Gf¢ ) sont donc égales. Cela oblige les courbes Gf et Gf¢ à se couper un nombre pair de fois: 2k .
Dans la suite on suppose que k = 1 , comme sur notre exemple.
Les points d'intersection GfÇGf¢ sont donc deux points fixes (E,H) de l'application S ; voir figure 3.1. Près du point E, le déplacement des points tournent autour de E; E est donc un point fixe elliptique, et un ilot des trajectoires autour de ce point. Près du point H, le déplacement des points montrent que H est un point fixe hyperbolique.
On déduit donc que pour F0 ¹ 0 , suffisament petit, il apparait, à la place de la courbe G0 , 1 ( k = 1 ) ilot elliptique E, et 1 ( k = 1 ) point fixe hyperbolique H. Le déplacement des points est schématisé sur la figure 3.2.
Remarque: pour l'étude d'une résonance générale p:q, il suffit de considérer l'application Sp . L'analyse précédente s'applique alors.
Dans la section précédente, on a vu que les points situés sur l'ilot elliptique tournent autour du point E; ils ont donc un mouvement très régulier.
Dans cette section, on étudie la trajectoire des points situés près du point fixe hyperbolique H, et on montre que leur trajectoire est au contraire très instable et ``très chaotique''. On va obtenir un modèle très simple qui reproduit le comportement de leur trajectoire, appelé le modèle de l'application du boulanger, qui est très mélangeante.(Il s'agit du travail du boulanger qui étire et replie sa pâte pour faire de la pâte feuilletée, afin de bien mélanger le beurre).
Cette construction est due à Poincaré (1899).
Près du point fixe instable H, il y a quatre directions privilégiées: les points s'éloignent de H selon deux directions dites instables, et les points s'approchent de H selon deux directions dites stables.
On définit les (deux) courbes stables Cs comme étant précisement l'ensemble des points qui s'accumulent sur H pour t® +¥. Pour le moment on ne sait pas comment ces deux courbes se prolongent pour t® -¥. Voir figure 3.4.
De même on définit les (deux) courbes instables Ci comme étant précisement l'ensemble des points qui s'accumulent sur H pour t® -¥. Pour le moment on ne sait pas comment ces deux courbes se prolongent pour t® +¥.
Rappel: dans le cas du pendule simple, voir figure 3.3, il y a un point fixe H hyperbolique, et une courbe instable de H se prolonge pour donner une courbe stable de H dans l'espace des phases (q,w) du pendule. Cette ``coincidence'' est due à la conservation de l'énergie qui n'a pas lieu ici pour F0 ¹ 0 . Donc ici, il n'y a aucune raison pour que ces deux courbes Cs et Ci se rejoignent. Elles vont donc se couper (peut etre plusieurs fois) en un point I. Voir figure 3.4.
Ce point d'intersection I = CsÇCi est appelé point homocline.
Considérons le point homocline I0 = I défini ci-dessus. Voir figure 3.5. Par construction, son image I1 = S(I0) appartient à la fois à Cs et Ci . On déduit que Ci forme deux boucles B0,B0¢ avant de recouper Cs en I1 . (Il y a au minimum deux boucles et non pas une car l'orientation des intersections doit être conservée); il y a une intersection intermédiaire J0 . Ainsi de suite: Ci forme deux boucle Bn,Bn¢ après avoir coupé Cs en In , et avant de le recouper en Jn et In+1 . Voir figure 3.5. (Remarque: une boucle Bn correspond à un ensemble de trajectoires.)
On a donc Bn+1 = S(Bn) , et donc les boucles B0,B1,B2¼ ont toutes la même aire, car l'application S conserve l'aire. Par ailleurs, on sait que les points I1,I2,¼ s'accumulent vers H en se rappochant exponentiellement; on déduit donc que les boucles Bn deviennent plus fines, et aussi plus longues, elles s'étirent exponentiellement, car leur surface est constante. Mais chaque boucle Bn est comprise entre les courbes invariantes G- , et G+ : la place où elles sont est limitée. On déduit donc que les boucles Bn se replient sur elles même en même temps qu'elles s'étirent.
Remarque: la suite de points homocline In = ¼,I-2,I-1,I0,I1,I2,¼ est très particulière car elle s'accumule vers H à la fois pour t® +¥ et t® -¥. On appelle cette suite de points une trajectoire homocline. Elle est à la base de la construction que l'on a faite des boucles Bn .
On vient de voir que la surface de la boucle Bn est conservée, mais étirée et repliée au cours de l'évolution, près du point hyperbolique H. Cela a pour effet de mélanger les trajectoires très fortement, et ce mécanisme est à l'origine du chaos.
On peut simplifier ce mécanisme, en gardant sa propriété de mélange, en considérant l'application dite du Boulanger qui agit sur une surface carrée, voir figure 3.6.(Cette application res à l'action que fait le boulanger pour mélanger le beurre à la pate dans la recette de la pate feuillettée).
Ce modèle très simple génère un ``chaos très fort''.
Exercice
On appelle système conservatif, un système dynamique dont les équations de mouvement s'écrivent avec un Hamiltonien, comme les équations (2.8). Le terme conservatif vient d'une propriété essentielle des systèmes Hamiltoniens qui est que l'aire dans l'espace des phases est conservée. C'est le théorème de Liouville.
Rappel de la démonstration du théorème de Liouville
(voir Arnold [1] p.75)
on note
|
® x | = (q,w) |
|
® x | (t) = G( |
® x | ,t) |
|
autrement dit
dt | = |
® f | ( |
® x | ,t) |
Considérons maintenant un élément de surface D(0) , qui évolue
pour donner D(t) . On note s(t) sa surface. Alors
|
|
or
| Trace( |
| ) = |
å i |
¶fi ¶xi | = div( |
® f | ) |
| (3.1) |
|
® f | ( |
® x | ) = ( |
¶H ¶w | ,- |
¶H ¶q | ) |
|
Remarques
Effet des frottements
Dans les sytèmes naturels, il y a toujours de la dissipation,
qui fait que le système considéré n'est pas rigoureusement Hamiltonien.
Cette dissipation peut être faible ou pas. Si on rajoute des frottements
faibles (coefficient m), dans notre modèle, le système n'est
plus Hamiltonien, l'aire dqdw n'est plus conservée.
On peut montrer que cette aire diminue au cours du temps.
En effet, si on rajoute le terme -mw dans l'équation
(2.5) de dw/dt , alors en reprenant
les notations de eq.(3.1), on a cette fois ci
|
® f | ( |
® x | ) = ( |
¶H ¶w | ,- |
¶H ¶q | -mw) |
|
(Voir Gutzwiller [6] section 9.2.)
On considère notre modèle pour F0 = 3 ,où il y a beaucoup d'ilots dans la section stroboscopique.
Que deviennent les trajectoires du système Hamiltonien conservatif, si l'on rajoute des frottements m > 0 qui rende le système dissipatif, avec une diminution de l'aire au cours du temps?
Il est facile de deviner que les trajectoires régulières des ilots, vont s'enrouler vers le centre de ceux-ci. Le centre des ilots devient donc un attracteur.
Après un régime transitoire où les trajectoires sont attirées au centre de l'ilot, elles coincident ensuite avec le centre de l'ilot, et deviennent des trajectoires périodiques, comme celles de la figure 2.9 (qui étaient exceptionnelles dans le cas conservatif).
Chaque trajectoire devient donc résonnante caractérisée par le couple
d'entiers p:q. Cela signifie que
| T0 = |
p q | T |
En conclusion les trajectoires résonantes p:q qui sont exceptionnelles pour un système conservatif, deviennent importantes pour un système légèrement dissipatif.
Il y a de nombreux exemples dans la nature où un accrochage de fréquences se manifeste.( cf Gutzwiller [6] p130, p120. )
|
Tjup Tsat | @ |
2 5 |
On peut se demander l'effet de la dissipation sur les trajectoires chaotiques situées près des points hyperboliques H?
Un modèle très simple consiste à modifier le modèle de l'application du boulanger ci-dessus, introduire un coefficient de dissipation m. On obtient le modèle du fer à cheval.
Une étude de ce modèle est très simple, et montre que toutes les trajectoires sont attirées vers un ensemble de points singuliers appelé attracteur étrange, qui est un ensemble fractal dans l'espace des phases. voir Ozorio [5].
Autre modèle, et autres images, voirhttp://www.mcasco.com/cattr1.html .
Entropie,
Fractales,
Diffusion, eq. de Langevin.
TP5.
Classification de la route vers le chaos (dissipatif):
Par Chaouqi.
3 scénarios.
Formes normales
rem; sur Th. des catastrophes (Fred).
Le modèle mathématique étudié ci-dessus est déterministe au sens où
une condition initiale (q0,w0,t0) détermine
l'évolution future de l'objet. Cependant, on a vu qu'une petite modification
des conditions initiales de Dq s'amplifie pour
donner une modification 10Dq après une période,
et 10nDq après n périodes T . Il
en est de même pour Dw. Il en résulte que la moindre
modification de la position ou de la vitesse de l'objet va s'amplifier
pour rapidement donner quelque chose de très différent (si il n'y
avait pas eu de modification). Par exemple si Dq = 10-8
radians, en t = 8T = 8 secondes Dq @ 1 ,
et donc l'objet pointe vers une autre direction. Cela s'appelle l'effet
papillon: un battement d'aile de papillon dans la pièce va engendrer
un petit courant d'air, ce qui va modifier légèrement la vitesse Dw,
et aussi Dq, qui va rapidement s'amplifier.
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Ces remarques montrent qu'il est illusoire de vouloir faire des prédictions précises après ce laps de temps. Mais des prédictions sont cependant possibles: on peut faire des prédictions probabilistes. C'est ce que l'on fait en physique statistique.
Citation de Bohr ``Le but de la physique n'est pas de décrire la nature, mais de montrer ce que l'on peut dire de la nature''.
généralité sur ordre dans la nature,
ex. Chimique simple.
Etude stabilité, naissance ordre spatioal,
rapport avec th. cristallo.