Voix chantée, mathématiques et musique.
 
(Perception auditive de l'arithmétique (?)).

11 septembre 2015
Frédéric Faure

Table des matières

Remarques
c'est un document “multimédia”,

Introduction

Voix chantée et audition. Séries de Fourier.

2.1 Origines

La voix est apparue entre - 2 millions d'années (sons), -50000 ans (parole) pour palabrer et pour l'échange d'informations (?).
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2.2 Émission de la voix

Video des cordes vocales.
Ce son “riche en fréquences” est “sculpté” par la cavité buccale pour former le “timbre” (choix des voyelles).Video .

2.3 Propagation de la voix

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2.4 Réception

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Video de la cochlée aux cellules ciliées par R Pujol, S Blatrix.
Ce spectre d'harmoniques coïncide à peu près avec les notes musicales (ce sera expliqué après):
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Même figure mais en “échelle log” ce qui correspond au clavier du piano:
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Voyelle “a”:
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Références
 
 

2.5 Instruments de musique

Ils permettent aussi de générer un signal sonore périodique (imitation de la voix chantée) par un mécanisme physique adéquate. Souvent une oscillation entretenue.
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Intervalles de musique, fractions rationnelles.

3.1 Expériences

3.2 Dans la culture musicale


 
 
 
 
 

3.3 “Théorie” musicale sur les intervalles

 
 
 
 

Plusieurs notes: accords et enchaînements harmoniques.

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et si on oublie l'axe du 2 qui est l'octave, cela permet de représenter l'exposant du 7 :
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4.1 Enchaînement d'accords

 
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4.2 Les tempéraments

(ref: Benson chap. 5).

4.3 La gamme pentatonique

Résumé:

Et le rythme?

Il y a aussi incontestablement le rôle de l'arithmétique dans le rythme.
 

Annexe

6.1 Le verger d'Euclide

Il est naturel de représenter un nombre rationnel positif a/b par un point ( a,b ) sur le réseau N × N . La valeur numérique a/b R correspond à la pente de la droite passant par ( a,b ) . Partant de l'origine, le premier couple
1
( a,b ) que cette droite correspond à une fraction irréductible. Voir figure 6.1.
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Figure 6.1: (a) Le verger d'Euclide. En termes imagés, considérons un verger où tous les arbres sont plantés alignés sur un réseau infini. On repère chaque arbre par ses coordonnées ( a,b ) par rapport à un arbre (arbitraire) d'origine ( 0,0 ) . Supposons que l'on se place en ( 0,0 ) à la place de l'origine et que l'on observe les autres arbres autour de nous. On en voit une infinité, mais certains arbres (les gros points) en cachent d'autres (les petits points). Les gros points correspondent aux “fractions irréductibles” a/b et cachent les petits points qui correspondent aux “fractions réductibles”. Par exemple ( 1,1 ) cache ( 2,2 ) et ( 3,3 ) etc. De même ( 2,1 ) cache ( 4,2 ) et ( 3,2 ) cache ( 6,4 ) . Dans la littérature, cette forêt s'appelle le verger d'Euclide.
(b): même image à plus grande échelle.
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Figure 6.2: Les points noirs aux coordonnées ( a,b ) entières correspondent aux fractions a/b irréductibles. Les traits rouges sont les droites de pente 2 k avec k Z . Cela correspond aux intervalles d'octave. Les traits bleus sont les droites de pente 2 k/12 , correspondant au intervalles de 1/2 ton. On a associé un nom aux fractions les plus simples et situées dans la première octave: 1/1 (unisson) 2/1 octave, 3/2 quinte, 4/3 quarte, 5/3 sixte, 5/4 tierce majeure, etc

Références

1Benson, DJ, "Music: a mathematical offering", Free pdf version on http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/maths-music.html ().
2Schnupp, Jan and Nelken, Israel and King, Andrew, Auditory neuroscience: Making sense of sound (MIT Press, 2011).