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\newtheorem{lemme}{Lemme}

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\begin{document}


\centerline{\Large \bf Fonction exponentielle et \'equations diff\'erentielles}

\bigskip 

En Terminale, la fonction exponentielle est d\'efinie comme l'unique fonction 
d\'erivable $f$, de $\R$ dans $\R$, valant 1 en 0 et telle que pour tout nombre r\'eel $x$, 
on ait $f'(x)=f(x)$\footnote{L'unicit\'e de cette fonction fait partie du programme. 
On la d\'emontre donc en cours.}. 

Le but de ce probl\`eme est de justifier qu'il existe effectivement une telle 
fonction. 
Pour cela, nous utiliserons la \guillemotleft m\'ethode d'Euler\footnote{On pourra consulter 
https\negthinspace:$/\!/$fr.wikipedia.org/wiki/M\'ethode$_{-}$d'Euler.}\guillemotright, 
ou \guillemotleft m\'ethode de la tangente\guillemotright, 
qui consiste \`a faire l'approximation, pour tout nombre r\'eel $x$, et tout nombre 
r\'eel $h$ dont la valeur absolue est \guillemotleft petite\guillemotright: 
$$f(x+h) \simeq f(x) + h f'(x).$$

{\bf Illustration.} Soit $g : \R \rightarrow \R$ telle que 
$g(x) = x^2$ pour tout $x\in\R$, tracer le graphe de $g$ sur $[0;3]$. 
Donner une \'equation cart\'esienne de la tangente au graphe de $g$ au point 
$(2;4)$, et tracer cette tangente sur la m\^eme figure que le graphe de $g$. 
Que vaut $g(2,1)$ ? Que vaut $g(2) + 0,1 \times g'(2)$ ? Comment trouve-t-on cette 
valeur sur le graphique pr\'ec\'edent ? 

\subsection*{Partie A. La m\'ethode de la tangente}

%{\bf \large Partie A. La m\'ethode de la tangente}

On suppose qu'il existe une fonction $f$ solution du probl\`eme. 
\'Etant donn\'e $x>0$, on va construire une suite donnant une valeur approch\'ee de $f(x)$. Soit $n\in\N^*$. On \guillemotleft d\'ecoupe\guillemotright\ l'intervalle $[0,x]$ 
en $n$ sous-intervalles $[x_k,x_{k+1}]$ de longueur $\frac{x}{n}$, 
en posant $x_k = \frac{kx}{n}$, pour $k$ entre $0$ et $n$.

\begin{center}	\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture}(-0.5,-1)(8.5,1)
		\psaxes[yAxis=false,labels=none]{->}(0,0)(-0.5,-1)(8.5,1)
		\rput(0,-0.5){$0$}\rput(1,-0.5){$\dfrac{x}{n}$}\rput(2,-0.5){$\dfrac{2x}{n}$}\rput(3,-0.5){...}\rput(4,-0.5){$\dfrac{kx}{n}$}\rput(5,-0.5){...}\rput(6,-0.5){$\dfrac{(n-1)x}{n}$}\rput(7,-0.5){$x$}
		\rput(0,0.5){$x_0$}\rput(1,0.5){$x_1$}\rput(2,0.5){$x_2$}\rput(3,0.5){...}\rput(4,0.5){$x_k$}\rput(5,0.5){...}\rput(6,0.5){$x_{n-1}$}\rput(7,0.5){$x_n$}
		
		
	\end{pspicture}
\end{center}
	
\begin{enumerate}
	\item Que vaut $f(x_0)$ ? 
\item En utilisant l'approximation de la tangente, donner une valeur approch\'ee de $f(x_1)$ en fonction de $n$.
	\item En d\'eduire une valeur approch\'ee de $f(x_2)$ en fonction de $n$.
	\item Montrer en raisonnant par r\'ecurrence que pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, $f(x_k)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^k$.
	\item En d\'eduire une valeur approch\'ee de $f(x)$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\textbf{Conclusion :} s'il existe une fonction dérivable $f$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telle que 
$\left\lbrace
	\begin{array}{l}
		f'=f\\
		f(0)=1\\
	\end{array}
	\right.$ alors, d'après l'approximation de la tangente, $f(x)\simeq \left( 1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
	 Ceci nous incite à étudier, pour $x$ réel fixé, la suite $\left( (1+\dfrac{x}{n} )^n\right)_{n\in \mathbb{N}^*}$.


\subsection*{Partie B. D\'efinition de $f$}

%Dans cette partie, on étudie la suite $\left( (1+\dfrac{x}{n} )\right)_{n\in \mathbb{N}}$ qui est censée approchée $f(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
 On pose : 
$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \ \forall x \in \mathbb{R}, \ \ f_n(x)=\left( 1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$

\begin{enumerate}
\item Quelles valeurs prend la suite $(f_n(0))_{n\in\mathbb{N}^*}$ ? 
%\item Ici, l'enseignant(e) donne une id\'ee (num\'erique, ou graphique) 
%du comportement de la suite $(f_n(x))_{n\in\N^*}$, et ce quelle que soit 
%la valeur de $x$ : avec GeoGebra (ou un autre logiciel), on trace les graphes 
%des fonctions $f_n$ restreintes \`a $[-4;4]$, pour $n$ allant de $1$ \`a $10$. 
%Quelles conjectures peut-on formuler ?  
\item \`A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer les variations et le comportement asymptotique des suites $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}^*}$ pour $x$ entre $-4$ et $4$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tous $a,b\in\C$ et $n\in\N^*$, on a 
$$
a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k \quad 
= (a-b) (a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}). 
$$
\item En d\'eduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x\in\R$, 
$$
1-f_n(x) f_n(-x) = \frac{x^2}{n^2} 
\left(1 + \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right) + \dots + \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^{n-1}\right). 
$$
\item Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ et $n>|x|$,
	$|1-f_n(x) f_n(-x)|\leqslant \dfrac{x^2}{n}$.
\item \label{limprod} 
En d\'eduire que pour tout $x\in\R$, le produit $f_n(x) f_n(-x)$ tend vers 1 
lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$. On note $g_n$ la fonction de $]-n;+\infty[$ dans $\R$ d\'efinie par 
$$
\forall x\in]-n;+\infty[, \quad g_n(x) = \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}.
$$
Montrer que $g_n$ est strictement d\'ecroissante sur $]-n;0]$, et 
strictement croissante sur $[0;+\infty[$. En d\'eduire que pour tout $x\in]-n;+\infty[$, on a $g_n(x)\geq1$. 
\item \label{monoton} En d\'eduire que pour tout $n_0\in\N$ et tout r\'eel 
$x>-n_0$, la suite $(f_n(x))_{n\geq n_0}$ est croissante. 
\item Soit $x>0$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $n_0$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a $x+1$ (on notera que $-x$ 
appartient \`a $]-n_0;0]$). 
Montrer que la suite $(f_n(-x))_{n\geq n_0}$ admet une limite strictement positive. 
On notera cette limite $f(-x)$. 
\item En utilisant la question \ref{limprod}, montrer que la suite $(f_n(x))_{n\in\N^*}$ 
admet une limite strictement positive. On notera cette limite $f(x)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Conclusion :} on a ainsi construit une fonction $f$, d\'efinie sur $\R$, \`a valeurs strictement positives. 
\`A pr\'esent, nous allons l'\'etudier. 


\subsection*{Partie C. R\'egularit\'e de $f$}

\begin{enumerate}
\item \label{invers} Montrer que pour tout $x\in\R$, $f(x) f(-x) = 1$. 
\item \label{encadr} On veut montrer que pour tout $x\in]-1;1[$, on a 
$\displaystyle 1+x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1-x}$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer l'in\'egalit\'e de gauche en utilisant le r\'esultat de 
la question B-\ref{monoton}. 
\item En appliquant (a) à $-x$, déduire l'inégalité de droite. 
\end{enumerate}
\item \label{cont0} On rappelle que, $a\in\R$ \'etant donn\'e, une fonction 
$g : \R \rightarrow \R$ est \emph{continue en $a$} 
si la limite de $g(a+h)$ existe, lorsque $h\neq0$ tend vers $0$, et si cette limite 
vaut $g(a)$.\\
 D\'eduire de la question pr\'ec\'edente  que la fonction $f$ est continue en $0$. 

\medskip
Dans la suite de cette partie, on admet la \emph{relation fonctionnelle} suivante : 
\begin{equation} \label{relfonct} 
\forall x,y\in\R, \quad f(x+y) =f(x) f(y). 
\end{equation} 
%\item D\'eduire de cette relation fonctionnelle que pour tout $x\in\R$, on a $f(x)\geq0$ 
%(par exemple, en \'ecrivant $x = x/2 + x/2$). Gr\^ace \`a la question \ref{invers}, en 
%d\'eduire que $f$ est \`a valeurs strictement positives. 
\item \'Etant donn\'e $a\in\R$, montrer que $f$ est continue en $a$ 
(on pourra utiliser la relation fonctionnelle \eqref{relfonct} et le r\'esultat 
de la question C-\ref{cont0}). 
\item D\'erivabilit\'e de $f$. 
\begin{enumerate}
\item En formant un taux d'accroissement, montrer que $f$ est d\'erivable en 0 
(on pourra utiliser le r\'esultat de la question C-\ref{encadr}). 
\item \'Etant donn\'e $a\in\R$, d\'eduire de (a) et de la relation 
fonctionnelle \eqref{relfonct}, que $f$ est d\'erivable en $a$. 

\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \noindent \textbf{Conclusion :} on a ainsi montré que la fonction $f$ construite à la partie B est une fonction de $\R$ dans $\R$, d\'erivable, valant 1 en 0, et telle que pour tout nombre r\'eel $x$, on a $f'(x)=f(x)$.
 On notera qu'on a aussi montr\'e que $f$ est \`a valeurs strictement positives, 
et on va montrer \`a pr\'esent qu'elle v\'erifie effectivement la relation fonctionnelle \eqref{relfonct}.


\subsection*{Partie D. Preuve de la relation fonctionnelle}

\begin{enumerate}
\item On montre ici le r\'esultat suivant : 
\begin{lemme*}
Pour tout r\'eel $a$ et toute suite de r\'eels $(a_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $a$, 
$f_n(a_n)$ tend vers $f(a)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{lemme*}  
On fixe donc un r\'eel $a$ et une suite de r\'eels $(a_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $a$. 
On remarque qu'on peut \'ecrire 
\begin{equation} \label{rapport}
f_n(a_n) = \frac{f_n(a_n)f_n(-a)}{f_n(-a)} \mbox{ pour tout } n\in\N^*, \mbox{ lorsque } 
n > -a.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$. Montrer que 
$\displaystyle f_n(a_n)f_n(-a) = f_n(b_n)$, 
en exprimant $b_n$ en fonction de $a$, $a_n$ et $n$. 
\item Montrer que $b_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 
\item En d\'eduire qu'il existe $n_0\in\N$ tel que pour tout $n \geq n_0$, 
on ait $b_n > -1$. 
\item On fixe $n \geq n_0$ comme ci-dessus. D\'eduire de la question B-\ref{monoton} 
que la suite $(f_k(b_n))_{k\in\N^*}$ est croissante, puis que pour tout $k\in\N^*$, on a :  
$f_1(b_n) \leqslant f_k(b_n) \leqslant f(b_n)$. 
\item En d\'eduire que pour tout $n \geq n_0$, on a : 
$1+b_n \leqslant f_n(b_n) \leqslant f(b_n)$. 
\item En d\'eduire que $f_n(b_n)$ tend vers $1$ lorsque $n$ tend vers l'infini. 
\item En utilisant \eqref{rapport}, montrer que $f_n(a_n)$ tend vers $1/f(-a)$. 
\item Conclure la preuve du lemme.  
\end{enumerate}
\item On se donne $x,y\in\R$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$. Montrer que 
$\displaystyle f_n(x)f_n(y) = f_n(a_n)$, 
en exprimant $a_n$ en fonction de $x$, $y$ et $n$. 
\item Conclure : montrer que $f(x)f(y) = f(x+y)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}



\section{La m\'{e}thode d'Euler pour l'\'{e}quation $y^{\prime}=y$}

La m\'{e}thode d'Euler est bas\'{e}e sur le th\'{e}or\`{e}me des
accroissements finis qui permet d'\'{e}crire, pour une fonction $f$ de classe
$\mathcal{C}^{1}$ dans un voisinage du point $x$ :%
\[
f\left(  x+h\right)  =f\left(  x\right)  +hf^{\prime}\left(  x+\theta
h\right)  \backsimeq f\left(  x\right)  +hf^{\prime}\left(  x\right)
\]
o\`{u} $h$ est r\'{e}el non nul destin\'{e} \`{a} tendre vers $0$ et $\theta$
(qui d\'{e}pend de $x$ et $h$) est dans $\left]  0,1\right[  .$

D'un point de vue g\'{e}om\'{e}trique, on remplace au voisinage de $x$ le
graphe de $f$ par sa tangente en $x.$

On s'int\'{e}resse ici au probl\`{e}me de Cauchy qui consiste \`{a}
d\'{e}terminer une fonction $y$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ de $\mathbb{R}$
dans $\mathbb{R}$ et telle que :%
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
y\left(  0\right)  =1\\
\forall x\in\mathbb{R},\;y^{\prime}\left(  x\right)  =y\left(  x\right)
\end{array}
\right.  \label{Label3}%
\end{equation}


En supposant que ce probl\`{e}me admet une solution (ce que nous dit le
th\'{e}or\`{e}me de Cauchy-Lipschitz) on se fixe un r\'{e}el $x>0$ et on va
utiliser la m\'{e}thode d'Euler pour obtenir une valeur approch\'{e}e de
$y\left(  x\right)  .$ Pour ce faire on se donne un entier $n\geq1$ auquel on
associe la subdivision de $\left[  0,x\right]  $ d\'{e}finie par les points
$x_{k}=k\dfrac{x}{n}\;\left(  0\leq k\leq n\right)  $ et on va d\'{e}finir une
suite $\left(  y_{k}\right)  _{0\leq k\leq n}$ d'approximations des
\'{e}l\'{e}ments de la suite $\left(  y\left(  x_{k}\right)  \right)  _{0\leq
k\leq n}.$

Pour $k=0,$ on pose $y_{0}=y\left(  x_{0}\right)  =1.$

En supposant construits $y_{0},\ldots,y_{k-1}$ pour $1\leq k\leq n,$ on
\'{e}crit que :%
\[
y\left(  x_{k}\right)  =y\left(  x_{k-1}+\dfrac{x}{n}\right)  \backsimeq
y\left(  x_{k-1}\right)  +\dfrac{x}{n}y^{\prime}\left(  x_{k-1}\right)
=y\left(  x_{k-1}\right)  \left(  1+\dfrac{x}{n}\right)
\]
et avec $y\left(  x_{k-1}\right)  \backsimeq y_{k-1},$ on obtient
l'approximation :%
\[
y\left(  x_{k}\right)  \backsimeq y_{k}=y_{k-1}\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)
\]


La suite $\left(  y_{k}\right)  _{0\leq k\leq n}$ est donc d\'{e}finie par la
relation de r\'{e}currence :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
y_{0}=1\\
y_{k}=y_{k-1}\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  \;\left(  1\leq k\leq n\right)
\end{array}
\right.
\]
ce qui donne $y_{k}=\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{k}$ et en particulier on
a l'approximation :%
\[
y\left(  x\right)  =y\left(  x_{n}\right)  \backsimeq y_{n}=\left(
1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n}%
\]


\section{La suite de fonctions $\left(  \left(  1+\dfrac{x}{n}\right)
^{n}\right)  _{n\geq1}$}

Nous sommes donc amen\'{e} \`{a} \'{e}tudier la suite de fonctions $\left(
u_{n}\right)  _{n\geq1}$ d\'{e}finie par :
\[
\forall n\geq1,\;\forall x\in\mathbb{R},\;u_{n}\left(  x\right)  =\left(
1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n}%
\]
et nous allons montrer dans ce paragraphe que cette suite converge vers une
fonction $f$ qui est l'unique solution du probl\`{e}me $\left(  \ref{Label3}%
\right)  .$

Pour $x=0,$ cette suite est stationnaire sur $1.$

Le lemme suivant nous sera utile.

\begin{lemma}
\label{Label1}Pour tout r\'{e}el $x,$ on a $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty
}u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  -x\right)  =1.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Pour tout $n\geq1,$ on a :%
\[
1-u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  -x\right)  =1-\left(  1-\dfrac{x^{2}%
}{n^{2}}\right)  ^{n}=\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(
1-\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\right)  ^{k}%
\]
Pour tout $n>\left\vert x\right\vert ,$ on a $0<1-\dfrac{x^{2}}{n^{2}}\leq1$
et :%
\[
\left\vert 1-u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  -x\right)  \right\vert
\leq\dfrac{x^{2}}{n^{2}}n=\dfrac{x^{2}}{n}\underset{n\rightarrow+\infty
}{\rightarrow}0
\]

\end{proof}

En notant $E$ la fonction partie enti\`{e}re, on associe \`{a} tout r\'{e}el
$x$ l'entier $n_{x}$ d\'{e}fini par :%
\[
n_{x}=\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
1\text{ pour }x\geq0\\
E\left(  \left\vert x\right\vert \right)  +1\text{ pour }x<0
\end{array}
\right.
\]


et on a $u_{n}\left(  x\right)  >0$ pour tout $n\geq n_{x}.$

Nous allons montrer dans ce qui suit que pour tout r\'{e}el $x,$ la suite
$\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq1}$ converge vers un r\'{e}el
$f\left(  x\right)  >0.$ En utilisant le lemme pr\'{e}c\'{e}dent on voit qu'il
suffit de montrer ce r\'{e}sultat pour $x>0$ ou pour $x<0.$

\begin{lemma}
Pour tout entier $n_{0}\geq1$ et tout entier $n\geq n_{0},$ la fonction
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+}$ et
strictement d\'{e}croissante sur $\left]  -n_{0},0\right]  .$
\end{lemma}

\begin{proof}
On se fixe un entier $n_{0}\geq1.$

Pour tout $n\geq n_{0}$ et tout $x\in\left]  -n_{0},0\right]  ,$ on a $n\geq
n_{0}>-x$ et $u_{n}\left(  x\right)  >0,$ cette in\'{e}galit\'{e} \'{e}tant
\'{e}galement v\'{e}rifi\'{e}e pour $x>0$ et $n\geq1.$

Pour $n\geq n_{0}$ la restriction de la fonction $u_{n}$ \`{a} $\left]
-n_{0},+\infty\right[  $ est d\'{e}rivable \`{a} valeurs strictement positives
avec $\dfrac{u_{n}^{\prime}\left(  x\right)  }{u_{n}\left(  x\right)  }%
=\dfrac{n}{n+x}$ et :%
\[
\forall x\in\left]  -n_{0},+\infty\right[  ,\;\dfrac{u_{n+1}^{\prime}\left(
x\right)  }{u_{n+1}\left(  x\right)  }-\dfrac{u_{n}^{\prime}\left(  x\right)
}{u_{n}\left(  x\right)  }=\dfrac{x}{\left(  n+x\right)  \left(  n+1+x\right)
}%
\]
En utilisant $\left(  \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)  ^{\prime}=\dfrac
{u_{n+1}^{\prime}u_{n}-u_{n+1}u_{n}^{\prime}}{u_{n}^{2}},$ on en d\'{e}duit
que :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\forall x>0,\;\left(  \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)  ^{\prime}\left(
x\right)  >0\\
\forall x\in\left]  -n_{0},0\right[  ,\;\left(  \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)
^{\prime}\left(  x\right)  <0
\end{array}
\right.
\]
c'est-\`{a}-dire que pour $n\geq n_{0},$ la fonction $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$
est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+}$ et strictement
d\'{e}croissante sur $\left]  -n_{0},0\right]  .$
\end{proof}

\begin{lemma}
Pour tout r\'{e}el $x$ la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)
_{n\geq n_{x}}$ est \`{a} valeurs strictement positives et pour tout entier
$n_{0}\geq1,$ tout r\'{e}el non nul $x$ dans $\left]  -n_{0},+\infty\right[
,$ la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq n_{0}}$ est
strictement croissante.
\end{lemma}

\begin{proof}
Par d\'{e}finition de $n_{x},$ on a $u_{n}\left(  x\right)  >0$ pour tout
r\'{e}el $x$ et tout entier $n\geq n_{x}.$

Pour $x$ non nul dans $\left]  -n_{0},+\infty\right[  $ le lemme
pr\'{e}c\'{e}dent nous dit que :%
\[
\forall n\geq n_{0},\;\dfrac{u_{n+1}\left(  x\right)  }{u_{n}\left(  x\right)
}>\dfrac{u_{n+1}\left(  0\right)  }{u_{n}\left(  0\right)  }=1
\]
c'est-\`{a}-dire que la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq
n_{0}}$ est strictement croissante.
\end{proof}

La croissance de la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq
n_{x}}$ peut aussi se montrer directement en utilisant l'in\'{e}galit\'{e} de
Bernoulli \`{a} savoir : $\left(  1-a\right)  ^{n}>1-na$ pour $a<1$ non nul.
Pour $n\geq n_{x}$ on a :%
\begin{align*}
u_{n+1}\left(  x\right)   &  =\left(  1+\dfrac{x}{n+1}\right)  ^{n+1}=\left(
1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n+1}\left(  \dfrac{1+\dfrac{x}{n+1}}{1+\dfrac{x}{n}%
}\right)  ^{n+1}\\
&  =\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n+1}\left(  \dfrac{1+x+n}{1+x+n+\dfrac
{x}{n}}\right)  ^{n+1}=\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n+1}\left(
1-\dfrac{x}{n^{2}+\left(  1+x\right)  n+x}\right)  ^{n+1}\\
&  =\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  ^{n+1}\left(  1-\dfrac{x}{\left(
n+1\right)  \left(  n+x\right)  }\right)  ^{n+1}%
\end{align*}
Pour $x<0,$ on a $\dfrac{x}{\left(  n+1\right)  \left(  n+x\right)  }<0$ et
pour $x>0,$ $\dfrac{x}{\left(  n+1\right)  \left(  n+x\right)  }<1$ (c'est
\'{e}quivalent \`{a} $n^{2}+\left(  1+x\right)  n>0$), on peut donc utiliser
l'in\'{e}galit\'{e} de Bernoulli pour \'{e}crire que :%
\[
\left(  1-\dfrac{x}{\left(  n+1\right)  \left(  n+x\right)  }\right)
^{n+1}>1-\dfrac{x}{n+x}=\dfrac{n}{n+x}%
\]
et donc :%
\[
\dfrac{u_{n+1}\left(  x\right)  }{u_{n}\left(  x\right)  }=\left(  1+\dfrac
{x}{n}\right)  \left(  1-\dfrac{x}{\left(  n+1\right)  \left(  n+x\right)
}\right)  ^{n+1}>\left(  1+\dfrac{x}{n}\right)  \dfrac{n}{n+x}=1
\]


\begin{theorem}
Pour tout r\'{e}el $x,$ la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)
_{n\geq1}$ converge vers un r\'{e}el $f\left(  x\right)  .$ De plus on a
$f\left(  0\right)  =1,$ $f\left(  x\right)  >0$ et $f\left(  -x\right)
=\dfrac{1}{f\left(  x\right)  }$ pour tout r\'{e}el $x.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Pour $x=0$ on a $u_{n}\left(  0\right)  =1$ pour tout $n\geq1$ et
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_{n}\left(  0\right)  =1=f\left(  0\right)
.$

Pour $x<0,$ on a $0<1+\dfrac{x}{n}<1$ et $0<u_{n}\left(  x\right)  <1$ pour
tout $n\geq n_{x},$ c'est-\`{a}-dire que la suite $\left(  u_{n}\left(
x\right)  \right)  _{n\geq n_{x}}$ est born\'{e}e et comme par ailleurs elle
est croissante \`{a} partir d'un certain rang $n_{0},$ on en d\'{e}duit
qu'elle est convergente. On note $f\left(  x\right)  =\lim
\limits_{n\rightarrow+\infty}u_{n}\left(  x\right)  .$ De la stricte
croissance de $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq n_{0}},$ on
d\'{e}duit que $f\left(  x\right)  >u_{n_{0}}\left(  x\right)  >0.$

Enfin pour $x>0,$ on a :%
\[
u_{n}\left(  x\right)  =\dfrac{u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  -x\right)
}{u_{n}\left(  -x\right)  }\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}%
\dfrac{1}{f\left(  -x\right)  }%
\]
(lemme \ref{Label1}), soit $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_{n}\left(
x\right)  =\dfrac{1}{f\left(  -x\right)  }=f\left(  x\right)  .$
\end{proof}

De $f\left(  x\right)  f\left(  -x\right)  =1$ pour tout r\'{e}el $x,$ on
d\'{e}duit que $f$ n'est pas une fonction polynomiale. En effet si $f$ est
polynomiale de degr\'{e} $n\geq0$ ($f$ n'est pas nulle), alors $f\left(
x\right)  f\left(  -x\right)  $ est polynomiale de degr\'{e} $2n$ et
constante, on a donc $n=0$ et $f$ est constante, ce qui est incompatible avec
$f\left(  x\right)  >u_{1}\left(  x\right)  =1+x$ pour $x>0.$

Avec $f\left(  x\right)  =\dfrac{1}{f\left(  -x\right)  }=\lim
\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{u_{n}\left(  -x\right)  },$ on
d\'{e}duit que $f\left(  x\right)  $ est aussi limite de la suite $\left(
v_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq n_{-x}}$ d\'{e}finie par :%
\[
\forall n\geq n_{-x},\;v_{n}\left(  x\right)  =\dfrac{1}{u_{n}\left(
-x\right)  }=\left(  1-\dfrac{x}{n}\right)  ^{-n}%
\]


Pour $x$ non nul, il existe un entier $n_{0}$ tel que $\left(  u_{n}\left(
x\right)  \right)  _{n\geq n_{0}}$ est strictement croissante, $\left(
v_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq n_{0}}$ est strictement
d\'{e}croissante et en cons\'{e}quence :%
\[
\forall n\geq n_{0},\;u_{n}\left(  x\right)  <f\left(  x\right)  <v_{n}\left(
x\right)
\]


\begin{lemma}
\label{Label2}Pour tout $x\in\left]  -1,1\right[  ,$ on a $1+x\leq f\left(
x\right)  \leq\dfrac{1}{1-x}.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Pour $n_{0}=1$ et $x\in\left]  -1,+\infty\right[  $ on a vu
pr\'{e}c\'{e}demment que la suite $\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)
_{n\geq1}$ est strictement croissante et donc $u_{1}\left(  x\right)  =1+x\leq
f\left(  x\right)  .$

Pour $x\in\left]  -1,1\right[  ,$ $-x$ est aussi dans $\left]  -1,1\right[  $
et on a $u_{1}\left(  -x\right)  =1-x\leq f\left(  -x\right)  ,$ ce qui donne
$f\left(  x\right)  =\dfrac{1}{f\left(  -x\right)  }\leq\dfrac{1}{1-x}.$
\end{proof}

\begin{lemma}
La fonction $f$ est continue en $0.$
\end{lemma}

\begin{proof}
Du lemme pr\'{e}c\'{e}dent on d\'{e}duit imm\'{e}diatement que $\lim
\limits_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =1=e\left(  0\right)  ,$ ce qui
signifie que $f$ est continue en $0.$
\end{proof}

\begin{lemma}
Pour tout suite r\'{e}elle $\left(  x_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$
convergente vers un r\'{e}el $x,$ on a $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}%
u_{n}\left(  x_{n}\right)  =f\left(  x\right)  .$
\end{lemma}

\begin{proof}
On a, pour tout $n\in\mathbb{N},$ $u_{n}\left(  x_{n}\right)  =\dfrac
{u_{n}\left(  x_{n}\right)  u_{n}\left(  -x\right)  }{u_{n}\left(  -x\right)
}$ avec :%
\[
u_{n}\left(  x_{n}\right)  u_{n}\left(  -x\right)  =\left(  \left(
1+\dfrac{x_{n}}{n}\right)  \left(  1-\dfrac{x}{n}\right)  \right)
^{n}=\left(  1+\dfrac{\varepsilon_{n}}{n}\right)  ^{n}=u_{n}\left(
\varepsilon_{n}\right)
\]
o\`{u} :%
\[
\varepsilon_{n}=x_{n}-x-\dfrac{xx_{n}}{n}\underset{n\rightarrow+\infty
}{\rightarrow}0
\]
Pour $n$ assez grand, on a $\varepsilon_{n}\in\left]  -1,+\infty\right[  $ de
sorte que la suite $\left(  u_{m}\left(  \varepsilon_{n}\right)  \right)
_{m\geq1}$ est croissante et donc :%
\[
u_{1}\left(  \varepsilon_{n}\right)  =1+\varepsilon_{n}\leq u_{n}\left(
\varepsilon_{n}\right)  \leq f\left(  \varepsilon_{n}\right)
\]
avec $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_{1}\left(  \varepsilon_{n}\right)
=1$ et $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f\left(  \varepsilon_{n}\right)  =1$
(continuit\'{e} de $f$ en $0$), ce qui implique $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty}u_{n}\left(  x_{n}\right)  =1.$

On a donc en d\'{e}finitive $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_{n}\left(
x_{n}\right)  u_{n}\left(  -x\right)  =1$ et $\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty}u_{n}\left(  x_{n}\right)  =\dfrac{1}{f\left(  -x\right)  }=f\left(
x\right)  .$
\end{proof}

\begin{theorem}
Pour tous $x,y$ dans $\mathbb{R}$ on a $f\left(  x+y\right)  =f\left(
x\right)  f\left(  y\right)  .$
\end{theorem}

\begin{proof}
Pour $x,y$ dans $\mathbb{R}$ et $n\geq1,$ on a :%
\[
u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  y\right)  =\left(  \left(  1+\dfrac{x}%
{n}\right)  \left(  1+\dfrac{y}{n}\right)  \right)  ^{n}=\left(
1+\dfrac{z_{n}}{n}\right)  ^{n}=u_{n}\left(  z_{n}\right)
\]
avec $z_{n}=x+y+\dfrac{xy}{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}x+y.$
On d\'{e}duit alors du lemme pr\'{e}c\'{e}dent que :%
\[
f\left(  x\right)  f\left(  y\right)  =\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}%
u_{n}\left(  x\right)  u_{n}\left(  y\right)  =\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty}u_{n}\left(  z_{n}\right)  =f\left(  x+y\right)
\]

\end{proof}

\begin{corollary}
La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$
\end{corollary}

\begin{proof}
Pour $x,y$ dans $\mathbb{R}$ on a :%
\[
f\left(  y\right)  -f\left(  x\right)  =f\left(  x+y-x\right)  -f\left(
x\right)  =f\left(  x\right)  \left(  f\left(  y-x\right)  -1\right)
\underset{y\rightarrow x}{\rightarrow}0
\]
en utilisant la continuit\'{e} en $0$ de $f.$
\end{proof}

La continuit\'{e} de $f$ peut aussi se montrer en utilisant le fait que $f$
est convexe. En effet pour tout $n_{0}\geq1$ et tout $n\geq n_{0}$ la fonction
$u_{n}$ est convexe sur $\left]  -n_{0},+\infty\right[  $ (sa d\'{e}riv\'{e}e
seconde est positive sur cet intervalle), donc $f=\lim\limits_{n\rightarrow
+\infty}u_{n}$ est aussi convexe sur cet intervalle. Comme $n_{0}$ est
quelconque, la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}.$ Sachant qu'une
fonction convexe sur un intervalle est continue sur l'int\'{e}rieur, on
d\'{e}duit que $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$

En utilisant le lemme de Dini, on peut montrer que la suite $\left(
u_{n}\right)  _{n\geq1}$ converge uniform\'{e}ment vers $f$ sur tout
intervalle compact $\left[  a,b\right]  .$

\begin{theorem}
Si $I=\left[  a,b\right]  $ est un intervalle r\'{e}el compact, alors la suite
$\left(  u_{n}\right)  _{n\geq1}$ converge uniform\'{e}ment vers $f$ sur $I.$
\end{theorem}

\begin{proof}
On peut trouver un entier $n_{0}$ tel que $I=\left[  a,b\right]
\subset\left]  -n_{0},+\infty\right[  $ et pour tout $x$ dans $I$ la suite
$\left(  u_{n}\left(  x\right)  \right)  _{n\geq n_{0}}$ est croissante. En se
restreignant \`{a} $I,$ on a donc une suite croissante $\left(  u_{n}\right)
_{n\geq n_{0}}$ de fonctions continues sur $I$ qui converge simplement sur $I$
vers une fonction continue $f,$ le th\'{e}or\`{e}me de Dini nous dit alors que
la convergence est uniforme sur $I.$
\end{proof}

Sachant qu'une limite uniforme sur $\mathbb{R}$ d'une suite de fonctions
polynomiales est n\'{e}cessairement polynomiale (exercice classique), on en
d\'{e}duit que la suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\geq1}$ ne peut converger
uniform\'{e}ment sur $\mathbb{R}$ vers $f$ puisque cette derni\`{e}re n'est
pas polynomiale.

\begin{theorem}
La fonction $f$ est l'unique solution sur $\mathbb{R}$ du probl\`{e}me de
Cauchy $y^{\prime}=y$ avec la condition initiale $y\left(  0\right)  =1.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Avec le lemme \ref{Label2} on a pour tout $x\in\left]  -1,1\right[  $ :%
\[
1\leq\dfrac{f\left(  x\right)  -1}{x}\leq\dfrac{1}{1-x}%
\]
et donc $\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(  x\right)  -1}{x}=1,$ ce
qui signifie que $f$ est d\'{e}rivable en $0$ de d\'{e}riv\'{e}e \'{e}gale
\`{a} $1.$ Puis avec :%
\[
\dfrac{f\left(  x+h\right)  -f\left(  x\right)  }{h}=f\left(  x\right)
\dfrac{f\left(  h\right)  -1}{h}%
\]
pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $h\in\mathbb{R}^{\ast},$ on d\'{e}duit que
$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f\left(  x+h\right)  -f\left(  x\right)
}{h}=f\left(  x\right)  ,$ ce qui signifie que $f$ est d\'{e}rivable en $x$
avec $f^{\prime}\left(  x\right)  =f\left(  x\right)  .$ Comme $f\left(
0\right)  =1,$ la fonction $f$ est bien solution du probl\`{e}me de Cauchy.

Si $y$ est une autre solution, la fonction $z$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$
par $z\left(  x\right)  =y\left(  x\right)  f\left(  -x\right)  $ est telle
que $z^{\prime}=0$ avec $z\left(  0\right)  =0,$ c'est donc la fonction nulle
et n\'{e}cessairement $y\left(  x\right)  =\dfrac{1}{f\left(  -x\right)
}=f\left(  x\right)  $ pour tout r\'{e}el $x.$
\end{proof}

De ce r\'{e}sultat on d\'{e}duit que la fonction $f$ est ind\'{e}finiment
d\'{e}rivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\left(  n\right)  }=f$ pour tout
entier naturel $n.$

De l'\'{e}quation fonctionnelle v\'{e}rifi\'{e}e par la fonction $f,$ on
d\'{e}duit facilement par r\'{e}currence que, pour tout r\'{e}el non nul $a,$
on a $f\left(  n\cdot a\right)  =\left(  f\left(  a\right)  \right)  ^{n}$
pour tout entier naturel $n,$ puis avec $f\left(  -x\right)  =\dfrac
{1}{f\left(  x\right)  },$ on d\'{e}duit que cette relation est valable pour
tout entier relatif $n.$ Si $r=\dfrac{p}{q}$ est un entier relatif, on a alors
$f\left(  r\right)  =f\left(  p\dfrac{1}{q}\right)  =\left(  f\left(
\dfrac{1}{q}\right)  \right)  ^{p}$ et avec $f\left(  1\right)  =f\left(
q\dfrac{1}{q}\right)  =\left(  f\left(  \dfrac{1}{q}\right)  \right)  ^{q},$
on d\'{e}duit que $f\left(  \dfrac{1}{q}\right)  =\left(  f\left(  1\right)
\right)  ^{\frac{1}{q}}$ et $f\left(  r\right)  =\left(  f\left(  1\right)
\right)  ^{\frac{p}{q}}=\left(  f\left(  1\right)  \right)  ^{r}.$

En notant $e=f\left(  1\right)  ,$ on a donc $f\left(  r\right)  =e^{r}$ pour
tout rationnel $r,$ ce qui nous conduit \`{a} noter $f\left(  x\right)
=e^{x}$ pour tout r\'{e}el $x$ et la fonction ainsi d\'{e}finie est
appel\'{e}e fonction exponentielle r\'{e}elle. On la note aussi $f\left(
x\right)  =\exp\left(  x\right)  .$
\end{document}