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\newtheorem{theorem}{Th\'{e}or\`{e}me}
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\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Coniques}
\end{center}

Le but de ce probl\`eme est d'\'etudier une famille de courbes : 
les \emph{ellipses}. Elles interviennent dans la description du mouvement 
des plan\`etes par les lois de Kepler. Ce sont, d'une certaine fa\c{c}on, 
des cercles \guillemotleft\'etir\'es dans une direction\guillemotright. 
Nous allons voir plusieurs mani\`eres de les d\'efinir. Elles font partie 
d'une famille de courbe plus vaste, les \emph{coniques}, qui englobent 
aussi les \emph{paraboles} et les \emph{hyperboles} (et aussi quelques droites 
ou paires de droites, comme cas d\'eg\'en\'er\'es), dont les Grecs de 
l'Antiquit\'e avaient remarqu\'e qu'on les obtenait par section d'un c\^one. 

\medskip

Dans tout le probl\`eme, on se donne $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, 
un rep\`ere orthonorm\'e direct du plan. 

\medskip

On rappelle que si $D$ est une droite donn\'ee, et $M$ un point quelconque, 
la distance $d(M,D)$ de $M$ \`a $D$ est \'egale \`a la longueur du segment $[MH]$, 
o\`u $H$ est le projet\'e orthogonal de $M$ sur $D$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x,y$ deux r\'eels tels que $x^2 + y^2 = 1$. Montrer qu'il
existe un unique r\'eel $\theta$ dans $[0,2\pi[$ tel que
$x = \cos(\theta)$ et $y = \sin(\theta)$ (on pourra se souvenir de la d\'efinition 
g\'eom\'etrique de sinus et cosinus).

\item Soit 
$\mathscr{C} = \{ M(x;y) \mid (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \}$. 
Donner une repr\'esentation graphique de l'ensemble $\mathscr{C}$. 
Montrer qu'un point $M(x;y)$ appartient \`a $\mathscr{C}$ si, et seulement si, 
il existe un unique r\'eel $\theta$ dans $[0,2\pi[$ tel que 
$x = 1 + 2 \cos(\theta)$ et $y = 2 + 2 \sin(\theta)$. 

\item Soit 
$\mathscr{E} = \left\{ M(x;y) \mid \dfrac{x^2}{4} + y^2 =1 \right\}$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un point $M(x;y)$ appartient \`a $\mathscr{E}$ si, et seulement si, 
il existe un unique r\'eel $\theta \in [0,2\pi[$ tel que $x = 2 \cos(\theta)$ et
$y = \sin(\theta)$.

\item Montrer que pour tout point $M(x;y)$ dans $\mathscr{E}$, 
on a $-2 \leq x \leq 2$ et $-1 \leq y \leq 1$, et que, de plus, les points de 
coordonn\'ees $(-x,y)$, $(x,-y)$ et $(-x,-y)$ appartiennent \`a $\mathscr{E}$. 
En d\'eduire que $\mathscr{E}$ admet deux axes de sym\'etrie (orthogonale) 
et un centre de sym\'etrie. 

\item Donner une repr\'esentation graphique de l'ensemble $\mathscr{E}$. 

\item On va montrer qu'il existe un point $F$, une droite $\mathscr{D}$ et un 
nombre $e \in ]0,1[$ tels que $\mathscr{E}$ soit l'ensemble des points $M$ 
v\'erifiant l'\'equation (donn\'ee par ``foyer et directrice'') 
$$
\mbox{(F \& D)} \qquad MF = e ~ d(M,\mathscr{D}).
$$ 
Alors, $F$ est appel\'e un \emph{foyer} de $\mathscr{E}$, $\mathscr{D}$ la 
\emph{directrice} associ\'ee, et $e$ est l'\emph{excentricit\'e} de $\mathscr{E}$. 
On cherchera $F$ et $\mathscr{D}$ sous la forme $F(x_F;0)$ et 
$\mathscr{D} = \{ M(x;y)\mid x = \delta \}$, 
pour des valeurs $x_F$, $\delta>0$ \`a d\'eterminer. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [->] (0,0) -- (3,0) node [right] {$x$} ; 
\draw ({4/sqrt(3)},-0.8) node [right] {$\mathscr{D}$} -- ({4/sqrt(3)},1.5) ; 
\draw [densely dashed] plot [domain=20:80] ({2*cos(\x)},{sin(\x)}) node [left] {$\mathscr{E}$} ; 
\draw (0,-0.1) node [below] {$O$} -- (0,0.1) ; 
\draw ({sqrt(3)},-0.1) node [below] {$F$} -- ({sqrt(3)},0.1) ; 
\draw ({sqrt(3)},0) -- ({2*cos(45)},{sin(45)}) node [above] {M} ; 
\draw ({2*cos(45)},{sin(45)}) -- ({4/sqrt(3)},{sin(45)}) ; 
\draw ({4/sqrt(3)-0.1},{sin(45)}) -- ({4/sqrt(3)-0.1},{sin(45)+0.1}) ; 
\draw ({4/sqrt(3)-0.1},{sin(45)+0.1}) -- ({4/sqrt(3)},{sin(45)+0.1}) ; 
\draw (5,0) node [right] {\blue{Anim. GeoGebra possible\dots}} ; 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On rappelle que, pour $M(x;y)$, on a $d(M,\mathscr{D}) = |x-\delta|$. 
Montrer qu'un point $M(x;y)$ v\'erifie (F \& D) si et seulement si il v\'erifie 
l'\'equation polynomiale 
$$
\mbox{(P)} \qquad (1-e^2) x^2 + 2(\delta e^2-x_F) x + y^2 = e^2 \delta^2 - x_F^2. 
$$

\item D\'eterminer des valeurs $e$, $x_F$ et $\delta$ telles que $\mathscr{E}$ soit 
l'ensemble des points $M$ v\'erifiant (F \& D). 

\end{enumerate}

Remarque : on constate que $\mathscr{E}$ est aussi repr\'esent\'ee par l'\'equation 
$$
\mbox{(F' \& D')} \qquad MF' = e ~ d(M,\mathscr{D}'),
$$  
pour $F'(-x_F;0)$ et 
$\mathscr{D}' = \{ M(x;y) \mid x = -\delta \}$. 

\item On va montrer ici que $\mathscr{E}$ est aussi la solution du ``probl\`eme 
du jardinier'', c'est-\`a-dire que 
$$
\mathscr{E} = \{ M \mid MF + MF' = 4 \},
$$
avec $F$ et $F'$ les foyers d\'etermin\'es ci-dessus. La longueur de la ``corde 
du jardinier'' est ici 4. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-3,0) -- (3,0) ; 
\draw [densely dashed] plot [domain=20:80] ({2*cos(\x)},{sin(\x)}) node [left] {$\mathscr{E}$} ; 
\draw (0,-0.1) node [below] {$O$} -- (0,0.1) ; 
\draw ({sqrt(3)},-0.1) node [below] {$F$} -- ({sqrt(3)},0.1) ; 
\draw ({-sqrt(3)},-0.1) node [below] {$F'$} -- ({-sqrt(3)},0.1) ; 
\draw ({sqrt(3)},0) -- ({2*cos(45)},{sin(45)}) node [above] {M} ; 
\draw ({-sqrt(3)},0) -- ({2*cos(45)},{sin(45)}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En remarquant l'in\'egalit\'e $\delta>2$, montrer que, si $M$ v\'erifie (F \& D) 
et (F' \& D'), alors $MF + MF' = 2 e \delta$. Noter que $2 e \delta = 4$.
\item Pour tout $M(x;y)$, calculer $MF^2-MF'^2$ (en fonction de $x$ seul, 
la valeur de $x_F$ \'etant connue). Lorsque $M$ v\'erifie $MF + MF' = 4$, en d\'eduire 
une expression de $MF - MF'$, puis de $MF$, et en conclure que $M$ v\'erifie (F \& D). 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\item Interm\`ede : changement de rep\`ere. On consid\`ere deux vecteurs unitaires 
$\vec{I}$ et $\vec{J}$ faisant avec $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ 
un angle donn\'e $(\vec{\imath},\vec{I}) = (\vec{\jmath},\vec{J})=\theta$, o\`u $\theta$
est un r\'eel donn\'e. 

\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que $(O,\vec{I},\vec{J})$ est un rep\`ere orthonorm\'e. 
Une figure sera utile.

\item Exprimer les vecteurs $\vec{I},\vec{J}$ en fonction des vecteurs 
$\vec{\imath},\vec{\jmath}$ et du r\'eel $\theta$. 

\item Soit $M$ un point du plan. En d\'esignant par $(x,y)$ les coordonn\'ees de ce point 
dans le rep\`ere $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ et par $(X,Y)$ celles dans le rep\`{e}re 
$(O,\vec{I},\vec{J})$, montrer que l'on a $x = X \cos(\theta) - Y \sin(\theta)$ 
et $y = X \sin(\theta) + Y \cos(\theta)$. 
\end{enumerate}

\item Soit 
$\mathscr{F} = \{ M(x;y) \mid 3 x^2 - 4 xy + 3 y^2 + 6 x - 4 y - 2 = 0 \}$. 

\begin{enumerate}
\item Si un point un point $M$ a pour coordonn\'ees $(x,y)$ dans le rep\`ere 
$(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, et $(X,Y)$ dans le rep\`ere 
$(O,\vec{I},\vec{J})$ de la question pr\'ec\'edente, calculer $x^2+y^2$ et $xy$ 
en fonction de $X$, $Y$ et $\theta$. 
En d\'eduire une \'equation satisfaite par les coordonn\'ees $(X,Y)$ d'un point $M$ 
de $\mathscr{F}$ dans le rep\`ere $(O,\vec{I},\vec{J})$. 

\item Montrer qu'il est possible de trouver un r\'eel $\theta$ de sorte que $\mathscr{F}$ 
admette dans le rep\`ere $(O,\vec{I},\vec{J})$ une \'equation de la forme 
$$
X^2 + 5 Y^2 + c_1 X + c_2 Y + c_3 = 0, 
$$ 
o\`{u} $c_1,c_2,c_3$ sont des r\'eels \`a d\'eterminer.

\item D\'eterminer $a,b,\alpha,\beta$ tels que $\mathscr{F}$ soit d\'ecrit par l'\'equation 
$\dfrac{\left(  X-\alpha\right)  ^{2}}{a^{2}}+\dfrac{\left(  Y-\beta\right)
^{2}}{b^{2}}=1.$

\item Donner une repr\'esentation graphique de l'ensemble $\mathscr{F}$ 
en faisant appara{\^\i}tre son centre de sym\'etrie. 
\end{enumerate}

\item Dans l'espace \`a trois dimensions, muni d'un rep\`ere ortonorm\'e direct 
$(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, l'\'equation $z^2 = x^2 + y^2$ 
d\'efinit un c\^one de sommet $O$ : si $M(x;y;z)$ appartient \`a cet ensemble, 
alors pour tout $\lambda\in\mathbb{R}$, $M_\lambda(\lambda x;\lambda y;\lambda z)$ aussi. 
\begin{multicols}{2}
Ce c\^one admet l'axe $(Oz)$ comme axe ``de r\'evolution'', c'est-\`a-dire que le c\^one 
est inchang\'e si on le fait ``tourner'' autour de cet axe. 
Si on ``penche'' l'axe de r\'evolution dans le plan $(Oyz)$ d'un angle $\theta$, 
le c\^one pench\'e obtenu $\mathscr{C}_\theta$ a pour \'equation : 
$$
\cos(2\theta) z^2 + 2 \sin(2\theta) y z = x^2 + \cos(2\theta) y^2 . 
$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[scale=1.1]
\draw (0,0.1) node [left] {$O$} ; 
\draw [->] (0,0) -- (-1,-{1/sqrt(2)}) node [left] {$x$} ; 
\draw [->] (0,0) -- ({3/2},0) node [right] {$y$} ; 
\draw [->] (0,0) -- (0,{3/2}) node [left] {$z$} ; 
\draw (-{0.8/1.2},-{0.9/1.2}) -- ({0.8*1.1},{0.9*1.1}) node [right] {$\mathscr{C}_\theta$} ; 
\draw (-0.2,-1) -- ({0.2*1.2},1.2) ; 
\draw ({0.2*1.2},1.2) to[bend left] ({0.8*1.1},{0.9*1.1}) ; 
\draw ({0.2*1.2},1.2) to[bend right] ({0.8*1.1},{0.9*1.1}) ; 
\draw (-{0.8/1.2},-{0.9/1.2}) to[bend right] (-0.2,-1) ;
\draw [dashed] (-{0.8/1.2},-{0.9/1.2}) to[bend left] (-0.2,-1) ;
%\draw (-0.55,-1.1) -- (0.7,1.4) ;
\draw (-0.55,-1.1) -- (-{0.55/1.2},-{1.1/1.2}) ;
\draw [dashed] (-{0.55/1.3},-{1.1/1.3}) -- ({0.7/1.4},{1.4/1.4}) ; 
\draw ({0.7/1.4},{1.4/1.4}) -- (0.7,1.4) ;
\draw [->] (0.1,1.6) to[bend left] node [above] {$\theta$} (0.6,1.5) ; 
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
Dans chacun des cas suivants, donner une \'equation d\'ecrivant l'intersection du c\^one 
$\mathscr{C}_\theta$ avec le plan horizontal d'\'equation $z=1$, et donner une 
repr\'esentation graphique de cette intersection : 

\begin{enumerate}
\item $\theta = 0$ ; \hspace{1cm} \blue{On voit ainsi qu'on a un c\^one \`a base circulaire.}

\item $\theta = \pi/8$ ; 

\item $\theta = \pi/4$ ;

\item $\theta = \pi/2$. \hspace{1cm} \blue{Visualiser $y^2-x^2=1$ avec un logiciel ?} 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\blue{ Remarque : 
Avec GeoGebra, on peut visualiser l'intersection  du c\^one $\{ z^2 = x^2 + y^2 \}$ 
avec les plans $z = c x + 1$, $c$ curseur variant de 0.1 en 0.1 entre -2 et 2 : 
on passe par les types ellipse (dont cercle), parabole ($y=x^2$) et hyperbole 
($xy=1$)\dots}  

\end{document}