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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\newcounter{qstct}[exo]
\newcommand{\qst}{\noindent\stepcounter{qstct}\arabic{qstct}.\hspace{0.1cm}}
\newcommand{\qstn}{\noindent\stepcounter{qstct}\hspace{0.1cm}}

\newcounter{sqct}[sqct]
\newcommand{\sq}{ \noindent\stepcounter{sqct}\textbf{\alph{sqct}.}\hspace{0.1cm}}

\def\b#1{{\mathbb{#1}}} % police en double barre (pour les corps, par exemple)
\def\l#1{{\mathcal{#1}}}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{large}
\textbf{MAT244 : Contrôle continu de Mai} \\ Durée 1h30 -- documents et appareils électroniques interdits
\end{large}
\end{center}

%\begin{flushleft}
%\textbf{Questions de cours}
%\end{flushleft}
%\vspace{-0.25cm}

\vspace{0.25cm}
\begin{exo}
\qstn Déterminer le type de la conique $3x^2+13y^2-2xy-4x-32y+17=0$. \\
\end{exo}

\begin{exo}

%\qst Donner le type de la conique $4x^2+y^2-4xy-2x-2y-11=0$. \\

\qst Justifier que la matrice $$A=\begin{pmatrix}
 1 & -3 & 0\\
 -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$ est diagonalisable.

\qst Donner une base orthonormée (pour le produit scalaire euclidien) qui diagonalise $A$.

%\qst Donner l'énoncé de convergence de Dirichlet pour les sommes partielles de séries de Fourier.
\end{exo}
\vspace{6pt}

\begin{exo}
 On se place sur l'espace $C([-1,1],\b{R})$ des fonctions continues de $[-1,1]$ dans $\b{R}$, muni du produit scalaire  $\varphi$ défini par l'expression suivante :
$$
\varphi(f,g) = \int_{-1} ^{1} \ f(x) \ g(x) \ dx.
$$ 

%\qst Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $C([-1,1],\b{R})$. \\

\qst On rappelle que la famille $\mathcal{B}_ 0 = (1,X,X^2)$ forme une base de $\b R_2 [X]$. Construire une base orthonormée pour $\varphi$ de $\b R_2 [X]$. \\

\qst Montrer que $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{x}{1+x^2}\ \mathrm{d} x = 0.$
\vskip4pt

\qst Monter que $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$, en déduire que $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+x^2}\mathrm{d}x = 2 - \frac{\pi}{2}$.
\vskip4pt

\qst Calculer la projection orthogonale de $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ sur $\b R_2 [X]$.% (\emph{Indication : on rappelle que la fonction $\mathrm{arctan}$ est une primitive de $x\mapsto \frac{1}{1+ x^2}$.})
\\

\qst Trouver, en justifiant le résultat, un triplet $(a,b,c)$ dans $\b{R}^3$ 
qui minimise $$\int_{-1} ^{1} \Big(\frac{1}{1+x^2}-ax^2-bx-c\Big)^2 \ dx.$$\\

\qst Prouver l'inégalité $\displaystyle\int_{-1} ^{1} e^x\times\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \ dx \leq \sqrt{(e^2-e^{-2})\frac{\pi}{4}}$~.

\end{exo}
\vspace{6pt}

\begin{exo}
On considère la fonction $f$ paire, $2\pi$-périodique telle que $f(x)=1$ pour $x\in [0,\frac{\pi}{2}[$, $f(x)=-1$ pour
$x\in{}]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[$ et $f(\frac{\pi}{2})=f(\frac{3\pi}{2})=0$.\\
%On considére la fonction $f$ impaire, $2\pi$--périodique tel que $f(0) = 0$ et $f(x) = \pi - x$ sur $]0,\Pi]$.

\qst Tracer $f$ sur l'intervalle $[-3\pi,3\pi]$. \\

%\qst Montrer que pour tout $n \in \b N$, $a_n(f) = 0$.\\

%\qst Montrer en utilisant une intégration par parties que pour tout $n \in \b N^*$, $b_n(f) = \frac{4}{n}$.\\

\qst Calculer les coefficients de Fourier $a_n(f)$ et $b_n(f)$ (en distinguant
si nécessaire suivant la parité de $n$, on posera pour cela $n=2k$ ou $n=2k+1$).
\vskip6pt

\qst On rappelle le théorème de Parseval-Bessel : Si $f$ est $L^2$ et $T$-périodique, alors $$\frac{1}{T}\int_0^T |f(x)|^2\mathrm{d}x = |a_0(f)|^2 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \left(|a_k(f)|^2 + |b_k(f)|^2\right).$$
Montrer que la fonction $f$ vérifie les hypothèses du théorème de Parseval-Bessel, et en déduire la valeur de la somme 
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}$.

\end{exo}

\end{document}
