Articles de recherche / Research papers


Autour des flots lévogyres, géodésiques, et de type Anosov / Around left-handed, Anosov, and geodesic flows

14. avec Marcos Cossarini,  Intersection norms on surfaces and Birkhoff sections for geodesic flows

Un partage est une collection finie de courbes fermées non orientées en position générique sur une surface réelle. Turaev a associé à tout partage une (semi-)norme sur le premier groupe d'homologie de la surface. La boule unité de la norme duale est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points entiers, que nous interprétons en fonctions de certaines coorientations du partage original. De plus, un partage se relève dans le fibré unitaire tangent de la surface en un entrelacs (symétrique) et, lorsque le partage est formé de géodésiques, cet entrelacs est formé d'orbites périodiques du flot géodésique. Notre résultat principal est une classification: si la surface est à courbure constante (nulle ou négative) et le partage formé de géodésiques fermées, alors les points entiers à l'intérieur strict de la boule unité duale énumèrent les classes d'isotopie de sections de Birkhoff pour le flot géodésique (sur le fibré unitaire tangent de la surface) dont le bord est l'entrelacs associé au partage. Ces sections de Birkhoff fournissent en particulier des décompositions en livres ouverts du fibré unitaire tangent.

A divide is a finite collection of closed unoriented curves in generic position on a real surface. Turaev associated to every divide a (semi-)norm on the first homology group of the surface. The unit ball of the dual norm is the convex hull of finitely many integer points. We give an interpretation of these points in terms of certain coorientations of the divide. Moreover a divide can be lifted (symmetrically) to a link in the unit tangent bundle to the surface and, when the divide is formed of geodesic curves, its lift is made of periodic orbits of the geodesic flow. Our main result is a classification statement: when the surface has constant curvature and the divide is made of geodesics, integer points in the interior of the unit ball of the dual norm classify isotopy classes of Birkhoff sections for the geodesic flow (on the unit tangent bundle to the surface) whose boundary is the symmetric lift of the divide. These Birkhoff sections also yield numerous open-book decompositions of the unit tangent bundle.
11. Which geodesic flows are left-handed ?  à paraître dans Groups, Geometry, and Dynamics

On prouve que le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une orbisurface est lévogyre si et seulement l'orbisurface est une sphère à trois points coniques. Ceci implique que le relevé de toute collection finie de géodésiques fermée sur une sphère à trois pointes est la reliure d'un livre ouvert.

We prove that the geodesic flow on the unit tangent bundle to a hyperbolic 2-orbifold is left-handed if and only if the orbifold is a sphere with three conic points. This implies that the lift of every finite collection of closed geodesics on a 3-conic sphere is the binding of an open book decomposition of the unit tangent bundle.

À cet article est associée la feuille de calcul Sage suivante dans laquelle certains énoncés sont vérifiés numériquement. In the following Sage worksheet, certain lemmas are numerically checked. ComputationsLinkingTpqr.
10. avec Tali Pinsky,  Coding of geodesics and Lorenz-like templates for some geodesic flows,  à paraître dans Ergodic Theory and Dynamical Systems

On construit un patron à deux rubans qui décrit la topologie de toutes les orbites périodiques du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une sphère à trois points coniques équipée d'une métrique hyperbolique. La construction repose sur l'existence d'un codage à deux lettres particulier pour le flot géodésique sur ces orbifolds.

We construct a template with two ribbons that describes the topology of all periodic orbits of the geodesic flow on the unit tangent bundle to any sphere with three cone points with hyperbolic metric. The construction relies on the existence of a particular coding with two letters for the geodesics on these orbifolds.
8. Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows,  Comptes Rendus Mathématique 351 (2013), 127-129

Deux flots sont presque commensurables si, quitte à retirer à chacun un nombre fini d'orbites périodiques puis à prendre un revetement fini, ils sont topologiquement équivalents. On montre que toutes les suspensions d'automorphismes hyperboliques du tore et tous les flots géodésiques sur les fibrés unitaires tangents des orbifolds hyperboliques sont deux à deux presque commensurables.

Two flows are topologically almost commensurable if, up to removing finitely many periodic orbits and taking finite coverings, they are topologically equivalent. We prove that all suspensions of automorphisms of the 2-dimensional torus and all geodesic flows on unit tangent bundles to hyperbolic 2-orbifolds are pairwise almost commensurable.
7. Genus one Birkhoff sections for geodesic flows,  Ergodic Theory and Dynamical Systems 35 (2015), 1795-1813

On montre que le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent des sphères à trois ou quatre points coniques admet des sections de Birkhoff de genre 1, et on détermine les applications de premier retour associées.

We prove that the geodesic flow on the unit tangent bundle to every hyperbolic 2-orbifold that is a sphere with 3 or 4 singular points admits explicit genus one Birkhoff sections, and we determine the associated first return maps.
6. Geodesic flow, left-handedness, and templates,  Algebraic and Geometric Topology 15 (2015), 1525-1597

On montre que pour toute surface-orbifold de type (2,q,infini) ou (2,3,4g+2), le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent est lévogyre. Ceci implique que l'entrelacs formé par toute collection finie d'orbites périodiques borde une section de Birkhoff pour le flot géodésique et forme un entrelacs fibré. Ces résultats accréditent une conjecture de Ghys selon laquelle ces propriétés ont lieu sur toute surface-orbifold qui est une sphère d'homologie. On prouve des résultats similaires pour le tore équipé de la métrique plate. Par ailleurs, on remarque que l'extension naturelle de la conjecture pour des surfaces hyperboliques arbitraires (dont l'homologie est non triviale) est fausse.

We establish that, for every hyperbolic orbifolds of type (2,q,infinity) and for every orbifold of type (2,3,4g+2), the geodesic flow on the unit tangent bundle is left-handed. This implies that the link formed by every collection of periodic orbits bounds a Birkhoff section for the geodesic flow and is a fibered link. These results support a conjecture of Ghys that these properties hold for every 2-dimensional hyperbolic orbifold that is a homology sphere. We also prove similar results for the torus with any flat metric. Besides, we observe that the natural extension of the conjecture to arbitrary hyperbolic surfaces (with non-trivial homology) is false.
annoncé dans  Enlacement entre géodésiques sur une orbifold,  Comptes Rendus Mathématique 350 (2012), 77-80 CRAS website

Autour des champs de vecteurs dans l'espace / Around vector fields in 3-space

15. avec Ana Rechtman,  The trunkenness of a volume-preserving vector field,  à paraître dans Nonlinearity

On construit un nouvel invariant --l'ivresse-- pour les champs de vecteurs préservant le volume sur S^3, à difféomorphisme préservant le volume près. On prouve que l'ivresse est indépendante de l'hélicité et qu'elle est la limite d'un invariant de noeud (le trunk) calculé sur de longs bouts d'orbites.

We construct a new invariant --the trunkenness-- for volume-perserving vector fields on S^3 up to volume-preserving diffeomorphism. We prove that the trunkenness is independent from the helicity and that it is the limit of a knot invariant (called the trunk) computed on long pieces of orbits.
13. Asymptotic invariants of 3-dimensional vector fields,  Winter Braids Lecture Notes 2: Winter Braids V (Pau, 2015) (2015), exp. no. 2, 19 p.

Dans cet article de survol, on présente quelques constructions de quantités invariantes pour les champs de vecteurs en dimension 3 sous l'action des difféomorphismes préservant le volume. On introduit d'abord l'hélicité, puis on se concentre sur les invariants issus de la théorie des noeuds en suivant la stratégie développée par Arnold. La plupart des invariants construits ainsi sont en fait très proches de l'hélicité, mais on en présente certains qui sont différents. On conclut avec quelques questions ouvertes.

In this survey article, we present several constructions of invariants for 3-dimensional volume-preserving vector fields under volume-preserving diffeomorphisms. After introducing helicity, we focus on invariants constructed using knot theory, following Arnol'd's strategy. Most invariants constructed in this way are actually very close to helicity, but we also present a few that are rather different. We conclude with some open questions.
5. On the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot,  Annales de l'Institut Fourrier 65 (2015), 509-548

On montre que les racines du polynome d'Alexander d'un noeud de Lorenz est dans un anneau de la largeur dépend explicitement du genre et de l'indice de tresse du noeud considéré. La preuve repose sur une estimation des exposants de Lyapunov de la monodromie, un difféomorphisme de surface associé.

We show that the zeroes of the Alexander polynomial of a Lorenz knot all lie in some annulus whose width depends explicitly on the genus and the braid index of the considered knot.
complété par  Small dilatation homeomorphisms as monodromies of Lorenz knots,  Institut Mittag-Leffler Preprints Series: IML Workshop on Growth and Mahler Measures in Geometry and Topology (2013), 1-9

On montre que les monodromies des noeuds de Lorenz contiennent des familles d'homéomorphismes de petite dilatation.

We exhibit low-dilatation families of surface homeomorphisms among monodromies of Lorenz knots.
4. A billiard containing all links,  Comptes Rendus Mathématique 349 (2011), 575-578

On construit un billard tridimensionnel réalisant tout entrelacs comme collection d'orbites périodiques. Plus généralement, étant donné un patron, c'est-à-dire une surface branchée munie d'un semi-flot, on construit un billard dont la collection des orbites périodiques contient celle du patron. R. Ghrist a construit un tel patron contenant tous les entrelacs. On obtient le billard souhaité en appliquant notre construction à son exemple.

We construct a 3-dimensional billiard realising all links as collections of isotopy classes of periodic orbits. For every branched surface supporting a semi-flow, we construct a 3d-billiard whose collections of periodic orbits contain those of the branched surface. R. Ghrist constructed a knot-holder containing any link as collection of periodic orbits. Applying our construction to his example provides the desired billiard.
3. Les nœuds de Lorenz,  L'Enseignement Mathématique (2) 57 (2011), 211-280

Cet article est un survol sur les noeuds de Lorenz. On décrit la construction originale et démontre quelques propriétés classiques, en particulier que la cloture d'une tresse positive est un noeud fibré. On décrit aussi la correspondance de Ghys entre noeuds modulaires et noeuds de Lorenz. On démontre deux nouvelles propriétés: selon la correspondance de Ghys, les images des orbites du flot de Lorenz qui forment des noeuds triviaux forment un sous-groupe du groupe des classes, et les images réciproques d'un élément du groupe des classess et de son inverse sont des orbites isotopes.

This article is a survey on Lorenz knots. We describe the original construction, prove several classical properties, in particular the fact that the closure of a positive braid is a fibered knot, and describe Ghys'correspondance between modular knots and Lorenz knots. We also prove two new properties, namely that following Ghys' correspondance, the images of trivial orbits of the Lorenz flow form a subgroup of the class group, and that the reverse images of an element in the class group and of its inverse are isotopic orbits.
À cet article sont associés deux fichiers de données / Associated data files
Ce fichier a été calculé à l'aide des logiciels Ocaml et Mathematica en 2007. Y sont indiqués tous les nœuds de Lorenz de période combinatoire inférieure ou égale à 21, avec leurs signatures, polynômes d'Alexander et de Jones, et les mots de Lyndon associés (voir mon mémoire de master 2 et l'article Les nœuds de Lorenz pour plus d'explications).
Ce fichier a été calculé à l'aide des logiciels Ocaml et PariGP en 2007. Y sont indiqués tous les groupes de classes d'idéaux de discriminant t^2-4, pour t inférieur à 1648, et les nœuds de Lorenz correspondant aux différentes classes. (voir mon mémoire de master 2 et l'article Les nœuds de Lorenz pour plus d'explications).

Autour des surfaces plongées dans l'espace / Around knots and surfaces

12. avec Sebastian Baader et Livio Liechti,  Signature and concordance of positive knots,

On donne une borne linéaire sur la signature des noeuds positifs en terme de leur genre. Comme application on montre que chaque classe de concordance contient un nombre fini de noeuds positifs.

We derive a linear estimate of the signature of positive knots, in terms of their genus. As an application, we show that every knot concordance class contains at most finitely many positive knots.
9. avec Sebastian Baader,  Trefoil plumbing,  Proceedings of the American Mathematical Society 144 (2016), 387-397

Nous donnons un critère pour qu'un livre ouvert contienne un plombage itéré d'entrelacs de Hopf comme facteur. Comme application, nous montrons que les clôtures de tresses positives sont obtenues par plombage de nœuds de trèfle positifs.

We give a criterion for an open book to contain an n-times iterated Hopf plumbing summand. As an application, we show that fibre surfaces of positive braid knots admit a trefoil plumbing structure.
?. avec Sebastian Baader,  Minor theory for surfaces and divides of maximal signatures

Nous donnons un critère pour qu'un livre ouvert contienne un plombage itéré d'entrelacs de Hopf comme facteur. On considère l'ordre induit sur les classes d'isotopie de surfaces plongées dans l'espace par la relation "être une sous-surface incompressible". On montre que, restreint aux fibres des entrelacs de partage d'A'Campo, cet ordre n'admet pas d'antichaine infinie. La preuve repose sur un résultat de type Robertson-Seymour pour les graphes coloriés plongés dans le plan. Il en découle que toute propriété stable par mineur est caractérisée par un numbre fini de mineurs interdits. Être de signature égale au premier nombre de Betti est un telle propriété. On exhibe les (deux) mineurs interdits, et déduit une énumération des partages de signature maximale par les diagrammes de Dynkin.

We prove that the restriction of surface minority to fiber surfaces of divides is a well-quasi-order. Here surface minority is the partial order on isotopy classes of surfaces embedded in the 3-space associated with incompressible subsurfaces. The proof relies on a refinement of the Robertson-Seymour Theorem that involves colored graphs embedded into the plane. Our result implies that every property of fiber surfaces of divides that is preserved by surface minority is characterized by a finite number of prohibited minors. For the signature to be equal to the first Betti number is such a property. We explicitly determine the corresponding prohibited minors. As an application we establish a correspondance between divide links of maximal signature and Dynkin diagrams.
In its current form, Lemma 2.3 is false, so that our proof of Theorem A and Proposition B has an important gap. We are unable to fix it yet. Any help is most welcome. Theorem still holds, since its proof does not rely on Lemma 2.3.

Divers / Miscellaneous

2. On the 3-distortion of a path,  European Journal of Combinatorics, 29 (2008), 171-178

On montre que, pour les plongements d'un chemin de longueur n dans R^2, la 3-distorsion est en ­O(n^{1/2}), et que, pour les plongements dans R^d, la 3-distorsion est en O(n^1/{d-1}).

We prove that, for embeddings of a path of length n in R^2, the 3-distortion is an ­O(n^{1/2}), and that, when embedded in R^d, the 3-distortion is an O(n^1/{d-1}).
1. Composition des tours de cavalier,  Quadrature 55 (2005), 31-42

Un tour de cavalier contient huit types de mouvements élémentaires. Nous montrons que les seules restrictions sur le nombre asymptotique de ces mouvements sont les bornes triviales existant pour toute boucle : pour tout choix de proportions compatible avec ces bornes, il existe une suite de tours réalisant asymptotiquement ce choix. On déduit l’existence de tours d’indice arbitrairement grand, ce qui répond positivement à une question de A. Grigis.

A knight’s tour contains eight types of elementary moves. We prove that the only asymptotic constraints on the numbers of moves of each type are the trivial ones: for all proportions compatible with these constraints, there exists a sequence of tours asymptotically achieving these proportions. We deduce a positive answer to the question asked by A. Grigis about the existence of tours with an arbitrarily large index.
annoncé dans  Décompte des mouvements dans un tour de cavalier,  Comptes Rendus Mathématique 336 (2003), 543-548. CRAS website

Thèse, mémoires, posters / Thesis, memoirs, posters

Thèse:  Invariants topologiques des orbites périodiques d'un champ de vecteurs,  soutenue le 23 juin 2011, sous la direction d'Étienne Ghys.

Cette thèse se situe à l'interface entre théorie des nœuds, géométrie, et systèmes dynamiques. La première partie traite des sections de Birkhoff pour le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une orbifold et de l'entrelacement entre orbites périodiques, la seconde de la répartition des racines du polynôme d'Alexander des nœuds de Lorenz.
Poster:  Linking of geodesics and Birkhoff sections for the geodesic flow,  réalisé en mai 2011 a l'occasion de la conférence SwissKnots 2011, sur l'enlacement entre géodésiques sur les orbifolds.
Mémoire de Master 2:  Les nœuds de Lorenz,  rédigé en août 2007 sous la direction d'Étienne Ghys.
Mémoire de Master 1:  Sur les présentations de SL(n,Z) par générateurs et relations,  rédigé en juin 2005 avec Jérôme Valentin sous la direction de Frédéric Paulin.