Actuellement Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche (ATER) à l'Institut Fourier de l'Université Grenoble-Alpes depuis octobre 2018, je suis également inscrit en thèse au laboratoire d'Analyse, Géométrie et Modélisation de l'Université de Cergy-Pontoise depuis octobre 2015, sous la direction de Laurent Bruneau. Ma thèse s'intitule "Etude des propriétés thermodynamiques hors-équilibre des systèmes en interactions répétées". Physique mathématique, mécanique quantique, mécanique statistique, thermodynamique, systèmes ouverts. Les systèmes en interactions répétées ou SIR sont des modèles mathématiques rigoureux de systèmes quantiques ouverts pour des expériences telles que le maser à un atome, dans lequel un faisceau d'atomes éjectés par un four traverse une cavité contenant un champ électromagnétique. Dans une idéalisation de ce problème, on considère une chaîne de systèmes quantiques appelés "sondes" interagissant avec un autre système quantique appelé "petit système", de sorte qu'à chaque instant, une sonde et une seule interagit avec le petit système tandis que tous les autres systèmes en jeu évoluent librement, les sondes ayant interagit une fois avec le petit système n'interagissant plus jamais avec lui.

Dans un cas dit idéal, toutes les sondes et interactions "petit système + sonde" sont identiques, ce qui permet de modéliser l'évolution du petit système par un semigroupe discret d'applications complètement positives qui préservent la trace, ou CPTP, appliquées à une matrice densité qui décrit l'état initial du petit système. Dans un cas non idéal, la dynamique d'interactions répétées permet de décrire cette évolution par une composition d'applications CPTP a priori différentes, mais sous certaines hypothèses, il devient possible de se ramener de nouveau à un semigroupe.

Le caractère non idéal peut venir de la nature des sondes, leur état initial, de l'interaction avec le petit système ou encore de la durée de cette interaction. En particulier, si cet état initial est un état de Gibbs, ou état d'équilibre à une température donnée, on se retrouve dans une situation analogue à celle d'un système ouvert connecté à des réservoirs thermiques, l'ensemble des sondes initialement dans une température donnée pourra être assimilé à une sorte de réservoir thermique. J'ai montré pendant ma thèse que sous certaines hypothèses, on peut pousser l'analogie jusqu'à montrer des résultats de réponse linéaire et de fluctuations entropiques sur des SIR non idéaux. Mes travaux de thèse et mes projets futurs s'inscrivent dans le cadre de l'étude des systèmes quantiques ouverts connectés à plusieurs réservoirs thermiques et donc de la mécanique statistique hors-équilibre. Par ailleurs, je travaille dans des approximations qui permettent de modéliser la dynamique des systèmes étudiés dans une approche markovienne en temps discret.

Une approche markovienne consiste à étudier la dynamique effective du petit système, par opposition à l'approche hamiltonienne qui consiste à étudier le système global "petit système + réservoirs" puis d'en déduire ensuite la dynamique du petit système. Mathématiquement, la dynamique en temps discret évoquée ci-dessus correspond à un semigroupe discret d'applications complètement positives qui préservent la trace, agissant sur une matrice densité qui représente l'état initial du petit système.

Bien que montrés sur peu de modèles mathématiques rigoureux, on s'attend à pouvoir montrer des résultats de mécanique statistique hors-équilibre sur de tels systèmes connectés à plusieurs réservoirs thermiques, à savoir :

1) La formule de fluctuation-dissipation de Green-Kubo, qui relie les coefficients cinétiques, c'est-à-dire les variations des flux de chaleur pour des forces thermiques infinitésimales, aux corrélations statistiques entre ces mêmes flux de chaleur en l'absence de force thermique.

2) Les relations de réciprocité d'Onsager, qui relient les coefficients cinétiques dans le sens où l'effet L_jk d'une variation de température d'un réservoir j sur le flux de chaleur d'un réservoir k est égal à l'effet inverse L_kj. Ce résultat étonnant est vérifié sous une hypothèse de microréversibilité des processus en jeu, aussi appelée invariance par renversement du temps.

3) Un théorème Central Limite sur les flux de chaleur à l'équilibre avec la matrice des coefficients L_jk définis ci-dessus comme matrice de covariance.

Ces trois premiers résultats décrivent les propriétés thermodynamiques près de l'équilibre du système ouvert. Ils constituent ce qu'on appelle la théorie de la réponse linéaire des courants d'énergie. Par ailleurs, on peut également montrer des résultats loin de l'équilibre, notamment :

4) La Première et la Seconde Lois de la thermodynamique, soient la conservation de l'énergie et l'augmentation de l'entropie en espérance.

5) Une équation de bilan entropique reliant les variations d'énergie des réservoirs, l'entropie de von Neumann et la notion d'entropie relative.

6) Un théorème de fluctuations entropiques, ou principe de grandes déviations, exprimant les statistiques des flux et de la production d'entropie en temps long.

7) Une relation de fluctuations entropiques, qui exprime la probabilité de violation de la Seconde Loi de la thermodynamique.

8) Un théorème Central Limite sur les flux d'entropie loin de l'équilibre.

NB : Tous les résultats exprimés ci-dessus concernent les propriétés thermodynamiques du système ouvert en temps asymptotique. TDs d'algèbre linéaire, analyse, algèbre et probabilités niveau L1-L2.

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