Master Mathématiques et Applications Master M1 Mathématiques générales Année 2021-2022

Actualités

Emploi du temps du second semestre (version du 16 décembre)

À partir du lundi 10 janvier

Lundi
• 10h15-11h45 CM Géométrie différentielle Amphi
• 13h45-15h15 TD Géométrie différentielle Salle 16
• 15h30-17h Magistère Salle 16

Mardi
• 8h30-10h CM Algèbre effective et cryptographie Amphi
• 10h15-12h15 Anglais
• 14h15-15h45 TD Théorie de Galois Salle 17
• 16h-17h30 TD Compléments sur les ÉDP Salle 17

Mercredi
• 9h-10h30 ou 9h-12h15 TD/TP Algèbre effective et cryptographie Salle 18 ou Amphi ou Salle 17
• 13h45-15h45 TD Processus de Markov Amphi
• 16h-17h30 CM Théorie de Galois Amphi

Jeudi
• 8h30-10h CM Compléments sur les ÉDP Amphi
• 10h15-12h15 CM Processus de Markov Amphi
• 14h15-15h45 TD Théorie de Galois Salle 18
• 16h-17h Séminaire du magistère Salle 18

Vendredi
• 9h-10h30 TD Géométrie différentielle Salle 15
• 10h45-12h15 TD Compléments sur les ÉDP Salle 15
• 13h45-15h15 Magistère Salle 15

Lien UGA ici

TER

Sujets et attributions (Nolwenn, Maël et Martin continuent à travailler sur leur sujet de l'an dernier)

Réunion d'information et d'échange

Une réunion d'échanges entre la promotion et les responsables d'année aura lieu mardi 16 novembre à partir de 15h30 en salle 15 : bilan de la partie écoulée du premier semestre, UE optionnelles, TER, autres

Master Class en avril 2022

Une Master Class Topologie, géométrie et singularités aura lieu du 25 au 29 avril 2022 à Luminy. Elle s’adresse principalement à des étudiant·e·s inscrit·e·s en première année de Master de mathématiques fondamentales. L’objectif est de sensibiliser les participant·e·s aux thèmes du prochain Master 2 de Mathématiques fondamentales de l’université d’Aix-Marseille, c’est-à-dire la topologie, la géométrie algébrique et la théorie des singularités.

Pour plus d'informations : site web, affiche en français, affiche en anglais

(10 octobre) Point Covid (bis)

Après environ trois semaines de mesure du taux de CO₂ en salle 15, quelques éléments se dégagent.

Les quatre régimes possibles d’ouverture et de fermeture des fenêtres et de la porte ont été essayés : porte ouverte et fenêtres ouvertes, le taux reste aux environs de 500-600 ppm ; porte fermée et fenêtres ouvertes, le taux reste aux environs de 700-800 ppm ; porte ouverte et fenêtres fermées, les mesures immédiates sont moins tranchées mais après un temps variable, en général d’une demie-heure à une heure, le taux a remonté et dépasse les 1000 ppm ; enfin, porte fermée et fenêtres fermées, les taux mesurés dépassent 1600 ppm et peuvent atteindre 2000 ppm.

On voit que le paramètre majeur influant sur le taux de CO₂ en salle 15 est l’ouverture ou la fermeture des fenêtres, l’ouverture ou la fermeture de la porte ayant elle aussi un effet, bien sûr, mais du second ordre.

Un aspect réjouissant de nos mesures, non anticipé contrairement à la différence entre porte et fenêtres qui s'explique aisément) est la rapidité des redescentes du taux observées à partir du moment où on réouvre les fenêtres de la salle 15. Il faudrait sans doute moduler cette observation en fonction du nombre de fenêtres réouvertes et de leur mode de réouverture, partielle ou complète, mais tout de même.

Quel bilan, provisoire, peut-on tirer de ces observations ? D’une part, on continue la collecte de données en salle 15, disons encore ces deux prochaines semaines (et on me souffle dans l’oreillette que vont bientôt être disponibles de jolis graphes des mesures journalières du capteur, miams…).

D’autre part, on peut retenir l’idée selon laquelle, dans des situations où la température extérieure devient trop basse pour fonctionner confortablement en laissant porte et fenêtres ouvertes en permanence, le fait de les réouvrir ponctuellement mais régulièrement pendant chaque séance de CM ou de TD permet de faire redescendre notablement le taux de CO₂ : un rythme de 5 minutes d’ouverture toutes les 30 minutes, comme déjà suggéré, semble assez bien adapté.

L’admonestation formulée dans un post précédent, selon laquelle il convient de « pratiquer une aération rigoureuse (et vigoureuse...) de la salle hors des temps d'enseignement, donc avant le premier cours, entre les cours et pendant la pause de midi, aération qu’il vous (étudiant·e·s) revien[...]t d'organiser » est donc, elle aussi, toujours d’actualité.

(Merci pour les retours d’étudiant·e·s sur le sujet, ils et elles se reconnaîtront.)

Une bibliographie sur le sujet (qui remonte un peu, mais ne vous gênez pas pour la compléter !) :

• Projet CO₂ : si vous ne cliquez que sur un lien, que ce soit sur celui-là ! Tout y est à lire, dont des avis d'autorités sanitaires (et une sélection argumentée de produits, ce qui vous concerne directement si vous êtes élu·e étudiant·e d'un conseil d'UFR, ou autre charge similaire...).
• Comment bien aérer les pièces, Pour la Science 518, novembre 2020 : date d'un an, mais semble toujours pertinent.
• Covid-19 : la ventilation des lieux clos, un geste barrière contre le Covid-19 jusqu’ici négligé : date d'octobre 2020, souligne déjà la différence cruciale entre "gouttes" (bizarrement renommées "gouttelettes") et "aérosols" (un vecteur majeur de transmission du virus).

(4 octobre) Point Covid

Comme tout le monde l’a bien compris, l’objectif principal de l’aération des salles telle qu'elle est pratiquée depuis la rentrée est de diminuer les chances de propagation du virus donc les chances de nouvelles contaminations et par conséquent de diminuer autant que nous le pouvons, en utilisant les moyens limités d'action à notre disposition, la probabilité d’un nouvel arrêt des enseignements en présence.

Quelques éléments de contexte. Le désir de favoriser autant que possible les enseignements en présence n’est pas universellement partagé à l’université. En mathématiques, après en avoir discuté entre nous, nous sommes arrivé·e·s au constat que ce mode d’enseignement était bien plus adapté à la transmission des connaissances et des savoir-faire dans notre discipline qu’un enseignement à distance. Bien sûr, si l’enseignement à distance redevient la règle, nous essaierons de nous adapter au mieux à ce contexte dégradé mais pour l’instant, notre souci premier est de sauvegarder autant que possible les enseignements en présence.

Par ailleurs, les mesures du taux de CO₂ pratiquées régulièrement dans la salle où a lieu la majeure partie de vos enseignements ont démontré sans ambiguïté l’influence majeure de l’ouverture ou de la fermeture de la porte et des fenêtres de la salle sur ce taux. Or, une donnée épidémiologique à présent bien établie est que de forts taux de CO₂ favorisent la transmission aéroportée du virus (ce mode de transmission semblant d’ailleurs être en fait le vecteur principal de l’épidémie).

Il se trouve qu'au mois de septembre de cette année, les températures maximales journalières en semaine ont presque toujours été supérieures ou égales à 20°C (à part lundi 20 septembre à 16°C) donc il était possible de travailler en laissant ouvertes la porte et tout ou partie des fenêtres. Avec le refroidissement des températures à venir, ce modus operandi va devenir moins adapté.

Un dispositif envisageable, qui préserverait pour l'essentiel le confort de tou·te·s, serait de conserver des périodes d'aération, par exemple deux périodes de 5 minutes par séance de 1h30, après 30 minutes et après 60 minutes. Mais un tel dispositif suppose aussi de pratiquer une aération rigoureuse (et vigoureuse...) de la salle hors des temps d'enseignement, donc avant le premier cours, entre les cours et pendant la pause de midi, aération qu’il vous (étudiant·e·s) reviendrait d'organiser.

(30 septembre) Orfinateurs portables

L'UFR IM²AG a fait l'achat de plusieurs ordinateurs portables pour aider les étudiant·e·s en situation de précarité numérique à pouvoir travailler correctement. Si vous souhaitez bénéficier d'un tel prêt, n'hésitez pas à vous signaler auprès d'un·e responsable du M1 MG au plus tard le 13 octobre. Une caution de 200 € vous sera demandée. Si de trop nombreuses demandes parviennent à l'UFR, une commission ad hoc arbitrera entre les demandes reçu·e·s.

(28 septembre) Règlements d'examen

La Faculté des sciences de l’UGA a voté la semaine dernière les règlements d'examen des masters qui relèvent de son périmètre, dont celui du M1 Mathématiques générales. Un point important du règlement d’examen du M1 MG que nous avions soumis a été modifié, à savoir que la compensation entre les deux semestres est supprimée. Le motif de cette décision serait une jurisprudence récente interdisant aux parcours d'une même mention de se doter de règlements d'examen qui diffèrent sur ce point.

Quoi qu’il en soit, nous responsables du M1 MG devons nous plier à cette nouvelle règle. Cependant, compte tenu des circonstances de cette décision, intervenue après le début de l'année universitaire et motivée uniquement par des raisons administratives, nous souhaitons faire en sorte qu'aucun·e étudiant·e du M1 MG ne se retrouve lésé·e du fait de cette modification. Or, renseignements pris, il entre dans les prérogatives du jury de fin d'année du master (qui regroupe les différentes filières et qui statue début juillet) de déroger à la règle de non compensation des semestres et, par conséquent, de déclarer admis·es les étudiant·e·s concerné·e·s. Nous avons donc la ferme intention, pour cette année, de proposer au jury de fin d’année du master de lever l'exigence de validation de chaque semestre pour tou·te·s les étudiant·e·s qui auraient été admis·es avec les règles en vigueur en 2020-2021.

Si une admission tardive à l'année compliquerait votre situation personnelle (notamment si vous comptez candidater sur des masters non grenoblois), merci de nous le signaler.

Forum Emploi Maths

Le 10ème Forum Emploi Maths aura lieu comme prévu le 12 octobre 2021 en virtuel. Les inscriptions étudiantes sont possibles dès maintenant ici.

(20 septembre) Tutorat

On recherche un·e étudiant·e de M1 MG pour tutorer un étudiant qui redouble sa L3B et qui bénéficie du statut d'AHN (artiste de haut niveau). Il s'agit de travailler avec l'étudiant une heure par semaine (par zoom ou autre puisqu'il vient d'intégrer une école d'art à Paris), sur le cours et/ou pour des exercices, l'activité étant suivie par Agnès Coquio. Si vous êtes intéressé·e, signalez-vous auprès des responsables du M1 MG.

(11 septembre) ETC

La présentation de l'offre d'ETC (enseignements transversaux à choix) sur le site de l'UGA est disponible au bout de ce lien. Ll'inscription aux ETC s'effectue en ligne du 4 au 20 janvier 2022 pour les ETC du second semestre donc, si vous êtes concerné·e car niveau B2 en Anglais attesté, vous avez encore du temps pour vous décider. Et enfin, au second semestre en M1, on compte sauf erreur 29 propositions d'ETC donc il y a du choix. Par contre, comme le dit la page web, il faudra vérifier la compatibilité du créneau horaire de l’ETC de votre cœur avec votre emploi du temps du second semestre, dès que celui-ci sera connu, et, en cas de chevauchement, choisir un autre ETC.

Documents pour la réunion de rentrée

• Présentation générale
• Présentation RI
• Présentation AMIES
• Présentations d'UE optionnelles :
  • Compléments sur les ÉDP
  • Algèbre effective et cryptographie

Réunion de rentrée

• Lundi 6 septembre 2021 à 10h en salle F320 du bâtiment F de l'UFR IM²AG

Fiche pédagogique individuelle

• À remplir en ligne

Emploi du temps du premier semestre (version révisée 1er septembre)

À partir du lundi 6 septembre après-midi, tout en salle 15 de l'Institut Fourier, sauf le jeudi après-midi

Lundi
• 8h30-10h30 TD Algèbre
• 10h45-12h15 TD Fonctions holomorphes
• 13h45-15h15 Magistère : Cours de physique
• 15h30-17h Magistère : Groupe de lecture sur les systèmes dynamiques

Mardi
• 8h30-10h CM Analyse
• 10h15-12h15 TD Probabilités
• 13h45-15h15 CM Algèbre

Mercredi
• 9h-10h30 CM Probabilités
• 10h45-12h15 TD Fonctions holomorphes
• 13h45-15h45 TD Analyse
• 16h-18h TD Algèbre

Jeudi
• 9h-10h30 CM Analyse
• 10h45-12h15 CM Algèbre
• 13h45-15h45 TD Probabilités, salle 18
• 16h30-18h Magistère : Séminaire, salle 4

Vendredi
• 8h30-10h CM Probabilités
• 10h15-12h15 TD Analyse
• 13h45-12h15 CM Fonctions holomorphes

Sites

• Discord de la filière Mathématiques
• Moodle du M1 MG

Révisions estivales

Voici une liste indicative de quelques notions du programme de L3A 2017-2021 qu'on peut envisager de retravailler avant la rentrée.

• UE Algèbre : le groupe GL_n et ses sous groupes, la réduction des endomorphismes, notamment le lemme des noyaux, et la partie II. Introduction à la théorie des anneaux de l'UE Algèbre de L3A
• UE Analyse : la partie II. Équations différentielles de l'UE Calcul différentiel de L3A, particulièrement les sections II.1 à II.4, avec un accent sur la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz local et sur la preuve du lemme de Gronwall
• UE Probabilités : la partie VII. Probabilités de l'UE Théorie de la mesure et introduction aux probabilités de L3A
• UE Fonctions holomorphes : des outils de base de l'analyse dont les limites de suites et de séries, les notions de convergence simple et de convergence uniforme de suites de fonctions, les bases du calcul différentiel, les bases de la topologie dont les notions d'ouverts, de fermés, de compacité et de connexité
• UE Compléments sur les ÉDP : les espaces L^p, le théorème de convergence dominée, le théorème de dérivation sous le signe intégrale, la théorie des espaces de Hilbert, notamment le théorème de Riesz, la norme triple
• UE Géométrie différentielle : la partie I. Calcul différentiel dans les espaces de Banach de l'UE Calcul différentiel de L3A

Forum Emploi Maths

• L'édition 2021 aura lieu en ligne le mardi 12 octobre 2021 (inscriptions étudiantes à partir du 20 septembre).
• Stands virtuels de formations et d'entreprises, avec présentations textuelles et vidéo. Également, des rencontres directes entre formations et entreprises, et étudiant·e·s ; des séances de questions/réponses ; des témoignages sur les métiers des mathématiques ; et d'autres ateliers encore.
• Davantage de détails à venir début septembre. Et, dès maintenant, le site web du FEM.
• La brochure Zoom sur les métiers des mathématiques et de l’informatique : réalisé en partenariat avec les sociétés savantes en mathématiques, statistique et informatique, ce Zoom a pour but de faire connaître les métiers auxquels mènent ces trois disciplines.

Contacts

• Responsable pédagogique : Didier Piau, bureau 225 de l'Institut Fourier
• Responsable pédagogique adjointe et responsable pédagogique Relations internationales : Catriona Maclean, bureau 107 de l'Institut Fourier
  • Partir étudier à l'étranger (page UGA)
• Responsable administrative : Latifa Hamed-Abdelouahab, scolarité RDC bâtiment F de l'UFR IM²AG

Liens

• Master Mathématiques et applications (page UFR)
• Magistère Mathématiques et applications (page UFR), et page de présentation (page UGA)
• M2 Mathématiques fondamentales
• M2 Préparation à l'agrégation (page UGA)
• M2 ORCO (page UFR)
• M2 Cybersecurity (CySec) (page UGA, page UFR)
• Master of Science in Industrial and Applied Mathematics (MSIAM)

• Page web 2020-2021 du M1 Mathématiques générales

Présentations

• Présentation du Master M&A (Mathématiques et applications)
• Présentation du M1 MG (Mathématiques générales)
• Présentation RI (soon)
• UEO (UE d'ouverture)
  • Présentation UE Anglais (soon)
  • UE ETC
  • Programme Co-FormER (contacter Grégoire Charlot, bureau 110)
• Agence AMiES

Archives

Sujets d'examen, sujets et mémoires de TER, posters d'Anglais, exposés de l'après-midi de clôture

Nota : Les ouvrages indiqués en guise de Documentation dans la description détaillée des UE ci-dessous sont en général disponibles, souvent en plusieurs exemplaires, au rayon Capes, Agrégation, Master (cote CA) de la bibiliothèque de l'Institut Fourier. Les étudiant.e.s inscrit.e.s en master peuvent consulter et emprunter ces ouvrages, et travailler dans la salle réservée de la bibliothèque.

UE Algèbre (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Erwan Lanneau et Rémi Molinier)

Descriptif

I. Compléments sur les anneaux

1. Groupe des éléments inversibles. (ℤ/nℤ)^∗, fonction d’Euler. Éléments irréductibles et éléments premiers. Pgcd et ppcm.
2. Notion d’algèbre. Algèbre des polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Liens entre coefficients et racines d’un polynôme. En TD : séries formelles en une variable. Corps des fractions d’un anneau intègre.
3. Anneaux noethériens, théorème de la base de Hilbert.
4. Anneaux factoriels. Lemme de Gauss et lemme d'Euclide. Exemple : les anneaux principaux. Théorème de Gauss sur A[X], pour A factoriel. Polynômes irréductibles, critères d’irréductibilité sur A factoriel (Eisenstein, etc.).

1. Extensions de corps, degrés, multiplicité. Éléments algébriques, éléments transcendants, polynôme minimal, extension algébrique.
2. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme.
3. Clôture algébrique (définition), le corps ℂ des nombres complexes est algébriquement clos. Énoncé du théorème de Steinitz.
4. Corps finis, existence et unicité, structure multiplicative. Racines de l’unité, polynômes cyclotomiques, irréductibilité sur ℤ.

1. Représentations d’un groupe fini. Représentations par permutations, représentations régulières.
2. Représentations irréductibles, Théorème de Maschke.
3. Morphismes de représentations. Lemme de Schur.
4. Caractères. Caractère de Hom(V;W). Orthogonalité et décomposition des représentations. Formule de Burnside. Théorème fondamental de Frobenius et corollaires. Table des caractères. Orthogonalité des colonnes.
5. Exemple : table de 𝔖₄. Noyau d’un caractère. Application : critère de simplicité.
6. Le cas des groupes abéliens. Groupe dual d’un groupe abélien fini. Transformée de Fourier discrète, cas de ℤ/nℤ et (ℤ/nℤ)². Structure des groupes abéliens finis.

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UE Analyse (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Alain Joye et Baptiste Devyver)

Descriptif

Partie A : Équations différentielles ordinaires

1. Rappels de L3 (certains de ces points seront revisités en TD)
   Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, dépendance en les conditions initiales et en les paramètres
   Flots, intégrales premières, équations différentielles linéaires
2. Méthodes qualitatives
   Portraits de phase, équilibres, stabilité à la Lyapunov

1. Introduction
   Nomenclature, exemples emblématiques : équations de transport, de Laplace, de la chaleur, et des ondes
2. ÉDP du premier ordre
   Équations de transport
   Problème de Cauchy, méthode des caractéristiques
   Solution au sens faible
3. Quelques ÉDP du second ordre sur ℝ^d
   Équation des ondes en dimension 1
   Équation de Laplace, fonctions harmoniques, principe du maximum
   Équation de Poisson : solution fondamentale, solutions faibles
   Équation de la chaleur : solution fondamentale, solutions faibles
   Formulation variationnelle d'ÉDP elliptiques

1. Espaces de Lebesgue L^p
   Densité des fonctions C^∞ à support compact dans L^p
   Convolution L^p‐L^q, inégalités de Young, dual de L^p
   Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
2. Analyse de Fourier
   Transformation de Fourier sur L¹(ℝ^d)
   Espace de Schwartz 𝒮(ℝ^d), transformation de Fourier et convolution
   Transformation de Fourier sur L²(ℝ^d)
   Séries de Fourier sur L¹(𝕋) et L²(𝕋)
   Dérivées au sens faible, Espace de Sobolev H¹, lemme de Lax- Milgram

Documentation

• Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, 2014
• Lawrence C. Evans, Partial differential equations, 1998
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, 2003
• Mark A. Pinsky, Introduction to Fourier analysis and wavelets, 2001
• Elliott H. Lieb, Michael Loss, Analysis, 1997
• Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, 1983

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UE Probabilités (premier semestre, enseignement obligatoire, 9 crédits ECTS, 33h CM et 48h TD) (Didier Piau et Christophe Leuridan)

Descriptif

0. Rappels élémentaires de théorie des probabilités
   Lois de variables aléatoires, notion d’indépendance, lois du zéro-un de Borel et de Kolmogorov, loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, cas gaussien
1. Éléments de statistique
   Fondements, estimation, intervalles et régions de confiance, tests
2. Espérance conditionnelle
   Construction, lois conditionnelles, cas gaussien
3. Processus à temps discret
   Construction, exemples, temps d’arrêt
4. Martingales
   Théorèmes d’arrêt, inégalités maximales, convergence
5. Chaînes de Markov
   Construction, classification, théorèmes ergodiques, convergence en loi, estimation

Pré-requis

La partie Probabilités du cours de Théorie de la mesure, introduction aux probabilités en L3A.

Documentation

• Philippe Barbe, Michel Ledoux, Probabilité L3-M1, ÉDP Sciences 2007
• Bernard Bercu, Djalil Chafaï, Modélisation stochastique et simulation, Cours et applications, Dunod 2007
• Djalil Chafaï, Florent Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires, Springer 2016, également disponible sur HAL
• Olivier Garet, Probabilités et Processus Stochastiques : cours et exercices corrigés, 2017
• Laurent Mazliak, Pierre Priouret, Paolo Baldi, Martingales et chaînes de Markov, Hermann 1998
• Jean-Yves Ouvrard, Probabilités : Tome 2, Master Agrégation, Cassini 2019

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UE Fonctions holomorphes (premier semestre, enseignement obligatoire, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Vincent Beffara et Jérémy Guéré)

Descriptif

1. Fonctions holomorphes et analytiques, en particulier l’équivalence entre les deux notions, fonction exponentielle et logarithme, principe du prolongement analytique, principe des zéros isolés, formule de Cauchy pour le disque
2. Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes (inégalités de Cauchy, suites et séries de fonctions holomorphes, propriété de la moyenne et principe du maximum)
3. Théorie de Cauchy (existence de primitives, théorèmes de Cauchy)
4. Fonctions méromorphes (classification des singularités isolées, fonctions méromorphes, théorème des résidus, séries de Laurent)
5. Théorème de la représentation conforme de Riemann

• Patrice Tauvel, Analyse complexe pour la Licence 3, Dunod 2006
• Éric Amar, Étienne Matheron, Analyse complexe, Cassini 2003

UE Travail d'études et de recherche (second semestre, 6 crédits ECTS)

Cette UE propose une découverte de la recherche en mathématiques à travers l'étude d'un sujet décrivant un résultat ou une théorie mathématique, avec lesquels l'étudiant.e devra se familiariser afin de se les approprier et de pouvoir en rendre compte par un rapport écrit et un exposé oral.

En pratique, une liste de sujets est proposée au cours du premier semestre. Chaque étudiant.e sélectionne dans cette liste quatre sujets, classés de 1 à 4, puis le responsable de la formation attribue à chaque étudiant.e un sujet figurant dans la mesure du possible parmi ces quatre-là. Dès les attributions connues, chaque étudiant.e contacte l'auteur.e de son sujet, qui va l'encadrer pour ce travail tout au long du second semestre. Une fois que l'encadrant.e a présenté à l'étudiant.e le sujet et les détails du travail attendu, le binôme se rencontre régulièrement afin que l'étudiant.e puisse rendre compte de l'avancement de son travail et progresser dans celui-ci.

Le TER donne lieu à la rédaction d'un rapport écrit, rédigé en utilisant le logiciel LaTeX, comportant obligatoirement un résumé et une bibliographie, et à une soutenance orale d'une durée de 20 à 30 minutes, souvent suivie de questions, devant un jury qui comprend l'encadrant.e. Le rapport et la soutenance contribuent conjointement à l'évaluation du travail réalisé.

Documentation

• Micro-introduction à LaTeX (sur la page de Bernard Parisse)
• Exemples de sujets et de mémoires des années précédentes

UE Algèbre effective et cryptographie (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Vanessa Vitse et Bernard Parisse)

Ce cours s’adresse à tous les étudiants intéressés par les applications modernes de l’algèbre et de l’arithmétique. Il est particulièrement adapté aux étudiants souhaitant passer l’agrégation option C (calcul formel) ou poursuivre dans une formation en cryptographie et/ou codes correcteurs d’erreurs. L'UE propose notamment des séances de TP sur machine avec le logiciel Xcas, offrant la possibilité de se familiariser avec la partie programmation de l’épreuve obligatoire de modélisation de l’agrégation.

Descriptif

1. Arithmétique modulaire, complexité, arithmétique des corps finis
2. Nombres premiers, test de primalité de Miller-Rabin, certificat de primalité de Pocklington
3. Polynômes irréductibles, tests d’irréducibilité, application à la construction des corps finis et à la factorisation des polynômes
4. Concepts de base de cryptographie, chiffrement symétrique et asymétrique
5. Problème du logarithme discret, échange de clefs Diffie-Hellman, réduction de Pohlig-Hellman, algorithme générique Pollard-Rho, pas-de-bébé-pas-de-géant
6. Factorisation et cryptosystème RSA
7. Codes correcteurs d’erreurs : concepts fondamentaux, exemple des codes de Hamming, codes polynomiaux, codes de Reed-Solomon

• Approfondissement d'un des points ci-dessus
• Générateurs de nombres aléatoires, registres à décalage et suites récurrentes linéaires, algorithme de Berlekamp-Massey
• Carrés modulaires, symbole de Legendre et réciprocité quadratique, problème de résiduosité quadratique et applications, test de primalité de Solovay-Strassen
• Factorisation d'entiers par l’algorithme du crible quadratique
• Factorisation dans Z[X]

Documentation

• G. Zémor, Cours de cryptographie, Cassini
• J. Vélu, Méthodes mathématiques pour l’informatique, Dunod
• M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet
• G. Bailly-Maitre, Arithmétique et cryptologie, Ellipses
• V. Shoup, Computational introduction to number theory and algebra, Cambridge University Press
• Page de SageMath et Sage Quick Reference Cards
• Page d'installation de Xcas

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UE Compléments sur les ÉDP (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Emmanuel Russ et Éric Dumas)

Le but du cours est de prolonger l'analyse des équations aux dérivées partielles linéaires commencée au premier semestre. L'accent sera mis sur les ÉDP dans des domaines de ℝⁿ et on traitera le cas d'ÉDP elliptiques, paraboliques ou hyperboliques. À cette occasion, on introduira les compléments d'analyse nécessaires (espaces de Sobolev, distributions...). On mettra également en évidence certaines propriétés qualitatives des solutions, qui distinguent ces classes d'ÉDP. Enfin, on étudiera certaines ÉDP non linéaires.

Le contenu du cours sera utile pour poursuivre en préparation à l'agrégation et/ou dans un M2 recherche consacré à l'analyse des ÉDP.

Descriptif

1. Compléments du premier semestre : principe du maximum faible pour les ÉDP elliptiques du second ordre, inégalité de Harnack
2. Compléments sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, opérateurs d'extension, théorie des traces. Introduction aux distributions, distributions tempérées
3. Opérateurs maximaux monotones, théorème de Hille-Yosida
4. Équation de la chaleur dans Ω × ]0,+∞[, où Ω ⊂ ℝⁿ est un domaine régulier : existence et unicité des solutions avec conditions au bord de Dirichlet et de Neumann ; principe du maximum pour les solutions de l'équation de la chaleur
5. Équation des ondes dans Ω × ]0,+∞[ : existence et unicité des solutions, propagation à vitesse finie
6. Équation de la chaleur semi-linéaire

Documentation

• H. Brézis, Analyse fonctionnelle: théorie et applications, Dunod, 2005
• L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010
• J. Rauch, Partial Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics, 128, Springer, 1991

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UE Géométrie différentielle (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Dietrich Häfner et Catriona Maclean)

La géométrie différentielle a joué un rôle majeur dans l’histoire des mathématiques et elle reste jusqu’à aujourd’hui un domaine très actif de la recherche mathématique. Il s’agit d’un domaine qui montre particulièrement bien comment des questions très concrètes liées par exemple à la cartographie sont résolues par des concepts mathématiques abstraits. Il n’est alors par surprenant que la géométrie différentielle soit très présente dans les applications industrielles des mathématiques jusqu’à aujourd’hui. L’objectif de ce cours consiste à familiariser les étudiants avec les notions de base de la géométrie différentielle et de leur faire découvrir certains grands classiques de la géométrie différentielle élémentaire comme le théorème de Whitney, le theorema egregium et le théorème de Gauss-Bonnet, ce dernier étant une jolie illustration du lien entre la géométrie et la topologie.

Descriptif

1. Rappels sur le calcul différentiel dans l’espace euclidien
   Vecteurs tangents, dérivées directionnelles, courbes dans ℝⁿ, 1-formes, formes différentielles, fonctions de ℝⁿ dans ℝ^m
2. Courbes et repères
   Courbes, repères de Frénet, dérivées covariantes, champs de repères, formes de connexion, les équations structurelles
3. Calcul différentiel sur les surfaces de ℝ³
   Surfaces de ℝ³, fonctions différentiables et vecteurs tangents, formes différentielles sur une surface, applications différentiables entre surfaces, intégration de formes différentielles, propriétés topologiques des surfaces
4. Variétés abstraites
   Variétés abstraites, dénombrabilité à l’infini, théorème de Whitney
5. Courbure
   Application de Weingarten, courbure normale, courbure de Gauss, techniques de calcul, surfaces de révolution, géodésiques
6. Géométrie des surfaces de ℝ³
   Équations structurelles, calculs de formes, quelques théorèmes globaux, isométries et isométries locales, theorema egregium, intégration et orientation
7. Théorème de Gauss-Bonnet

Pré-requis

Programme d’analyse de la licence, en particulier le cours de calcul différentiel

Documentation

• Barret O’Neill, Elementary differntial geometry, Academic Press 1997
• Manfredo do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Dunod 2014

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UE Processus de Markov (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Agnès Coquio et Hugo Vanneuville)

Le programme de cette UE concerne les chaînes de Markov. Son objectif est de conforter les acquis du cours de probabilités du premier semestre, de donner des exemples importants de chaînes de Markov et d’étudier des processus à temps continu, les chaînes de Markov en temps continu.

Cette UE pourra être utile aux futurs candidats à l’Agrégation comptant prendre l’option Probabilités. En effet, on étudiera le processus de Poisson, au programme de l’agrégation mais pas étudié précédemment. D’ailleurs, il est écrit dans le rapport du jury :

Processus de Poisson. Ce point du programme n’est pas le plus volumineux, et pourtant c’est un des plus méconnus. Les propriétés de ce processus, l’allure de ses trajectoires, une idée de sa construction à partir de variables exponentielles sont autant de questions qui pourraient être moins difficiles avec un peu de préparation spécifique.

Enfin, l'UE pourra intéresser les étudiants souhaitant se diriger vers un M2 centré sur les probabilités ou sur des thèmes de mathématiques discrètes, par exemple à Grenoble, le M2 ORCO (Operations Research, Combinatorics and Optimization).

Descriptif

Le cours est divisé en deux parties.

Dans la première partie, nous prolongerons l'étude des chaînes de Markov débutée au premier semestre. Nous établirons notamment des liens entre les propriétés de ces objets aléatoires et des propriétés de nature algébrique ou géométrique :

• Nous étudierons la vitesse de convergence vers la mesure invariante pour les chaînes ergodiques, notamment en fonction du spectre de la matrice de transition.
• Nous considérerons des marches aléatoires sur des graphes et étudierons leur comportement en fonction des propriétés géométriques de ceux-ci.

Documentation

• Pierre Brémaud, Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation and Queues, second edition, 2020, Springer
• J. R. Norris, Markov Chains, 1997, Cambridge University Press

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UE Théorie de Galois (second semestre, enseignement optionnel, 6 crédits ECTS, 21h CM et 33h TD) (Grégory Berhuy et Odile Garotta)

Descriptif

1. Rappels et compléments sur les extensions de corps
   Extensions algébriques, polynôme minimal, degré d'une extension, corps des racines, corps de décomposition, existence et unicité d'une clôture algébrique, théorème de prolongement des isomorphismes, extensions linéairement disjointes
2. Plongements et extensions séparables
   Plongements, extension et éléments séparables, lemme d'indépendance de Dedekind, caractérisation en termes de nombre de plongements, propriétés élémentaires (extension engendrée par des éléments séparables, tour d'extensions séparables, composée d'extensions séparables), théorème de l'élément primitif, polynômes séparables et pgcd
3. Extensions galoisiennes
   Extensions normales, propriétés élémentaires, extensions galoisiennes, caractérisation en terme de points fixes, exemples des corps finis et des corps cyclotomiques, théorie de Kummer, groupe de Galois d'un polynôme
4. Théorie de Galois
   Correspondance de Galois, exemples, résolubilité des équations par radicaux, construction à la règle et au compas

Documentation

Grégory Berhuy, Algèbre : le grand combat, seconde édition, 2020, Calvage & Mounet

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UE Anglais scientifique (second semestre, 3 crédits ECTS) (Emmanuelle Esperança-Rodier)

Il s'agit de viser le niveau de qualification B2 du Conseil de l'Europe, défini par ALTE, dans trois champs de compétences :

1. Être capable de faire un exposé clair sur un sujet connu et répondre à des questions factuelles prévisibles
2. Être capable de parcourir un texte pour retrouver l'information pertinente et en saisir l'essentiel
3. Être capable de prendre des notes simples et en faire un usage raisonnable pour écrire une dissertation ou faire une révision

1. Acquérir les techniques nécessaires pour bien comprendre un texte écrit
2. Apprendre à communiquer à partir de documents de recherche en anglais choisis dans le domaine de spécialité des étudiants
3. Préparer et présenter un poster professionnel, dans le but de développer des techniques de communication écrite et orale dans le domaine de spécialité des étudiants
4. Acquérir un lexique dans le domaine de spécialité des étudiants, à partir de documents de recherche en anglais, par la constitution d'un glossaire
5. Acquérir les techniques nécessaires à la rédaction d'un abstract scientifique

Pré-requis : Niveau B1 du Cadre européen commun de référence pour les langues (CECRL)

Mots-clés : Anglais de spécialité, communication scientifique

Documentation

• Council of Europe E.C., Common European Framework of Reference for Languages: Learning, Teaching, Assessment
• Site du British Council
• Exemples de posters réalisés les années précédentes

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