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Institut Henri Poincaré


À la redécouverte des points rationnels

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Ce site est dédié au trimestre thématique sur les points rationnels qui aura lieu à l'Institut Henri Poincaré d'avril à juillet 2019.

Description

L'étude des points rationnels des variétés est la description moderne d'un des plus anciens problèmes en mathématiques: l'étude des solutions entières ou rationnelles d'équations diophantiennes. La géométrie arithmétique met l'accent sur les liens entre points rationnels et propriétés géométriques des variétés sous-jacentes. En théorie analytique des nombres, des techniques analytiques très variées sont utilisées pour compter le nombre de points entiers ou rationnels et comprendre leur comportement asymptotique. En logique les points rationnels apparaissent dans les travaux sur le dixième problème de Hilbert sur Q, qui concerne l'existence d'un algorithme pour décider de l'existence de solutions rationnelles à une équation diophantienne donnée. Dans cette direction on peut rechercher des exemples de comportements asymptotiques atypiques dans l'étude des points rationnels.

Il existe une vaste panoplie de conjectures décrivant le comportement des points rationnels. Cela inclut diverses versions des conjectures de Mazur sur l'adhérence réelle de l'ensemble des points rationnels. Un autre jeu de conjectures en lien avec le précédent concerne l'obstruction de Brauer-Manin qui permet dans certains cas de caractériser l'adhérence des points rationnels dans l'espace adélique. Il est notamment conjecturé que cette obstruction pourrait être la seule pour certaines classes de variétés telles que les variétés rationnellement connexes, les surfaces K3 ou les courbes algébriques. Des indices en faveur de cette conjectures difficles émergent du travail de nombreux mathématiciens. Le programme de Batyrev et Manin sur le comportement asymptotique des points de hauteur bornée a suscité une autre branche de recherche pour les variétés ayant une infinité de points rationnels. Des techniques nouvelles ont revolutionné la théorie analytique des nombres comme la combinatoire additive (Green, Tao, Ziegler) ou la théorie arithmétique des invariants (Bhargava, Gross) ont permis de résoudre des problèmes longtemps ouverts. Les recherches récentes ont conduit à une interaction croissante entre les approches analytiques, géométriques et algébriques : des question motivées par diverses questions de dénombrement ont conduit à de nouvelles idées géométriques, tandis que des outils de géométrie algébrique ont ouverts de nouveaux domaines de recherche en théorie analytique des nombres.

Le but de cette période thématique est de réunir des chercheurs aussi bien expérimentés que débutants des nombreux domaines des mathématiques liés aux points rationnels pour favoriser des nouvelles interactions et de nouvelles recherches.