Dans un travail classique, Bowen et Margulis ont démontré
l'équidistribution des géodésiques fermées dans n'importe quelle variété
hyperbolique. Avec Jeremy Kahn et Vladimir Marković, nous nous sommes
demandés ce qui se passait si on remplaçait les courbes par des surfaces.
Les analogues naturels des géodésiques fermées sont alors les surfaces
minimales, car les surfaces totalement géodésiques n'existent que très
rarement. D'autre part, il est néanmoins pertinent (pour plusieurs
raisons, notamment pour garantir l'unicité du représentant minimal) de
se restreindre à des surfaces qui sont presque totalement géodésiques.
Les statistiques de ces surfaces dépendent alors très fortement de la
façon dont on les ordonne : par genre, ou par superficie.
Si on considère des surfaces dont la *superficie* tend vers l'infini,
nous conjecturons qu'elles s'équidistribuent, à l'instar des courbes ;
nous avons démontré un résultat partiel dans cette direction. Si on
considère en revanche des surfaces dont le *genre* tend vers l'infini,
la situation est radicalement différente : nous avons démontré qu'elles
s'accumulent alors sur les surfaces totalement géodésiques (pour peu
qu'il en existe).
Ilia Smilga
Distribution des surfaces minimales dans les 3-variétés hyperboliques compactes
星期五, 29 三月, 2024 - 10:30
Résumé :
Thème de recherche :
Topologie
Salle :
4