Samuel Tapie

Sur une variété $M$ compacte, considérons une suite de métriques sur $M$ 
qui vérifie une condition de courbure donnée, par exemple Ricci positif, 
courbure sectionnelle bornée... Peut-on extraire une sous-suite de 
métriques qui converge ? Si oui, que peut-on dire de l'espace limite ? 
Il s'agit d'un problème fréquent dès que l'on cherche à trouver une 
"bonne métrique" sur $M$. Par exemple pour montrer l'existence d'une 
métrique d'Einstein, ou dans la démonstration du Théorème de 
Géométrisation par Perelman...

Nous considérerons une suite de métriques dans une classe conforme 
fixée. Si l'on suppose que le tenseur de courbure est borné en norme 
$L^p$ pour $p>n/2$, M. Gursky a montré que l'on peut extraire une 
sous-suite qui converge vers une métrique riemannienne continue. Nous 
présenterons le cas critique d'une suite de métriques (dans une classe 
conforme) dont la courbure scalaire est pincée en norme $L^{n/2}$. Des 
singularités peuvent apparaître, la convergence d'une sous-suite vers 
une variété riemannienne limite ne peut être assuré.

Nous montrons que malgré cela, on peut extraire une sous-suite qui 
converge au sens de Gromov-Hausdorff, en temps que suite d'espaces 
métriques mesurés, et que l'espace limite vérifie beaucoup de bonnes 
propriétés (mesure doublante, inégalité isopérimétrique, inégalité de 
Sobolev...). Le coeur de la preuve consiste à montrer que la mesure de 
volume reste, tout au long de la suite de métriques, un \emph{poids 
fortement $A_\infty$}, notion qui vient de l'analyse harmonique et qui a 
de nombreuses conséquences géométriques.