Une singularité isolée de surface complexe, à quoi ça ressemble vraiment ?

Il s'agit d'un travail en commun avec Lev Birbrair et Walter Neumann. Nous regardons un germe de surface complexe normale $(X,0) \subset (C^n,0)$ au voisinage d'un point singulier $0$. Il est bien connu que dans un voisinage de $0$, l'intersection de $X$ avec toute sphère $S^{2n-1}_{\epsilon}$ de petit rayon $\epsilon>0$ centrée en $0$ est transverse, et donc que $X$ est localement topologiquement conique, i.e. homéeomorphe au cone sur son link $X \cap S^{2n-1}_{\epsilon}$. Cependant, des exemples récents de Fernandes et Birbrair montrent que $(X,0)$, muni de la métrique Riemannienne induite par la métrique hermitienne ambiante, n'est pas nécessairement métriquement conique, c'est-à-dire bilipschitz équivalent à un cône standard sur son link. Je vais présenter une classification complète de la géométrie bilipschitz de $(X,0)$. Elle repose sur l'existence d'une décomposition canonique du germe de surface $(X,0)$ en une zone ``grasse et une zone ``mince, qui présente une certaine analogie avec la décomposition ``Thick-Thin de Margulis des espaces à courbure négative. La zone grasse est essentiellement conique, tandis que la zone mince s'écrase plus vite que linéairement par rapport ˆ la distance à l'origine. La partie mince est vide si et seulement si la singularité est métriquement conique. La classification complète consiste en un rafinement de cette décomposition en pièces géométriques.