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Le polygone de Newton d'une équation différentielle sur un corps ultramétrique

星期三, 21 十一月, 2012 - 15:00
Prénom de l'orateur : 
Andrea
Nom de l'orateur : 
Pulita
Résumé : 

Dans le contexte ultramétrique les solutions d'une équations différentielle linéaire homogène ne convergent pas toujours jusqu'à  toucher les singularités. Par exemple l'équation $y'=y$ a pour solution $exp(x)$ qui ne converge pas avec un rayon infini. Même pour des équations à  coefficients dans $C((T))$ on peut associer un espace où les coefficients de l'équation convergent et où on peut tester le rayon des solutions. Le domaine plus adapté est celui des espaces de Berkovich. Le polygone de Newton (des convergences) $NP(M,\xi)$ a pour pentes les logarithmes des rayons de convergence des solutions de Taylor de l'équation $M$ en un point $\xi$ de la droite affine de Berkovich.
Nous étudions la variation des pentes de $NP(M,\xi)$ le long de l'espace de Berkovich qui a une structure de \polyhedron\ qui est un espèce d'arbre-fractale que nous appelons simplement \graphe\. Le résultat principale qu'on obtient est ce qu'on appelle la finitude du polygone. C'est à  dire que sa variation (i.e. la variation de ses pentes) est une fonction sur l'arbre de Berkovich qui est constante en dehors d'un sous graphe fini (i.e. avec un nombre fini d'arrêts). Et elle se factorise par une rétraction canonique sur ce graphe fini. Le polygone de convergence est un objet fondamental. Sa première pente est le (log du) rayon de convergence de $M$ en le point $\xi$, et il est bien connu que ses pentes sont très liés à  la cohomologie $p$-adique (ou formelle) comme expliqué dans les papiers de Christol-Mebkhout. Les pentes et l'irrégularité $p$-adiques de Christol-Mebkhout sont obtenues en regardant la variation de $NP(\xi)$ dans un germe de couronne de rayons $]1-\varepsilon, 1[$ et ce sont des invariants (par isomorphismes) de l'équation. Notre résultat dit qu'il y a un nombre fini d'invariants qu'on peut extraire de toutes les pentes de $NP(M,\xi)$ globalement sur un affinoide donné de la droite Berkovich. Autrement dit les pentes sont des fonctions définissables dans le sens de Ehud Hrushovski and François Loeser http://arxiv.org/abs/1009.0252 . Nous obtenons également des informations plus précises comme la super-harmonicité, et la linéarité par morceaux sur le grâphe et des structures stratifiées de l'espace associées à  l'équation. Le cas d'une courbe de Berkovich générale est l'objet d'une collaboration avec J.Poineau http://arxiv.org/abs/1209.3663

Institution de l'orateur : 
Université de Montpellier
Thème de recherche : 
Théorie des nombres
Salle : 
04
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