Le thème Géométrie & Topologie à l'Institut Fourier aborde des questions allant de la géométrie différentielle à la théorie géométrique des groupes, en passant par l'étude des nœuds et des 3-variétés ou des sous groupes discrets des groupes de Lie. Ainsi, ce thème fédère les chercheurs ayant une culture et un goût pour les aspects géométriques et topologiques des mathématiques ; cette culture commune facilite de nombreux échanges.

Les deux principaux rendez-vous hebdomadaires du thème sont le séminaire Théorie Spectrale et Géométrie [39], actuellement organisé par Pierre Will, et celui de Topologie [39], actuellement organisé par Pierre Dehornoy. Ils se tiennent respectivement le jeudi à 14h et le vendredi à 10h30. D'autres activités sont également organisés par le thème Géométrie & Topologie, voir en bas de page. 

Dans sa physionomie actuelle, les activités scientifiques du thème gravitent autour de la géométrie et de la topologie des surfaces et variétés de dimension 3, dans un sens large. Les principaux axes de recherche, qui ne sont bien sûr pas sans interconnections, sont esquissés dans la suite de cette page.

Géométrie Riemanienne et sous-riemanienne.

Les questions du thème Géométrie & Topologie relevant de l’analyse sur les variétés sont liées à l’étude du spectre de certains opérateurs sur les variétés, comme le laplacien, avec des applications telles que la géométrie des surfaces minimales ou de courbure moyenne constante, et le profil isopérimétrique. De nombreuses questions de rigidité ont été abordées par Gérard Besson et Sylvestre Gallot (souvent en collaboration avec G. Courtois), dans le cadre des techniques de barycentre, qui s’appliquent en particulier aux variétés à courbure négative. Zindine Djadli travaille sur la rigidité sous des hypothèses de pincement intégral.

Un noyau de travail s’est développé ces dernières années autour des travaux de Hamilton et Perelman sur le flot de Ricci, la preuve de la conjecture de géométrisation et la recherche de métriques d’Einstein (Besson, Djadli). Zindine Djadli s’intéresse au problème de la courbure prescrite, en particulier de la Q-courbure dans une classe conforme.

Des questions de nature plus dynamique sont également abordées. Grégoire Charlot travaille sur la théorie du contrôle, en lien avec l’étude des structures sous-riemanniennes et de leurs singularités. Hervé Pajot s'intéresse à des questions de théorie géométrique de la mesure, en particulier de théorie de la rectifiabilité, dans les groupes de Carnot.

Dynamique sur les surfaces.

Depuis les travaux de Thurston, on sait que la dynamique en dimension 2 est étroitement liée à la topologie en dimension 3. Il est donc souvent question d'homéomorphismes pseudo-Anosov et de surfaces plates, ainsi que d'espaces de module et de Teichmüller. De même, Masur et Veech ont montré que la dynamique sur les surfaces de translations est intimement liée à celle des échanges d'intervalles en dimension 1. François Dahmani, Pierre Dehornoy, Erwan Lanneau et Greg McShane étudient ces relations. Les espaces de représentations des groupes fondamentaux des surfaces et les groupes modulaires font régulièrement leur apparition. Greg McSchane, Louis Funar, et leurs étudiants Binbin Xu et Julien Korinman travaillent sur ces objets et leurs quantifications, en lien avec la géométrie des groupes. Les espaces liés aux surfaces sont aussi étudiés par Anne Parreau, Martin Deraux et Pierre Will.

Géométrie des groupes.

Il est souvent question des espaces sur lesquels les groupes agissent (graphes de Cayley, complexes cubiques, immeubles, espaces symétriques, espaces hyperboliques réels ou complexes), et de leur géométrie, souvent hyperbolique, ou à courbure négative ou nulle, ou CAT(0). Il est parfois question de croissance, de moyennabilité et d'autres propriétés maintenant classiques de théorie géométrique des groupes. Au-delà des propriétés, les groupes eux-mêmes sont parfois présents, que ce soient les groupes de tresses, les groupes de Thompson, les groupes modulaires et les groupes fondamentaux de surfaces, mais aussi les groupes libres et leurs automorphismes. Christophe Champetier, François Dahmani et Anne Parreau sont les experts locaux de ces objets, ainsi que Vlad Sergiescu. L'analyse quasi-conforme dans les espaces singuliers (H. Pajot) apporte aussi des applications à la théorie géométrique des groupes.

Sous groupes discrets des groupes de Lie.

Une autre tendance se dégage au sein du thème: l’étude des groupes de Lie et de leurs sous-groupes, en lien avec les espaces symétriques. Ainsi, Martin Deraux et Pierre Will travaillent sur l’étude des sous-groupes discrets de PU(n,1), groupe des isométries holomorphes de l’espace hyperbolique complexe, et s’intéressent à leurs propriétés de rigidité et de flexibilité. Martin Deraux étudie la version kählerienne de la construction de variétés non localement symétriques à la Gromov-Thurston.

Invariants topologiques et géométriques des nœuds et des variétés de dimension 3.

Nombre d'invariants des nœuds et 3-variétés apparus dans les années 1980-90, tels les invariants de Casson, Jones, Vassiliev, Witten, Kontsevich, Le-Murakami-Ohtsuki, ont une signification géométrique encore mystérieuse. Ces invariants peuvent se définir de multiples manières et sont reliés à différentes branches des mathématiques comme la théorie des représentations des groupes quantiques, les algèbres d’opérateurs, la théorie de jauge et la physique quantique. En outre, on dispose maintenant de catégorifications de certains d'entre eux, avec par exemple les homologies de Khovanov ou de Heegaard-Floer. Tous ces invariants, leurs constructions, leurs propriétés et leurs liens avec la topologie classique sont particulièrement étudiés par Christine Lescop, Jean-Baptiste Meilhan, leurs étudiants Jean-Mathieu Magot et Kévin Corbineau, et Julien Korinman, étudiant de Louis Funar.

Théorie microlocale.

La théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara-Schapira permet d'étudier un faisceau sur une variété en lui associant, entre autres objets, son microsupport, qui est un sous-ensemble coisotrope du cotangent. Une idée récente de Tamarkin permet de travailler dans le sens inverse: associer aux Lagrangiennes du cotangent des faisceaux sur la base dont elles sont les microsupports, puis déduire de ces faisceaux des propriétés globales de géométrie symplectique. Une grande partie du travail de Stéphane Guillermou est consacré à cette théorie.

Topologie algébrique constructive et classique.

Les invariants homologiques et homotopiques sont ici étudiés par Francis Sergeraert et Takuji Kashiwabara. En particulier, les espaces de lacets sont des objets cruciaux dans ces théories et l’on aimerait comprendre les dites opérations secondaires sur l’homologie de ces espaces de lacets. Francis Sergeraert calcule effectivement (sur machine !) certaines d’entre elles (à coefficients entiers) alors que Takuji Kashiwabara essaie de comprendre la riche structure gouvernant ces opérations (à coefficients modulo deux).

Principes d'incertitude.

Un principe d'incertitude est un théorème qui limite la localisation d'une fonction ou d'une distribution, en temps et en fréquence. Les travaux de Bruno Demange s'intéressent ainsi au principe d'incertitude de Heisenberg, issu de la mécanique quantique, ou encore au Théorème de Paley-Wiener, qui limite la possibilité d'échantillonnage des fonctions ou des distributions.