Nous presenterons dans cet expose une nouvelle strategie pour
aborder la question suivante (probleme de l'injectivite) :

Les auto-applications holomorphes propres d'un domaine regulier de C^k
(k>1) sont-elles necessairement des automorphismes?

Cette strategie s'appuie sur le contraste entre la dynamique de
l'auto-application dans le domaine et celle de son prolongement
differentiable au bord. En presence de degre, la dynamique du
prolongement est riche car d'entropie positive tandis que la dynamique
interne est triviale.
Nous montrerons comment des estimations d'expansivite pour certaines
familles d'applications CR permettent de relier dynamique interne et
dyamique au bord. Nous verrons ainsi que la dynamique interne n'est jamais
recurrente dans un domaine a bord lisse, puis que l'ensemble non-errant
evite les regions strictement pseudoconvexes.
Enfin, nous repondrons positivement a la question ci-dessus pour les
domaines disques geometriquement convexes dans C^2.