Nous étudions le développement semi-classique ($B$ tend vers l'infini) de la plus petite valeur propre de la réalisation de Neumann de $(i\nabla+B\A)^2$ sur un ouvert borné et régulier de $\R^2$ noté $\Om$. Nous sommes amenés à  introduire une courbure magnétique sur le bord mélangeant la courbure géométrique du bord et les variations du champ magnétique et nous obtenons un développement asymptotique à  deux termes tout comme dans le cas d'un champ uniforme. Nous montrons parallèlement des propriétés de localisation tangentielle des états fondamentaux et tout cela sous l'hypothèse que la restriction du champ magnétique sur le bord admet un unique minimum non dégénéré.