Thomas Gobet

Les algèbres de Hecke des groupes de Weyl finis ou affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés par des questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et Lusztig ont introduit deux bases canoniques de ces algèbres. Ils en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux algèbres de Hecke des groupes de Coxeter arbitraires, et ont formulé une conjecture dite "de positivité": la matrice de changement de base entre l'une des bases canoniques et la base dite standard ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à coefficients positifs. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl (où les polynômes sont interprétés géométriquement), l'absence de techniques géométriques dans le cas général a longtemps constitué un obstacle à une approche générale, jusqu'aux travaux de Soergel (2007). Soergel a proposé un remplacement algébrique à la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général, ce qui a permis une preuve récente de la conjecture de positivité en toute généralité par Elias et Williamson (2014).

En utilisant l'approche de Soergel et les travaux d'Elias-Williamson, nous démontrons des généralisations de la conjecture de positivité et de son analogue "inverse", conjecturées par Dyer (1987). Ceci nécessite l'introduction de filtrations "tordues" de bimodules de Soergel, ainsi que des généralisations des bases standard de l'algèbre de Hecke, reliées à des questions touchant aux groupes d'Artin-Tits.