Sara Checcoli

La hauteur d’un nombre algébrique est une fonction qui mesure
la « complexité arithmétique » du nombre. Si les nombres de hauteur
nulle sont bien compris, de nombreuses questions restent ouvertes
concernant les nombres de  petite hauteur.

Dans cet exposé je me concentrerai sur la question suivante : dans les
corps où des points petits peuvent être « évidemment » trouvés, ces
points ont-ils toujours de « bonnes raisons » d’être petits ?
Par
exemple, le corps engendré sur les rationnels par toutes les racines de
2 contient des points évidents de hauteur très petite (0, petites
puissances fractionnaires de 2 multipliées par des racines de l’unité).
Contient-il d’autres petits points ?

Un cas très particulier d’une conjecture de Gaël Rémond suggère que la
réponse est non. Cette conjecture concerne plus généralement la clôture
saturée de sous-groupes de rang fini dans les puissances du groupe
multiplicatif et les variétés abéliennes définies sur des corps de
nombres. Elle reste largement ouverte et généralise plusieurs problèmes
importants, comme la conjecture de Lehmer. Récemment, Pottmeyer a établi
une condition de nature “théorie des groupes” nécessaire pour que la
conjecture soit vérifiée et l’a prouvée pour le groupe multiplicatif. Je
présenterai un travail commun avec G. A. Dill, où nous étendons ce
résultat en montrant que la condition est également satisfaite pour les
variétés semi-abéliennes scindées.