Michele Triestino

Le groupe des difféomorphismes du cercle étant de dimension infinie, il n'est pas suffisant de demander simplement qu'un sous-groupe y soit discret pour pouvoir en déduire des jolies propriétés : on doit demander qu'il soit discret au voisinage de tout point où la dynamique est intéressante. Ces groupes sont appelés localement discrets.
Conjecturalement, en classe de régularité analytique réelle, les groupes localement discrets sont de nature fuchsienne ou virtuellement libres. En effet, on peut construire une grande variété d'exemples de tels groupes en considérant le groupe que je veux appeler de "Thurston-Tsuboi" : si on laisse agir simultanément tous les revêtements finis de $PSL(2,R)$, de telle sorte que les rotations soient les mêmes, on trouve un produit amalgamé infini qui agit sur le cercle en régularité analytique réelle et est source de dynamiques pas trop étudiées. Dans un travail en cours avec le "collectif carioca" (Alvarez, Barrientos, Filimonov, Kleptsyn, Malicent, Meniño) nous construisons des partitions de Markov pour les groupes localement discrets et virtuellement libres. Puisque le groupe est hyperbolique, ceci permet de définir un "flot géodésique" dans une 3-variété avec une dynamique transverse non-uniformément hyperbolique, qui est un invariant de l'action. Comme ultérieure conséquence, ce résultat suggère une conjecture (naïve) sur la structure des groupes localement discrets en régularité $C^2$ : ils sont conjugués à des sous-groupes des groupes de Thompson généralisés.