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Sur les invariants de Siegel de certains corps CM, quelques progrès récents (avec Dong Sung Yoon)
Jeudi, 23 Novembre, 2017 - 10:30
Résumé :
La théorie de la multiplication complexe des variétés abéliennes
nous dit comment la valeur d'une fonction abélienne évaluée en un point
d'ordre fini se comporte sous les substitutions de Frobenius (et donc
l'application de réciprocité d'Artin), voir [1], [2].
Une fonction abélienne peut naturellement être obtenue comme le quotient
de deux fonctions theta. Dans |3] Goro Shimura a étendu la connaissance
précédente au cas des fonctions theta à multiplications complexes.
Quarante années plus tard cette situation a été amendée par Ja Kyung Koo,
Dong Hwa Shin et Dong Sung Yoon [4], [5], de la façon suivante:
soit K un corps de type CM --- c'est-à-dire une extension quadratique
imaginaire d'un corps totalement réel. On note O_K son anneau des entiers,
et pour tout idéal f de O_K , on désigne respectivement par Cl_K(f)
et K_f le groupe de classes de rayon modulo f et le corps de classes
de rayon de K . On suppose f = N.O_K .
Alors ces auteurs ont construit une fonction modulaire de Siegel
méromorphe, dont les valeurs particulières, en les points primitifs
de N-torsion permettent, pour chaque entier N > 1 , de définir
des invariants PHI_f(C) --- qui ne dépendent que de l'idéal f = N.O_K
et de la classe de rayon C dans Cl_K(f).
Bien sûr cet invariant dépend aussi du choix de la variété abélienne
principalement polarisée à multiplications complexe par (K*,PSI) ,
où K* désigne le corps reflex de K , et PSI son type de plongements.
Quand cet invariant PHI_f(C) est bien défini, il résulte de la loi
de réciprocité de Shimura que l'on a:
(R1) PHI_f(C) appartient à K_f ;
(R2) PHI_f(C)^sigma_f(D) = PHI_f(C.D) , pour tout D (- Cl_K(f) ,
où sigma_f : Cl_K(f) -----> Gal(K_f / K) désigne l'application
de réciprocité d'Artin.
On retrouve là des propriétés connues dans le cas où K est un corps
quadratique imaginaire, voir K.Ramachandra [6] §§ 5 et 6. Mon souhait
aujourd'hui est de vous parler du travail en cours de Dong Sung Yoon
[et moi-même] qui étend au cas général considéré ici, certains points
particuliers de [7].
Bibliographie
[1] Goro Shimura et Yukata Taniyama "Complex multiplication
of abelian varieties and its application to number theory" vol.6,
Publ. of Math. Soc. of Japan, 1961.
Ses sections 1--16 ont réapparu dans:
[2] Goro Shimura "Abelian varieties with complex multiplication
and modular functions" Princeton University Press, 1998.
[3] Goro Shimura "Theta functions with complex multiplication"
Duke Math. J. 43 (1976), n°4, 673-696.
[4] Ja Kyung Koo, Dong Hwa Shin et Dong Sung Yoon
"On Siegel invariants of certain CM-fields" ArXiv, Sept. 2015.
[5] Ja Kyung Koo, Gilles Robert, Dong Hwa Shin et Dong Sung Yoon
"On Siegel invariants of certain CM-fields" proposé au Canadian J. of Math.
Août 2017.
[6] K.Ramachandra "Some applications of Kronecker's limit formula"
Ann. of Math. (2) 80 (1964), 104-148.
[7] Gilles Robert "Unités elliptiques" Bull. Soc. math. de France,
mémoire 36, 1973.
Institution de l'orateur :
IF
Thème de recherche :
Théorie des nombres
Salle :
Salle 4
