Angel Pardo Jaqueih

Le problème du cercle de Gauss consiste à compter le nombre de points entiers de norme bornée dans le plan. Autrement dit, compter le nombre de géodésiques fermées de longueur bornée sur un tore plat bidimensionnel ou, de trajectoires périodiques dans un billard carré. De très nombreux problèmes de comptage en systèmes dynamiques se sont inspirés de ce problème.

Depuis 30 ans, on cherche à comprendre l’asymptotique de géodésiques fermées dans les surfaces plats et de trajectoires périodiques dans les billards rationnels. H. Masur a montré que ce nombre a une croissance quadratique. Calculer l’asymptotique quadratique (constante de Siegel–Veech) est un sujet de recherches très actif aujourd’hui.

Dans cet exposé on s’intéresse au modèle de windtree, un modèle de billard non compact. Dans le cas classique, on place des obstacles rectangulaires identiques dans le plan en chaque point entier. On joue au billard sur le complémentaire. 

Je vais montrer, pour le windtree classique ainsi que pour une généralisation de V. Delecroix et A. Zorich, que le nombre de trajectoires périodiques a une croissance asymptotique quadratique avec une valeur explicite pour la constante de Siegel–Veech générique. On mentionnera aussi quelques résultats complémentaires, notamment, dans le windtree classique, que cette constante ne dépend pas des tailles des obstacles (phénomène “non-varying”) et, lorsque les paramètres (longueurs des côtes des obstacles) sont rationnels, qu'on a une version effective du comptage.