Colin Faverjon

Une M-fonction, nommée d’après K. Mahler, est une fonction analytique à coefficients algébriques solution d’une équation linéaire à coefficients polynomiaux pour l’opérateur z→z^q, pour un entier q supérieur à 2.  K. Mahler a initié à la fin des années 20 une méthode pour étudier la nature arithmétique des valeurs de ces fonctions aux points algébriques, méthode ensuite développée par Kubota, Loxton, van der Poorten, Ku. Nishioka, Masser, Philippon, pour n’en citer que quelques un-e-s. Comme pour les E-fonctions de Siegel (solutions d’équations différentiels linéaires dont les coefficients satisfont à certaines conditions arithmétiques) on dispose aujourd’hui, dans le cadre des M-fonctions, de résultats généraux de transcendance et d’indépendance algébrique. La méthode de Mahler se démarque toutefois de la théorie des E-fonctions sur deux aspects. Tout d’abord, cette méthode se généralise facilement pour considérer des fonctions de plusieurs variables et des opérateurs monômiaux.  Deuxièmement, dans le cadre des M-fonctions nous sommes confrontés à une infinité d’opérateurs (l’ensemble des puissances entières supérieures à deux). Ces deux aspects permettent d’obtenir des résultats puissants d’indépendances algébriques pour des valeurs de M-fonctions associées à des opérateurs distincts ou évaluées en des points algébriques différents.

Un famille incontournable de M-fonctions sont les séries génératrices de suites automatiques, ces suites obtenues comme sortie d’un automate fini déterministe après lecture successive des entiers écrits dans une base donnée. Ainsi, la méthode de Mahler permet de redémontrer que le développement en base entière d’un nombre algébrique irrationnel ne peut pas être engendré par un automate fini, un résultat établi par Adamczewski et Bugeaud dans les années 2000 par une approche diophantienne. Mais la méthode permet de progresser là où l’approche diophantienne achoppait. Elle permet d’obtenir l’indépendance algébrique de nombres irrationnels dont les développements dans certaines bases sont engendrés par des automates finis dès que les bases de lecture ou d’écritures de ces automates sont multiplicativement indépendantes.

Dans cet exposé, nous présenterons les résultats généraux de transcendance et d’indépendance algébrique pour les valeurs de M-fonctions. Nous expliquerons leurs implications quant aux nombres automatiques et interrogerons le parallèle avec la théorie des E-fonctions.