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Charles BOUBEL

Les commutants d'endomorphismes-auto adjoints dans un groupe d'holonomie (pseudo-)riemannien sont eux-mêmes des groupes d'holonomie
Thursday, 14 March, 2019 - 14:00
Résumé : 

Le groupe d'holonomie associé à une variété riemannienne ou 
pseudo-riemannienne (en fait, à une variété munie d'une connexion) est 
un groupe de Lie introduit par Élie Cartan dans les années 1930. Il est 
une sorte de thermomètre algébrique de la non-platitude de la variété :
– c'est le groupe trivial quand la variété est plate,
– plus la variété diffère (j'expliquerai en quel sens) d'une variété 
plate, plus il est gros.
Tout groupe intermédiaire apparaissant comme groupe d'holonomie entre le 
groupe trivial et le groupe maximal possible (le groupe orthogonal) 
caractérise une géométrie particulière. Par exemple, le groupe unitaire 
est un groupe d'holonomie, et caractérise les métriques kählériennes.

Déterminer quels groupes de Lie sont des groupes d'holonomie, et 
déterminer quelles variétés correspondent à chacun d'eux, est pour 
chaque groupe un gros travail. C'est aussi  un technique de pêche pour 
attraper des géométries nouvelles. L'histoire a commencé en 1952 avec 
Berger et se poursuit jusqu'aujourd'hui.

Les métriques pseudo-riemanniennes, contrairement aux métriques 
riemanniennes, peuvent admettre des groupes d'holonomie qui ne sont pas 
semi-simples : c'est cette situation qui m'intéresse. Les commutants 
sont en général dans ce cas. Je montre qu'ils constituent une famille 
naturelle de groupes d'holonomie et décris à quelle géométrie cela 
correspond. Notamment, une description locale très naturelle suit d'une 
analogie avec la géométrie complexe : il apparaît des analogues des 
fonctions holomorphes, de leur développement en série en entière, etc.

Institution de l'orateur : 
Strasbourg
Thème de recherche : 
Théorie spectrale et géométrie
Salle : 
4
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