Lionel Darondeau

De nombreux fibrés vectoriels classiques peuvent être construits comme des tours de fibrés projectivisés. On peut aussi considérer à chaque étape des lieux d’annulation correspondants à des conditions géométriques. La question à laquelle nous allons nous intéresser est celle du calcul d’intersection sur ces fibrés, et plus généralement celle de l’intégration le long des fibres en cohomologie.

Ces calculs sont dans divers contextes le dernier point difficile pour obtenir des résultats géométriques grâce aux théories établies. Par exemple pour prouver l’existence de différentielles de jets globales (inégalités de Morse holomorphes de Jean-Piere Demailly) ou pour obtenir un généralisation des théorèmes d’annulation pour les fibrés vectoriels nefs (Laurent Manivel).

En principe, il suffit d’itérer la formule bien connue valable pour le fibrés projectivisés, mais on se heurte à une explosion combinatoire difficilement contrôlable, qui empêche en pratique tout calcul effectif.

Je vais expliquer comment donner des formules très compactes, en me concentrant sur le cas des fibrés de drapeaux et des fibrés de Schubert. Dans le cadre des fibrés de drapeaux, ces formules sont une alternative aux formules générales déjà connues de Michel Brion.

Du point de vue géométrique, la preuve est presque ‘’tautologique’’ et elle est facilement généralisable : il s’agit de rendre possible l’approche itérative naïve décrite ci-dessus.

C’est un travail en commun avec Piotr Pragacz (Varsovie).