Anne Pichon

Un germe d’espace analytique complexe (X,0) dans (C^n,0) est naturellement muni de la métrique induite par la métrique hermitienne ambiante.  La classification de ces germes à homéomorphisme Lipschitz près fait l’objet de recherches intensives depuis les premiers travaux de Pham et Teissier sur les courbes complexes planes (1969), et a connu des progrès considérables depuis une dizaine d'années. 
Ce qui rend attractive cette étude,  c’est que la classe d’équivalence à homéomorphisme Lipschitz  près de (X,0) ne dépend que du type analytique de (X,0), et pas du plongement de (X,0) dans un (C^n,0).  Ainsi, la classification Lipschitz des singularités complexes  est intermédiaire entre les classifications topologiques (à homéomorphisme près) et analytiques. Une autre raison, vient du théorème de Mostowski, qui énonce que cette classification n’a pas de modules, c’est-à-dire que les invariants sont discrets, contrairement à la classification analytique, qui donne lieu à des modules. 
Je vais présenter des résultats récents sur la classification Lipschitz des singularités de surfaces complexes normales obtenus avec Walter Neumann. 
Nous montrons que, bien que décrite par un système d’invariants discrets,  la géométrie Lipschitz détermine plusieurs invariants analytiques importants, notamment la multiplicité. Ceci donne une réponse positive à la conjecture de Zariski sur la multiplicité sous une hypothèse Lipschitz. 
J’énoncerai également une caractérisation de l’équisingularité au sens de Zariski des familles de surface complexes du point de vue de la géométrie Lipschitz.