Diffusion quantique chaotique et opérateur de monodromie

On cherche à  comprendre les propriétés spectrales et dynamiques d'opérateurs de Schrödinger semiclassiques, dans des situations où le flot Hamiltonien correspondant présente, dans une gamme d'énergies, un ensemble capté chaotique (c'est-à -dire, un ensemble invariant fractal sur lequel le flot est instable). La dynamique classique de tels flots s'étudie traditionnellement par le biais d'une section de Poincaré et de son application de premier retour. On se propose de procéder de façon similaire dans le cadre quantique, c'est-à -dire en ramenant l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger (en particulier la caractérisation des résonances quantiques) à  celle d'un opérateur de monodromie quantique. Ce dernier est de rang fini ($\sim h^{d-1}$), et il quantifie l'application de premier retour de Poincaré. Il ressemble donc aux applications quantiques ouvertes utilisées comme modèles jouets pour ce type de systèmes. Le premier résultat nouveau obtenu par cette approche est une borne fractale sur la densité semiclassique de résonances dans le cas de N obstacles convexes satisfaisant une condition de non-éclipse.
(collaboration avec J.Sjöstrand et M.Zworski)