On sait que la seule surface compacte que l'on peut munir d'une métrique de courbure constante  positive est la sphère, et que la seule que l'on puisse munir d'une métrique de courbure nulle est le tore; mais s'il est facile de montrer une sphère de courbure constante, on sait bien qu'il est impossible de montrer un tore plat plongé dans R^3. Nous montrerons qu'il est par contre possible de donner un modèle linéaire par morceau d'un tore plat, et de réaliser ainsi toutes les métriques possibles. L'un des intérêts d'une telle construction est de donner une représentation concrète et sensible de divers objets abstraits qui sont fondamentaux dans plusieurs branches des mathématiques depuis plus d'un siècle.